13.4.1. Оценка в условиях КСМЭ

Процедура решения этой задачи ничем не отличается от процедуры решения аналогичной задачи в гл. 6, поэтому мы просто сформулируем окончательные результаты. Условие КСМЭ означает, что

для всех А в пространстве параметра и для всех Величины есть собственные значения ковариационной функции При указанных ограничениях

Этот результат аналогичен выражению (7,136).

Для простоты предположим, что при дальнейшем рассмотрении Отметим, что имеет единичную энергию, так что нестационарный процесс, энергия которого имеет конечное ожидаемое значение, а именно:

Таким образом, то, что интервал наблюдения бесконечен, не приводит к сингулярной задаче, как это было бы, если бы сигнал был стационарным. Подставив (304) в (3126), получим

Последние два слагаемых являются членами смещения, которые можно записать в более простой форме. Второй член в (3136) можно записать как

Здесь средняя энергия принимаемого сигнала, записанная в виде функции неизвестного параметра А.

Чтобы упростить третий член, используем двухчастотную корреляционную функцию Напомним, что в соответствии с (21) можно записать

Подставляя (315) в последний член в (3136) и производя некоторые преобразования, приходим к выводу, что третий член можно записать в виде

где функция неопределенности сигнала Обозначим сумму последних двух членов в (3136) через Тогда

Последний шаг — найти более простую реализацию первого члена в (313б). Процедура отыскания аналогична той, что использовалась в п. 13.3.4. Разложим функцию на множители, используя следующее соотношение

Поскольку рассматриваемый временной интервал бесконечен, а процесс стационарен, можно найти реализуемую (по отношению к функцию : А) методом факторизации спектра. В частотной области

Подставляя (318) в (3136) и обозначая первый член через имеем

Объединив (320) и (317), получим

Функцию для каждого значения А можно реализовать приближенно дискретизацией по К и заменой интегрирования по К суммированием. Добавив затем получим приближенную функцию правдоподобия. Эта реализация — очевидная модификация структурной схемы алгоритма, представленной на рис. 13.30. Заметим, что указанные вычисления необходимо выполнить для множества значений параметра А, поэтому вся эта процедура оказывается весьма утомительной.

Теперь структура приемника определена. Анализ помехоустойчивости приемника в общем случае затруднителен. Неравенство Крамера — Рао дает границу дисперсии любой несмещенной оценки. В случае одного параметра дисперсию оценки получим в результате дифференцирования выражения (3126):

В случае нескольких параметров можно, модифицировав (7.155), получить элементы информационной матрицы в виде

Подставив (304) в (323), определим элементы матрицы для цели с рассеянием по двум параметрам. С учетом (316) выражение для них можно написать более компактно:

Главные результаты этого пункта — выражения (321) и (324). Они определяют структуру оптимального приемника и его потенциальную помехоустойчивость соответственно. Рассмотрим далее две типичные задачи оценки.