4. ЧАСТНЫЕ КАТЕГОРИИ ЗАДАЧ ОБНАРУЖЕНИЯ

В гл. 2 и 3 были рассмотрены простая бинарная задача обнаружения и общая бинарная задача обнаружения. Большинство рассмотренных примеров были связаны с процессами, имеющими представления в переменных состояния, так как для этого класса задач можно получить полное решение. В данной главе мы рассмотрим еще три категории задач, для которых также можно получить полное решение:

1. Задача со стационарными процессами при большом времени наблюдения (СПБВН).

2. Задача с разложимыми ядрами.

3. Задача когерентного обнаружения сигналов малой энергии. Эти категории будут подробно рассмотрены в соответствующих параграфах. Такое рассмотрение важно по двум причинам. Во-первых, почти все физические ситуации подпадают под одну из этих четырех категорий (указанные выше три категории плюс задачи, связанные с процессами, имеющими конечномерные представления в переменных состояния). Во-вторых, для задач этих категорий можно получить полные решения.

4.1. Стационарные процессы, большое время наблюдения

Во многих представляющих интерес физических ситуациях принятые по двум гипотезам колебания являются отрезками стационарных процессов. Поэтому эти процессы можно характеризовать посредством их энергетических спектров. Если их спектры будут рациональными, то процессы будут иметь конечномерное представление в переменных состояния и эту задачу можно решить, используя метод переменных состояния. Ранее при работе с переменными состояния было показано, что когда входное колебание является стационарным процессом, коэффициенты передачи в оптимальной системе стремятся к постоянным значениям и система стремится к своему установившемуся или стационарному состоянию, становясь системой, инвариантной во времени (с постоянными параметрами). В этом параграфе рассмотрим случаи, когда время наблюдения велико по сравнению со временем, необходимым для затухания переходных процессов в системе. Иключая из рассмотрения переходные

процессы, можно получить гораздо более простые решения. При необходимости мы всегда можем проверить справедливость подобного приближения путем решения данной задачи методами переменных состояния. Формулы, полученные без учета переходных процессов, называются асимптотическими; для обозначения асимптотического случая к различным выражениям добавляется подстрочный индекс Как и в общем случае, интерес представляют структурные схемы оптимального приемника и их помехоустойчивость. Начнем с рассмотрения простой бинарной задачи.

4.1.1. Простая бинарная задача

Модель для простой бинарной задачи была дана в § 2.1. Для простоты выкладок в основном тексте ограничимся только случаем нулевых средних. При этом принятые колебания записываются в виде

Предполагается, что гауссов процесс с нулевым средним и спектром Шум белый гауссов процесс с нулевым средним, статистически независимый от процесса и имеющий спектральную плотность Критерий отношения правдоподобия имеет вид

Сначала рассмотрим различные реализации приемника для вычис ления Затем выведем формулу для . Наконец, определим по мехоустойчивость оптимального приемника,

Если использовать каноническую реализацию № 1 (с. 32-34), то

где является решением уравнения

Из гл. 4 первого тома (с. 360-366) известно, что общее решение состоит из частного, которое не зависит от пределов, и взвешенной суммы ограниченных однородных решений, которые обеспечивают правильные результаты на концах интервала (граничные условия).

Эти однородные решения исчезают по мере расширения интервала наблюдения. Если интервал времени велик, то частное решение будет оказывать наибольшее влияние на так что мы можем получить хорошее приближение к решению, пренебрегая однородными решениями. Завершая рассмотрение реализации № 1, положим в Принимая пределы бесконечными, можно было бы предположить, что мы можем найти решение уравнения (4), которое соответствует инвариантному во времени фильтру. Чтобы удостовериться в этом, положим в (4) и попытаемся найти решение.

Рис. 4.1. Каноническая структурная схема приемника № 1: стационарный процесс, большое время наблюдения.

Переписав (4) с учетом (5), имеем

а это уравнение можно решить, используя преобразование Фурье. Произведя это преобразование, получим

что и является требуемым результатом. Этот фильтр знаком нам из рассмотрения нереализуемых оценок по минимуму среднеквадратической ошибки в п. 6.2.3 первого тома. Получающаяся структурная схема приемника показана на рис. 4.1. Заметим, что для решения интегрального уравнения мы использовали только бесконечные пределы. Приемник же все равно осуществляет обработку процесса на интервале

Для использования канонической реализации № 3 необходимо решить уравнение (2,45):

Чтобы найти асимптотическое решение, положим ой и учтем (5) и предположим, что инвариантное во времени решение существует. Результирующее уравнение при этом имеет вид

После преобразования получим

Этот тип уравнений известен нам из рассмотрения вопросов разложения спектров в § 6.2 первого тома.

Рис. 4.2. Каноническая структурная схема приемника № 3: стационарный процесс, большое время наблюдения.

Так как имеет все свойства энергетического спектра, можно легко получить реализуемое решение в форме

Напомним, что надстрочный индекс означает, что все полюсы и нули функции которые лежат в левой половине комплексной -плоскости, приписываются функции Отметим, что это распределение нулей носит несколько произвольный характер (см. с. 354-355 первого тома.) Следовательно, решение уравнения (10), которое записано в виде (11), не является единственным. Получающаяся структурная схема оптимального приемника показана на рис. 4.2. Заметим, что можно также выбрать нереализуемое решение уравнения (10). Примером может служить функция

Чтобы использовать каноническую реализацию № 4, необходимо решить задачу реализуемой фильтрации. Полагая и предполагая стационарность, получим задачу винеровской фильтрации. Решается она по формуле (I-6.78) в виде

Соответствующая структурная схема приемника показана на рис. 4.3. Сравнивая рис. 4.1-4.3, видим, что каноническая структурная схема, представленная на рис. 4.2, является простейшей сточки зрения реализации.

Чтобы определить смещение , воспользуемся формулой (2.73):

где реализуемый средний квадрат ошибки оценивания в предположении, что истинна гипотеза Из материала § 6.3 первого тома (особенно примеров 1 и 2 на с. 620—626) известно, что стремится к стационарному среднему квадрату ошибки достаточно быстро.

Рис. 4.3. Каноническая структурная схема приемника № 4: стационарный процесс, большое время наблюдения.

Следовательно, если длительность интервала велика по сравнению с длительностью этого первоначального переходного процесса, можно получить хорошее приближение к заменив на

В п. 6.2.4 первого тома было выведено выражение для в замкнутой форме. На основании (I — 6.152) имеем

Учитывая (16) в (15), получим

где

Формулу (17) можно также получить непосредственно из асимптотического значения логарима определителя Фредгольма (2.74) (см., например, (I-3.182)).

Аналогичное рассуждение позволяет получить асимптотическую форму для которую мы обозначим через На основании (2.138) имеем

(Заметим, что ввиду предположения о нулевом среднем.) Заменяя на получим

С учетом (16) имеем

Эквивалентной формой записи является

Для иллюстрации применения этих асимптотических формул рассмотрим два простых примера.

Пример 1. Спектр Баттерворта первого порядка. Принятые колебания по двум гипотезам записываются в виде

Сигнальный процесс является выборочной функцией стационарного гауссова случайного процесса с нулевым средним и энергетическим спектром

Шумовой процесс — статистически независимый белый гауссов процесс с нулевым средним и спектральной плотностью

Будем использовать каноническую реализацию № 3 (рис. 4.2) приемника. Используя (24) в (7), получим

где

— отношение сигнал/шум в полосе сообщения. На основании (11) имеем

Член смещения получим на основании формулы (15). Средний квадрат ошибки был вычислен для спектра Баттерворта первого порядка в примере 3 первого тома на с. 570, 571. На основании (I — 6.112) имеем

Используя (28) в (15), получим

Получающаяся структурная схема приемника показана на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Реализация приемника в форме фильтра-квадратора: спектр Баттер-ворта первого порядка, большое время наблюдения.

Путем включения части коэффициента передачи фильтра в интегратор можно реализовать фильтр как простую цепь из резистора и конденсатора. Отметим, что местоположение полюса фильтра зависит от При уменьшении полюс фильтра приближается к полюсу спектра сообщения. При увеличении ширина полосы пропускания фильтра возрастает.

Для определения помехоустойчивости приемника найдем по формуле (20) с учетом (28):

На данном этапе изложения целесообразно ввести эффективные обозначения с тем, чтобы выделить важные параметры в формуле помехоустойчивости. Введем в рассмотрение несколько величин:

— среднюю энергию сигнального процесса и

- меру произведения длительности на ширину спектра сигнального процесса. Заметим, что

С учетом (31) из (30) получим

где

Первый множитель в (34) представляет собой отношение средней энергии сигнала к шуму и появляется во всех задачах обнаружения. Второй множитель учитывает влияние формы спектра, отношения сигнал/шум в полосе сообщения и порога. Именно этот множитель будет изменяться в различных примерах. Для вычисления приближенных выражений для и нам необходимо найти Тогда, на основании (2.166) и (2.174), получим

и

Из (34) и (35) можно получить необходимые величины для подстановки в (36) и (37). На рис. построены приближенные характеристики помехоустойчивости, описываемые формулами (36) и (37). На рис. 4.5 величина ограничена значением . По горизонтальной оси откладывается величина по вертикальной — величина Сплошные линии соответствуют постоянным значениям отношения

Из рассмотрения графиков видно, что помехоустойчивость сильно зависит от произведения длительности на ширину спектра сигнального процесса. Заметим, что существует оптимальное значение для каждого значения Это оптимальное значение лежит вблизи (Точный минимум будет найден в примере позднее.) Прерывистые линии соответствуют постоянным значениям Перемещение вправо по кривой постоянного значения физически соответствует увеличению времени наблюдения. Аналогичные результаты показаны для на рис. 4.6 и 4.7 соответственно.

Для малых значений (например, данные кривые следует проверить, используя метод переменных состояния, так как

приближение, исходя из условий СПБВН, может оказаться несправедливым.

Для больших значений произведения длительности сигнала на ширину его спектра наши расчеты помехоустойчивости дают хорошие результаты в силу двух причин.

Рис. 4.5. Зависимость вероятности пропуска цели от произведения длительности на ширину спектра сигнала: спектр Баттерворта первого порядка,

1. Ошибка, получающаяся при использовании приближенной формулы для большого времени наблюдения, быстро уменьшается по мере увеличения Позднее, на с. 166 будет сделано несколько количественных утверждений относительно величины ошибки.

2. Ошибка, получающаяся в результате усечения ряда Эджворта на первом его члене, уменьшается при увеличении так как

(кликните для просмотра скана)

в этом случае имеется больше значащих собственных значений. По мере увеличения числа значащих собственных значений модифицированная плотность вероятности становится ближе к гауссовой плотности.

Заметим, что если система работает вблизи оптимального значения значение будет достаточно большим, чтобы приближение, сделанное исходя из условий СПБВН, было справедливым.

Можно легко получить аналогичные результаты для спектров Баттерворта высокого порядка (см. задачу 4.1.3). В следующем примере мы рассмотрим случай, когда сигнал имеет идеальный, ограниченный по ширине спектр сообщения.

Рис. 4.8. Структурная схема оптимального приемника: идеальный спектр нижних частот, большое время наблюдения.

Эту задачу трудно решить, используя метод переменных состояния, но если соблюдаются условия СПБВН, решение ее не встречает затруднений.

Пример 2. В этом примере предполагается, что ограниченный по ширине спектр:

Наиболее практической структурной схемой приемника является каноническая реализация № 3. На основании (38) и (7) имеем

Таким образом

Член смещения получим, учитывая (38) в (17):

Получающаяся структурная схема оптимального приемника показана на рис. 4.8. Отметим, что мы не можем реализовать фильтр,

(кликните для просмотра скана)

описываемый выражением (40), точно. Его можно реализовать Приближенно со сколь угодно высокой точностью, используя фильтр Баттерворта порядка, где выбирается достаточно большим, чтобы получить требуемую точность приближения.

Для вычисления помехоустойчивости найдем подформуле (21). В результате получим:

Это выражение можно записать в виде

где

Заметим, что подстрочный индекс у величин означает спектр Баттерворта бесконечного порядка. На рис. 4.9 и 4.10 графически представлены такие же результаты, как и в примере 1.

В этом параграфе была рассмотрена простая бинарная задача, выведены соответствующие асимптотические формулы и проанализированы два типичных примера. Перейдем теперь к общей бинарной задаче.

4.1.2. Общая бинарная задача

В гл. 3 результаты, полученные для простого бинарного случая, были распространены на общий бинарный случай. Ввиду сильного сходства можно составить таблицы соответствующих асимптотических формул для общего случая. Так, в частности, в табл. 4.1 приведены выражения для передаточных функций фильтров в оптимальном приемнике. В табл. 4.2 даны асимптотические формулы для . В табл. 4.3 приведены различные соотношения, которые полезны при рассмотрении общих бинарных задач.

Для иллюстрации применения некоторых из этих формул рассмотрим два примера.

Пример 3. В этом примере рассмотрим бинарную симметричную задачу. Переданные сигналы по двум гипотезам записываются в виде

Таблица 4.1 (см. скан) Асимптотические формулы для фильтров в оптимальных приемниках

где

Сигнал проходит по флуктуирующему релеевскому каналу. Принятые колебания записываются в виде

Предполагается, что полосовые процессы со средними частотами спектров соответственно. Спектры процессов практически не перекрываются и симметричны относительно своих соответствующих несущих (см. рис. 3.7, 3.8). Спектр нижних частот сигнальных процессов записывается в виде

Мощность принимаемого процесса зависит от мощности передаваемых сигналов и затухания в канале:

где мера среднеквадратической интенсивности затухания канала. Заметим, что полная средняя мощность принимаемого процесса равна

(кликните для просмотра скана)

а полная средняя энергия принимаемого сигнала равна

Предполагается, что гипотезы равновероятны и критерием оптимальности является наименьшая суммарная вероятность ошибок.

Структурную схему приемника легко синтезировать, объединив результаты рассмотрения задач с полосовыми процессами на с. 95—98 и результаты, полученные в примере 1 (с. 127). Эта структурная схема показана на рис. 4.11.

Рис. 4.11. Структурная схема оптимального приемника: бинарная симметричная полосовая задача, большое время наблюдения.

Все четыре фильтра нижних частот одинаковы и имеют передаточную характеристику

Мы исключили здесь идеальные фильтры нижних частот, предусмотренные в структурной схеме на рис. 3.9, так как является функцией нижних частот. Также исключено усиление в интеграторе, поскольку оно одинаково во всех ветвях, а порог равен нулю.

Помехоустойчивость приемника можно определить соответствующей модификацией результатов, полученных в примере 1. Первый шаг на этом пути — перейти от несимметричной задачи с процессами нижних частот к несимметричной задаче с полосовыми процессами. Напомним из табл. 4.3, что

Учитывая (30), из (54) получаем

где

Следующий шаг — переход от несимметричной или простой бинарной задачи к бинарной симметричной задаче. Напомним, что

Используя (55) в (57), получим

Это выражение можно привести к виду

Важной величиной в выражениях для вероятности ошибки является Положив в (59), получим

Если ввести функцию определяемую как

то можно записать

Величина называется функцией эффективности бинарной системы связи.

Чтобы найти приближенное выражение для суммарной вероятности ошибок, необходимо определить Дифференцируя (59) дважды по и вычисляя результат при получим

Приближенное выражение для следует из (3.77) в виде

Видим, что зависит от отношения сигнал/шум в полосе частот сигнального процесса, и от отношения средней энергии принятого сигнала к спектральной плотности шума.

Дальнейший ход анализа зависит от ограничений, налагаемых на передатчик. Если выходные данные передатчика заданы полностью, то достаточно просто вычислить Если сигналы определены как отрезки синусоидальных колебаний, например, как в (46), а передатчик ограничен по максимальной мощности (т. е. ограничено), то вероятность ошибки является монотонной функцией

Рис. 4.12. График функции

С другой стороны, если передатчик ограничен по энергии, то помехоустойчивость системы можно оптимизировать путем соответствующего выбора что представляет собой элементарный вариант задачи синтеза сигналов. Позднее мы рассмотрим влияние различных форм сигнала.

Предположим, что фиксированы. Тогда фиксация означает фиксацию Единственным параметром остается (или, что эквивалентно, Параметр можно выбирать из расчета минимизации Несколько более простая процедура — выбирать из расчета минимизации На основании формулы (60) видно, что это эквивалентно максимизации коэффициента эффективности.

На рис. 4.12 построен график функции По нему видно, что максимум имеет место вблизи Обозначим эту точку как

Можно также заметить, что максимум кривой очень слабо выражен, так что в точной регулировке величины нет необходимости. Подставив (66) в (64), получим формулу для суммарной вероятности ошибок, когда используется оптимальное значение

Из формулы видно, что когда в системе используется оптимальное значение суммарная вероятность ошибок уменьшается экспоненциально с увеличением

Рассмотрим теперь другой пример. Применим здесь такие же методы, как и в примере 3. Причиной включения этого примера служит необходимость получить некоторые конкретные численные результаты, которые будут использоваться в последующем.

Пример 4. Рассмотрим симметричные гипотезы при условии, что шум имеет ограниченный по ширине спектр. Основная модель здесь такая же, как и в предыдущем примере (см. (46) и Однако предположим, что сигнальный процесс нижних частот имеет ограниченный по ширине спектр:

Структурная схема приемника представляет собой очевидную комбинацию схем, изображенных на рис. 4.8 и 4.11. Как было указано нас. 132, 133, невозможно точно реализовать идеальные фильтры, но можно приблизиться к ним сколь угодно близко. Сейчас нас интересует помехоустойчивость такой системы. Используя табл. 4.2 и 4.3 и соотношение (68), получим

где

Положив в получим

где введено обозначение

Таким образом,

Чтобы определить коэффициент для приближенного выражения вероятности ошибки продифференцируем (71) дважды и вычислим результат при

Тогда, с учетом (3.76), имеем

Как и раньше, можно найти оптимальное значение величины определив максимум функции . В результате получим

Подставив (76) в (75), получим приближенную формулу для вероятности ошибок:

Видим, что модуль коэффициента в показателе экспоненты в (77) немного больше, чем в однополюсном случае (67).

Системы связи, рассмотренные в примерах 3 и 4, иллюстрируют применение приближений, полученных исходя из большого времени наблюдения, к конкретным задачам. Кроме того, они позволили получить некоторые интересные результаты для бинарной системы связи с использованием ЧМ(ЧТ) по флуктуирующим симметричным релеевским каналам. Полезно сравнить эти результаты с результатами, полученными в гл. 4 первого тома для бинарных систем ФМ и ЧМ, работающих по каналу с аддитивным шумом. В соответствии с (I — 4.40) и (I — 4.36) имеем:

или

Аналогично

Напомним, что в канале с аддитивным шумом энергия принимаемых сигналов фиксирована. Результаты расчетов по формулам (67), (77), (79) и (80) сведены в табл. 4.4.

Таблица 4.4 Эффективность различных бинарных систем связи (при больших значениях

Коэффициент при в показателе экспоненты называют коэффициентом эффективности данной системы связи. Сравнивая экспоненты, видим, что в бинарной системе ЧМ для обеспечения такой же экспоненциальной зависимости ошибки, как в случае канала с аддитивным белым гауссовым шумом, при работе по релеевскому каналу с ограниченным спектром требуется примерно на а с однополюсным спектром Баттерворта — примерно на большая средняя энергия. Эти расчеты сделаны в предположении больших значений

Следует обратить внимание на ряд ограничений, которые были установлены при анализе общей бинарной задачи.

1. Предполагалось, что передаются прямоугольные импульсы. В гл. 11 будет показано, что коэффициент эффективности для любого релеевского канала и любой формы сигнала ограничивается значением 0,1488. Мы увидим, что для некоторых каналов система, рассмотренная в примере 4, соответствует оптимальной бинарной системе передачи ортогональных сигналов.

2. Использовались приближения, сделанные исходя из большого времени наблюдения. Если отношение велико и используется оптимальное произведение длительности на ширину спектра сигнала, то такое приближение всегда будет справедливым.

3. Предполагалось, что каждый сигнал детектируется независимо, и не делалось попыток использовать постоянство параметров (непрерывность) канала от элемента к элементу сигнала путем их непрерывного измерения. Система такого типа будет кратко рассмотрена в

4. Рассматривались только релеевские каналы, спектры замираний которых симметричны относительно несущей частоты. В гл. 11 будут исследованы более общие каналы.

Обсудим теперь результаты рассмотрения случая стационарных процессов при большом времени наблюдения.

4.1.3. Итоги рассмотрения задачи СПБВН

В § 4.1 рассмотрен случай, когда принятое колебание представляет собой выборочную функцию стационарного случайного процесса, а интервал времени наблюдения велик. Если пренебречь влиянием переходных процессов на концах интервала наблюдения, то можно реализовать приемник, используя фильтры с постоянными во времени параметрами. Получающийся в результате приемник является субоптимальным, но по мере увеличения произведения длительности на ширину спектра сигнального процесса он быстро приближается к оптимальному.

Вопрос о том, насколько большим должен быть интервал наблюдения, чтобы приближение, сделанное исходя из модели СПБВН, было справедливым, пока не обсуждался. Если процессы имеют рациональные спектры, то можно вычислить помехоустойчивость как оптимального, так и субоптимального (в смысле СПБВН) приемника, используя метод переменных состояния. Таким образом, в любой конкретной ситуации можно количественно проверить справедливость указанного приближения. Консервативную оценку возможности использования этого приближения можно получить, если проверить значение произведения длительности на ширину спектра сигнального процесса на входе квадратора в канонической реализации № 3. Если это произведение то такое приближение почти всегда справедливо. Во многих случаях приемник СПБВН практически оптимален и для значений

Формулы помехоустойчивости для случая СПБВН удается упростить, поскольку можно использовать асимптотические выражения для определителя Фредгольма. Так, вычисление всегда сводится к отысканию среднеквадратической ошибки фильтрации в некоторой задаче реализуемой винеровской фильтрации. Такая возможность означает, что многие из частных результатов из § 6.2 первого тома непосредственно применимы к гауссовой задаче обнаружения. Во многих ситуациях этим сходством можно пользоваться для эффективного решения задач.

Помимо общей задачи СПБВН, была рассмотрена задача бинарной передачи информации по релеевскому каналу было установлено, что если имеется возможность управлять значением произведения длительности на ширину спектра сигнального процесса в приемнике, то можно достичь того, что суммарная вероятность ошибок будет уменьшаться по экспоненциальному закону при увеличении Этим данный случай отличается от поведения нефлуктуирующего релеевского канала, рассмотренного в п. 4.4.2 первого тома, в котором вероятность ошибок убывает линейно с увеличением

На этом завершается рассмотрение задачи со стационарными процессами при большом времени наблюдения. В § 4.5 имеется ряд задач, которые иллюстрируют применение рассмотренных здесь результатов к конкретным ситуациям.