11.2. Обнаружение целей с допплеровским рассеянием

В этом параграфе рассмотрим задачу обнаружения цели с допплеровским рассеянием. Комплексную огибающую принятого сигнала по двум гипотезам в этом случае можно записать в виде

Сигнальный процесс представляется выборочной функцией комплексного гауссова процесса с нулевым средним значением и ковариационной функцией

Аддитивный шум выборочная функция статистически независимого комплексного белого гауссова процесса с нулевым средним значением и спектральной плотностью Параметр дальности X считается известным.

Нетрудно заключить, что эта задача представляет собой комплексный вариант задачи обнаружения гауссова сигнала на фоне гауссова шума, которая была подробно рассмотрена в гл. 2. Ввиду этого сильного сходства многие интересующие нас результаты мы сформулируем без доказательства. Наибольший интерес представляют следующие четыре задачи:

1. Определение критерия отношения правдоподобия.

2. Нахождение канонических структурных схем приемника для реализации испытаний по критерию отношения правдоподобия.

3. Оценка помехоустойчивости оптимального приемника.

4. Установление классов спектров, для которых могут быть получены полные решения.

Обсудим кратко все указанные вопросы.

11.2.1. Критерий отношения правдоподобия

Критерий отношения правдоподобия можно вывести, используя разложение в ряд вида или исходя из соотношения (2.31) с учетом полосового характера процессов (соответственно см. задачи 11.2.1 и 11.2.2). В результате получим:

где функция удовлетворяет интегральному уравнению

правая часть которого

Порог 7 определяется стоимостями и априорными вероятностями в испытании по критерию Байеса и требуемой вероятностью ложной тревоги в испытании по критерию Неймана-Пирсона. В следующем подпараграфе рассмотрим различные реализации приемника, формирующего отношение правдоподобия

11.2.2. Канонические структурные схемы приемника

Для действительных процессов в гл. 2 были синтезированы четыре представляющие интерес структурные схемы реализации приемника. Распространение их на случай комплексных процессов не встречает затруднений, поэтому приведем лишь окончательные структурные схемы, необходимые в справочных целях.

Приемник по схеме оценивателя-коррелятора. Реализация № 1 представлена в комплексной системе обозначений на рис. 11.7, а. Фильтр с импульсной переходной функцией является оптимальным нереализуемым фильтром для оценки и удовлетворяет уравнению (34). Практическая реализация приемника с полосовым фильтром приведена на рис. 11.7, б. Отметим, что интегратор устраняет высокочастотную составляющую выходного процесса перемножителя.

Приемник по схеме фильтр—квадратор—интегратор. Чтобы получить эту реализацию, представим функцию в виде

Тогда

Схема приемника, осуществляющего обработку колебаний, представленных в комплексной форме, указана на рис. 11.8, а. Схема реального приемника приведена на рис. 11.8, б.

Приемник по схеме оптимального реализуемого фильтра. Для этой реализации перепишем выражение для критерия отношения правдоподобия в виде

где реализуемая оценка сигнала по минимуму среднеквадратической ошибки, когда истинна гипотеза (см., например, задачу 11.2.3).

Рис. 11.7. Приемник по схеме «оцениватель — коррелятор» (каноническая реализация № 1): а — комплексные операции; б - действительные операции.

Она получается, если пропустить колебание через фильтр с импульсной переходной функцией определяемой уравнением

По определению она равна

Структурная схема приемника, осуществляющего оптимальную обработку колебаний, представленных в комплексной форме, показана на рис. 11.9.

Реализация в переменных состояния. Если имеет конечномерное представление в комплексных переменных состояния, то обычно более удобно отыскивать оценку , /используя метод переменных состояния. Напомним, что речь идет о точечной цели и предполагается известным. Поэтому ради Простоты алгебраических выкладок можно положить не нарушая общности рассуждений.

Если вектор состояния огибающей обозначить через то

Рис. 11.8. Приемник по схеме фильтр — квадратор — интегратор (каноническая реализация № 3): а — комплексные операции; б - действительные операции.

Вектор состояния удовлетворяет дифференциальному уравнению

где

(см. с. 628)

Оптимальная оценка определяется как решение дифференциальных уравнений

Дисперсионное уравнение имеет вид

Рис. 11.9. Оптимальный приемник по схеме оптимального реализуемого фильтра (каноническая реализация № 4).

Заметим, что ковариационная матрица является эрмитовой матрицей. Подстановка (42) в (48а) дает

Видим, что на среднеквадратическую ошибку влияет только огибающая излучаемого сигнала. При рассмотрении характеристик помехоустойчивости приемника установим, что их можно однозначно выразить через среднеквадратическую ошибку. Таким образом, фазовая модуляция сигнала на помехоустойчивость приемника не влияет. Если цель имеет средний допплеровский сдвиг, то математически это эквивалентно фазовой модуляции сигнала. Следовательно, средний допплеровский сдвиг на помехоустойчивость приемника влияния не оказывает.

Важно отметить, что хотя процесс отражения является стационарным, принимаемый эхо-сигнал будет процессом нестационарным, если функция не является действительным импульсом постоянной величины. Такая нестационарность делает реализацию в переменных состояния очень важной, поскольку на этом пути

можно, действительно, найти необходимые функции для реализации оптимального приемника.

Этим завершается наше первоначальное рассмотрение структурных схем приемника. Рассмотримтеперь помехоустойчивость.

11.2.3. Помехоустойчивость оптимального приемника

Для определения помехоустойчивости используем такую же процедуру, как в гл. 2 (с. 49-60). Важнейшей функцией здесь является Сначала предположим, что имеется К комплексных наблюдаемых величин, которые обозначим вектором Тогда

Используя , имеем

где — собственные значения сигнального процесса

Подставив (51) и (52) в (50), вычислив интеграл (или сравнив с (2.131)) и положив получим

Заметим, что есть действительная функция, тождественная (2.134), за исключением коэффициентов 2. Ее можно выразить в замкнутой форме несколькими способами. Как и в (2.138), она является интегралом от разности двух средних квадратов ошибок реализуемой фильтрации:

Ее можно также выразить с помощью формулы, аналогичной (2.195), если сигнальный процесс имеет конечномерное уравнение состояния. Для процессов в комплексных переменных состояния соответствующие формулы имеют вид

где определяется дифференциальным уравнением

при начальных условиях

Заметим, что является действительной функцией.

Для вычисления характеристик помехоустойчивости подставим (53) в (2.166) и (2.174). В результате получим

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о классах процессов, представляющих принимаемые эхо-сигналы, для которых можно получить полные решения уравнений для оптимального приемника и вычислить характеристики его помехоустойчивости.

11.2.4. Классы процессов

Существует четыре случая, в которых можно получить полные решения.

Случай 1. Процессы отражения с конечным представлением в переменных состояния. В этом случае можно описать с помощью дифференциальных уравнений, подобно тому, как это было сделано ранее (см. (41)-(46)). Поскольку мы ограничились рассмотрением стационарных процессов, это эквивалентно требованию, чтобы спектр был рациональным. В этом случае непосредственно применимы уравнения (38) и (47)-(49) и приемник можно

реализовать по схеме с обратной связью. Помехоустойчивость его легко вычислить, используя (54) в (59) и (60).

Случай 2. Стационарный сигнальный процесс, большое время наблюдения. Этот случай является полосовые аналогом задачи, рассмотренной в § 4.1. Физически он может возникать в нескольких ситуациях, из которых две представляют особой интерес:

1. Комплексная огибающая излученного Передатчиком сигнала является действительным импульсом прямоугольной формы, длительность которого значительно больше интервала корреляции процесса отражения.

2. В условиях задачи пассивного обнаружения сигнал исходит от цели и если этот процесс стационарен, то и огибающая принимаемого сигнала является процессом стационарным.

Для рассматриваемого случая можно использовать асимптотические формулы и получить гораздо более простые выражения. Решим интегральное уравнение (34), используя для его левой и правой части преобразования Фурье. В результате получим

Наиболее распространенной реализацией приемника для этого случая является реализация по схеме «фильтр—квадратор» (см. (36) и (37)). Решение уравнения (36), которое является передаточной функцией реализуемого фильтра, имеет вид:

Напомним, что надстрочный индекс обозначает член, содержащий полюсы и нули в левой полуплоскости.

Случай 3. Разложимые ядра. В этом случае процесс отражения имеет конечное число собственных значений (скажем, К). В соответствии с (20) это означает, что принимаемый сигнальный процесс должен иметь также К собственных значений. При этом рассматриваемая задача оказывается математически тождественной ситуации с отражением от К медленно флуктуирующих целей.

Случай 4. Когерентное обнаружение сигнала малой энергии. В этом случае наибольшее собственное значение много меньше уровня белого шума. Поэтому можно получить решение интегрального уравнения, определяющего в виде ряда. Рассуждая точно так же, как на с. 154—161, критерий отношения правдоподобия получим в виде

С учетом (35) имеем

Функцию можно записать в следующей форме:

Рис. 11.10. Структурная схема оптимального приемника КСМЭ: а — комплексные операции; б - действительная реализация.

Подставляя (64а) в (636), получаем

Структурные схемы оптимального приемника, реализующего этот критерий, показаны на рис. 11.10. (Рекомендуем читателю убедиться, что приемник, построенный по схеме рис. 11.10, б, дает требуемый выходной результат. Полосовой фильтр на частоте предполагается идеальным.)

Для произвольного интервала времени разложение на множители выражения (64а) может оказаться трудновыполнимым. Однако во многих представляющих интерес случаях интервал времени велик, и можно получить приближенное решение (64а), используя следующее преобразование Фурье:

В этом случае получаем структурную схему приемника, представленную на рис. 11.11. Заметим, что мы не требуем, чтобы функция

была величиной постоянной, и поэтому данный результат носит более общий характер, чем условие СПБВН, соответствующее случаю 2.

Помехоустойчивость в случае КСМЭ определяется по формуле (53). Разлагая логарифм в ряд и пренебрегая членами высоких порядков, получаем

Рис. 11.11. Структурная схема оптимального приемника КСМЭ для случая большого времени наблюдения.

С учетом (20) имеем

что можно также записать в виде

Таким образом, помехоустойчивость можно определить, вычислив двойной интеграл. Для вычисления необходимо подставить (666) в (59) и (60).

11.2.5. Краткие итоги § 11.2

В этом параграфе были рассмотрены вопросы обнаружения целей с допплеровским рассеянием. Наиболее важными моментами в этом рассмотрении были вывод выражения для критерия отношения правдоподобия, канонические реализации оптимального приемника, а также определение помехоустойчивости оптимального приемника и класса сигналов, которые допускают полные решения. Все полученные здесь результаты представляют комплексные варианты соответствующих результатов гл. 2—4.

В ходе изложения мы стремились подчеркнуть сходство между рассматриваемой здесь задачей и задачами, которыми мы занимались ранее. Читателю должно быть ясно, что это сходство

возникает вследствие того, что мы ввели комплексную форму записи. Задачу обнаружения в случае полосовых процессов трудно решить без комплексной системы обозначений, если квадратурные составляющие сигнального процесса не являются статистически независимыми (напомним задачу 3.4.9). Из (20) и следует, что для того чтобы квадратурные составляющие были статистически независимыми, должно выполняться условие

Условие (67) резко ограничивает класс целей и сигналов, которые мы можем изучать, не прибегая к комплексной форме записи (например, для сигналов с линейной ЧМ условие (67) не выполняется).

Кроме того, в рамках данной задачи обнаружения мы почти всегда имеем дело с нестационарными процессами. Это означает, что метод представления в комплексных переменных состояния окажется эффективным при решении многих задач.

Задача, которая рассматривалась в этом параграфе, — простая задача бинарного обнаружения. Все результаты, полученные при ее рассмотрении, можно распространить на случай полосовых процессов, являющийся вариантом общей бинарной задачи, рассмотренной в гл. 3. Некоторые выводы формулируются в рамках задач, помещенных в конце данной главы.

Далее мы рассмотрим задачу передачи цифровой информации (цифровой связи) по каналу с допплеровским рассеянием.