3. ОБЩАЯ БИНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБНАРУЖЕНИЯ: ГАУССОВЫ ПРОЦЕССЫ

В этой главе мы обобщим модель, рассмотренную в гл. 2, с тем, чтобы охватить другие гауссовы задачи, часто встречающиеся на практике. В § 3.1 рассмотрена обобщенная модель гауссовой задачи обнаружения; остальная часть главы посвящена различным структурным схемам оптимального приемника и анализу их помехоустойчивости.

3.1. Классификация моделей и задач

Очевидное обобщение следует из рассмотрения цифровой системы связи . В этом случае по каждой гипотезе передается сигнал, отличный от сигнала, передаваемого по другой гипотезе. Обычно передаются сигналы

Если канал является простым мультипликативным каналом, показанным на рис. 2.9, то принятые колебания по двум гипотезам записываются в виде

где выборочная функция гауссова случайного процесса. Это лишь частный случай общей задачи, в которой принятые колебания по двум гипотезам записываются в виде

где гауссовы процессы со средними значениями и ковариационными функциями соответственно. Во многих случаях в задаче может также

существовать компонента небелого шума присутствующая по обеим гипотезам. Тогда

Обе эти задачи и многие другие можно охватить общей формой записи в виде:

По гипотезе колебание является выборочной функцией гауссова случайного процесса со средним значением и ковариационной функцией

Рис. 3.1. Классификация гауссовых задач обнаружения.

По гипотезе колебание выборочная функция гауссова случайного процесса со средним значением и ковариационной функцией Для упрощения анализа при первоначальном рассмотрении предположим, что имеет нулевое среднее по обеим гипотезам. Полученные в гл. 2 результаты, связанные со средними значениями, обобщаются очевидным образом и рассмотрены в § 3.4.

Некоторая часть результатов гл. 2 будет непосредственно применена к общей задаче, соответствующей модели (7). Однако многие из этих результатов справедливы только для некоторых подклассов общей задачи. Для большей четкости и облегчения запоминания эти подклассы определены согласно классификационной таблице, приведенной на рис. 3.1. Во всех случаях различные процессы являются статистически независимыми. Подстрочный индекс означает, что одна и та же компонента белого шума присутствует по обеим гипотезам. Другие процессы также могут присутствовать по обеим гипотезам Отсутствие подстрочного индекса

означает, что компонента белого шума необязательно присутствует. Включения классов указаны стрелками. Так,

Любому из указанных классов можно присвоить два дополнительных подстрочных индекса. Дополнительный подстрочный индекс означает, что все участвующие в данном классе процессы имеют конечномерное представление состояния. Дополнительный подстрочный индекс означает, что некоторые из участвующих в рассмотрении процессов имеют ненулевое среднее. Отсутствие подстрочного индекса означает, что все процессы имеют нулевые средние. Отсюда легко заключить, что простая бинарная задача, рассмотренная в гл. 2, является частным случаем класса в котором не присутствует компонента небелого шума Эта классификация может показаться громоздкой, но она позволяет нам четко и понятно организовать изложение материала и рассмотреть полученные результаты.

Как и в случае простой бинарной задачи, нам необходимо найти оптимальный приемник и определить его помехоустойчивость. Причиной того, что вычисление отношения правдоподобия в простой бинарной задаче не вызывало затруднений, является присутствие белого шума по гипотезе Поэтому мы могли выбирать координатную систему, основываясь на ковариационной функции сигнального процесса по гипотезе . В результате такого выбора мы получали статистически независимые коэффициенты по обеим гипотезам. Теперь же принятое колебание может содержать небелую компоненту по обеим гипотезам. Поэтому, за исключением тривиального случая, когда небелые компоненты имеют одинаковые собственные функции по обеим гипотезам, метод, изложенный в § 2.1, будет давать нам коррелированные коэффициенты. Существует несколько способов обойти это затруднение. Интуитивно привлекательным является метод выбеливания, который первоначально был рассмотрен в гл. 4 первого тома (с. 332). Этот метод будет использоваться и при дальнейшем изложении.

В § 3.2 выведен критерий отношения правдоподобия и синтезированы различные структурные схемы приемника для задачи класса . В § 3.3 исследована помехоустойчивость приемника для задачи класса . В § 3.4 рассмотрены четыре важные частные ситуации: бинарная симметричная задача, задача с ненулевым средним, задача с полосовым сигналом и бинарная симметричная задача с полосовым сигналом. В § 3.5 мы обращаемся к задачам класса (общая бинарная задача) и кратко обсуждаем задачу вырожденных испытаний. Мы умышленно отложили рассмотрение общего случая ввиду того, что почти все физические ситуации можно смоделировать системой класса Наконец, в § 3.6 подводятся итоги гл, 3 и обсуждаются некоторые примыкающие вопросы.