2.1.4. Каноническая реализация № 4: приемник в виде оптимального реализуемого фильтра

Основная идея этой реализации заключается в том, чтобы формировать отношение правдоподобия в реальном масштабе времени как выходное напряжение нелинейной динамической системы. Синтез структурной схемы приемника в этой форме представляет интерес, поскольку рассматриваемый здесь основной метод применим ко многим задачам. Для простоты обозначений в этом параграфе положим Первоначально будем предполагать, что и рассмотрим только

Очевидно, что является функцией длины интервала наблюдения Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, можно записать

Для рассмотрения задачи в более общем виде можно ввести в рассмотрение функцию правдоподобия для любого момента времени

где При этом можно записать в виде

Теперь необходимо найти простой метод для формирования Заменив на в (31), получим

где удовлетворяет интегральному уравнению

Заметим, что решение уравнения (56) зависит от Это подчеркивается здесь формой записи Продифференцировав (55), получим

Видим, что первые два слагаемые в (57) зависят от В этом случае (56) сводится к виду

Из материалов гл. 6 первого тома известно, что

или

(Подстрочный индекс означает, что операцию (59) можно реализовать с помощью реализуемого фильтра.) Формула (60) следует из симметрии решения уравнения (56). Учитывая (59) и (60) в (57), получим

В задаче было доказано, что

Поскольку этот результат является важным этапом нашего вывода, приведем из [7] это доказательство.

Доказательство соотношения (62). Продифференцировав (56), получим

Теперь заменим левой частью уравнения (58) и перегруппируем члены. В итоге получим

Заметим, что члены в фигурных скобках играют роль собственной функции с собственным значением, равным Однако ковариационная функция является неотрицательно определенной, и, следовательно, она не может иметь отрицательного собственного значения. Поэтому, чтобы (64) соблюдалось, выражение в фигурных скобках должно тождественно равняться нулю. Что и требовалось доказать.

Подставив (62) в (61) и учитывая (58), получим требуемый результат:

Следовательно,

Прежде чем рассмотреть структуру оптимального приемника и некоторые примеры целесообразно ненадолго отступить и продемонстрировать алгоритм для вычисления бесконечной суммы вида которая необходима для определения порога при испытании по критерию Байеса. Это уместно сделать именно сейчас, поскольку процедура его вывода аналогична процедуре синтеза, которая только что была завершена. Сначала необходимо сделать два замечания по форме записи.

1. Собственные значения в данной сумме зависят от длины интервала. Это обстоятельство подчеркивается записью

2. Собственные функции также зависят от длины интервала и поэтому ниже используется запись . Заметим, что указанные обозначения ранее были использованы в гл. 3 первого тома (см. с. 241).

Запишем данную сумму в виде

Выполнив операцию дифференцирования, получим

В гл. 3 первого тома (с. 242, (3.163)) было доказано, что

и показано, что (см.

где импульсная переходная функция оптимального (по критерию наименьшей среднеквадратической ошибки) реализуемого линейного фильтра, определяемая уравнением (58). На основании (I-3.155), (44) и (58) наименьшая среднеквадратическая ошибка реализуемой оценки равна

Следовательно,

Согласно (33) имеем

Отсюда видно, что если использовать каноническую реализацию № 4, то первый член порога, необходимого для байесовского испытания, получается как побочный результат. Второй член (см. (34)) обусловлен наличием среднего значения и его вычисление будет дальше рассмотрено.

Рис. 2.7. Реализация оптимального приемника в форме оптимального реализу емого фильтра (каноническая реализация № 4).

Структурная схема реализации № 4 устройства формирования показана на рис. 2.7.

Прежде чем закончить рассмотрение вопроса о пороге, следует сделать некоторые дополнительные замечания. Бесконечная сумма такого вида, как в левой части (72), будет появляться в различных контекстах по ходу изложения книги, поэтому нужна эффективная процедура для ее вычисления. Покажем, что эту сумму можно также записать как логарифм определителя Фредгольма [8]:

Теперь необходимо найти эффективный метод вычисления Одна из процедур определения вычислить и использовать интегральное выражение из правой части (73). Вторая процедура для вычисления является побочным

результатом процедуры решения уравнений Фредгольма для некоторых сигнальных процессов Приложение). Третья процедура заключается в использовании соотношения

где решение уравнения (23) при Заметим, что (75) определяет импульсную переходную функцию оптимального нереализуемого фильтра. Этот результат выводится в задаче 2.1.2. Выбор процедуры зависит от конкретной задачи.

До сих пор не делалось каких-либо подробных предположений о характере сигнального процесса. Теперь рассмотрим реализацию № 4 с точки зрения ее возможного использования для приема сигнальных процессов, которые можно генерировать путем возбуждения конечномерной линейной системы белым шумом. Назовем соответствующий приемник «реализацией означает «состояние»).