2. ОБНАРУЖЕНИЕ ГАУССОВЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ БЕЛОГО ГАУССОВА ШУМА

В настоящей главе рассмотрим задачу обнаружения выборочной функции (реализации) гауссова случайного процесса в присутствии аддитивного белого гауссова шума. Эта задача является частным случаем общей гауссовой задачи, описанной в гл. 1. Она характеризуется тем свойством, что по обеим гипотезам принятый сигнал содержит аддитивную шумовую компоненту являющуюся выборочной функцией белого гауссова процесса с нулевым средним значением и спектральной плотностью Когда истинна гипотеза Ни принятый сигнал, кроме того, содержит сигнальную компоненту которая является выборочной функцией гауссова случайного процесса, среднее значение и ковариационная функция которого известны. Таким образом,

Сигнальный процесс имеет среднее значение

и ковариационную функцию

Среднее и ковариационная функция считаются известными. Предполагается, что сигнальный процесс имеет конечное среднеквадратическое значение и статистически независим от аддитивного шума. Следовательно, ковариационная функция процесса по гипотезе равна

Процесс будем называть условно гауссовым случайным процессом. Термин «условно гауссов» используется потому, что процесс при условии, что истинна гипотеза или соответствует двум гауссовым процессам, используемым в нашей модели.

Нетрудно заметить, что среднее значение можно рассматривать как детерминированную компоненту входного процесса. Когда желательно подчеркнуть это обстоятельство, будем записывать процесс на входе приемника в виде

Подстрочным индексом обозначается случайная компонента сигнального процесса. При этом колебание на входе приемника по гипотезе представляется в форме известного сигнала, искажаемого двумя независимыми гауссовыми процессами, имеющими нулевые средние значения. Если ковариационная функция тождественно равна нулю, то данная задача вырождается в задачу обнаружения известного сигнала на фоне белого шума, рассмотренную в гл. 4 первого тома. По мере дальнейшего изучения материала мы будем убеждаться, что все результаты гл. 4 первого тома, за исключением случая случайной фазы , можно рассматривать как частные случаи различных задач, излагаемых в гл. 2 и 3 третьего тома.

В § 2.1 будет синтезирован оптимальный приемник и обсуждены различные процедуры его реализации. В § 2.2 произведен анализ помехоустойчивости оптимального приемника. Наконец, в § 2.3 подведены итоги и систематизированы результаты, полученные в гл. 2.

Большинство оригинальных работ в области обнаружения гауссовых сигналов принадлежит Прайсу и Миддлтону [17—20]. По ходу изложения материала делаются также ссылки на другие работы.

2.1. Оптимальные приемники

Наш подход к синтезу оптимального приемника в данном случае аналогичен подходу в случае детерминированного сигнала (см. с. 297—299 первого тома). Основные его моменты заключаются в следующем.

1. Разлагаем процесс в ряд, используя собственные функции сигнального процесса в качестве координатных функций. Аддитивная шумовая компонента является белым шумом и поэтому коэффициенты разложения будут условно некоррелированными по обеим гипотезам. Так как входной процесс является гауссовым по обеим гипотезам, эти коэффициенты к тому же условно статистически независимы.

2. Производим усечение ряда на члене и обозначаем первые К членов через вектор Колебание, соответствующее сумме первых членов этого ряда, обозначаем через

3. Далее строим отношение правдоподобия

и преобразуем его к такому виду, чтобы можно было положить

4. Обозначим предел отношения через Решающее правило заключается в сравнении отношения правдоподобия с порогом

Как и прежде, порог определяется стоимостями и априорными вероятностями при испытании по критерию Байеса и требуемой вероятностью ложной тревоги при испытании по критерию Неймана-Пирсона. Выполним теперь все указанные этапы подробно.

Ортонормальными функциями для разложения в ряд являются собственные функции интегрального уравнения

Будем полагать, что эти ортонормальныефункции образуют полную систему. Это условие заведомо выполняется, если ковариационная функция является положительно определенной. Если она лишь неотрицательно определенная, необходимо преобразовать систему, чтобы сделать ее полной.

Коэффициенты ряда имеют вид

а усеченный ряд, -членное приближение, записывается в виде

Таким образом

Отсюда нетрудно установить статистические свойства коэффициентов разложения по двум гипотезам:

Заметим, что из (15) следует, что коэффициенты ортонормального разложения среднего значения, т. е.

Ковариация между коэффициентами равна

где собственное значение интегрального уравнения (9). Надстрочным индексом подчеркивается то обстоятельство, что речь идет о собственном значении сигнального процесса

По обеим гипотезам коэффициенты являются статистически независимыми гауссовыми случайными величинами. Плотность вероятности вектора есть просто произведение плотностей этих коэффициентов. Таким образом,

Произведя почленное умножение, сократив общие множители, взяв логарифм и перегруппировав результаты, получим

Заключительный этап процедуры — получение выражений в замкнутой форме для различных слагаемых при Для этого необходимо найти обратное ядро, которое впервые было введено в рассмотрение в гл. 4 первого тома (см. (I-4.152)).

Ковариационная функция всего входного процесса по гипотезе равна Соответствующее обратное ядро определяется из соотношения

В терминах собственных функций и собственных значений

В гл. 4 первого тома было также показано, что можно записать в виде суммы

где функция удовлетворяет интегральному уравнению

Значения функции в конечных точках интервала определяются как пределы значений на открытом интервале, так как предполагается, что функция непрерывна. (Вспомним рассуждение на с. 338—339 первого тома.) Напомним также, что решение интегрального уравнения (23) можно записать через собственные функции и собственные значения:

Перепишем теперь первые три слагаемые в (19) с учетом (10) и (15):

Положим в (25) и используем (21) и (24), чтобы вычислить первые три слагаемые в (25). В результате получим

Далее можно упростить второе и третье слагаемые в правой частй (26), вспомнив определение в форме Для нашего случая

Заметим, что играет роль известного сигнала, который в гл. 4 первого тома был обозначен через Отметим также, что третье и четвертое слагаемые не являются функциями процесса и могут быть учтены величиной порога. Таким образом, критерий отношения правдоподобия имеет вид

где

Если прибегнуть к байесовому критерию, то необходимо вычислить бесконечную сумму в правой части, чтобы установить порог испытания. На с. 41 выведено удобное выражение в замкнутой форме для этой суммы. Для испытания по критерию Неймана—Пирсона мы непосредственно регулируем величину у, чтобы получить требуемую вероятность ложной тревоги так что точного значения этой суммы не требуется, лишь бы было известно, что она сходится. Ее сходимость легко установить:

Полученный интеграл есть просто математическое ожидание энергии данного процесса, которая предполагалась конечной.

Первое слагаемое в левой части (28) соответствует квадратичной операции над процессом и появляется здесь вследствие того, что сигнал является случайным. Если ковариационная функция (т. е. сигнал является детерминированным), то это слагаемое исчезает. Обозначим первое слагаемое через (Подстрочный индекс означает «случайный».) Второе слагаемое в левой части (28) соответствует линейной операции над процессом и появляется здесь из-за наличия среднего значения

Рис. 2.1. Схемы формирования

Если сигнал является процессом с нулевым средним, то это слагаемое исчезает. Обозначим второе слагаемое через (Подстрочный индекс означает «детерминированный»). Удобно также обозначить последние два слагаемые в правой части (29) через соответственно. Итак, мы имеем следующие определения:

При этих обозначениях КОП примет вид

Второе слагаемое в левой части (35) физически соответствует либо операции вычисления взаимокорреляционной функции, либо операции согласованной фильтрации, как показано на рис. 2.1.

Импульсная переходная функция согласованного фильтра, указанного на рис. 2.1, б, имеет вид

Ранее мы встречались с этими операциями при рассмотрении задачи обнаружения в присутствии небелого шума (§ 4.3 первого тома). Таким образом, единственным новым элементом в оптимальном приемнике является устройство формирования В следующих нескольких подпараграфах изложим ряд методов формирования