6. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Следующим интересующим нас вопросом является оценка параметров гауссова процесса. Эта проблема рассматривается в гл. 6 и 7. Прежде чем приступить к разработке количественной модели указанной задачи, мы рассмотрим ряд физических ситуаций, в которых возникают задачи оценки параметров.
Первым рассмотрим пример, который возникает всякий раз, когда мы моделируем физическое явление, используя случайные процессы. Во многих случаях эти процессы характеризуются средним значением, ковариационной функцией и спектром. Далее модель анализируется в предположении, что эти функции известны. Часто встречается необходимость наблюдать выборочную функцию (реализацию) случайного процесса и оценивать его характеристики по результатам этого наблюдения. Измерительные задачи такого рода можно разделить на две категории. К первой относятся такие задачи, в которых мы пытаемся оценить всю функцию, как, например, энергетический спектр стационарных процессов. Ко второй категории принадлежат задачи, в которых мы представляем функцию через параметры и пытаемся оценить эти параметры. Например, можно предположить, что спектр имеет форму
и попытаться оценить параметры 
Во многих случаях задачи второй категории будут соответствовать модели оценки параметров, рассматриваемой в § 6.1. Адекватное рассмотрение задач первой категории отвлекло бы нас слишком далеко от основной темы. Некоторые из вопросов, относящихся к области задач первой категории, обсуждаются в разделе задач вне основного текста главы. К книгам, посвященным данной проблеме, принадлежат, в частности, [1 - 3].
Второй пример можно взять из таких областей, как спектроскопия, радиоастрономия, классификация целей методами пассивной гидролокации. Источник создает узкополосный случайный процесс, средняя частота которого характеризует сам источник. Поэтому первый этап решения задачи классификации заключается в оценке средней частоты сигнального процесса.
Третий пример приведем из области обнаружения подземных ядерных взрывов. Важным параметром при решении вопроса, было ли данное событие землетрясением или взрывом ядерного устройства, является глубина залегания источника. На станции наблюдения принимаются сейсмические волны, угол прихода которых зависит от глубины размещения источника.
Общей чертой всех указанных примеров является то, что представляющие интерес параметры скрыты в характеристиках процессов. Другими словами, отображение из пространства параметров в пространство сигналов является случайным. В этой и последующей главах изложены методы решения задач такого типа.
В гл. 6 приведены основные результаты. Количественная модель задачи дана в § 6.1. В § 6.2 выведены функция правдоподобия, уравнения максимального правдоподобия и уравнения максимальной апостериорной вероятности. В § 6.3 рассмотрены процедуры анализа качества работы систем.
При изучении теории обнаружения мы видели, что существуют особые категории задач, для которых можно получить полные решения. В гл. 7 рассматриваются четыре подобные категории задач. В § 7.1 рассмотрен случай стационарного процесса при большом времени наблюдения. В примерах этого параграфа речь идет об оценке амплитуды известной ковариационной функции. Здесь возникает ряд вопросов, которые невозможно адекватно разрешить без разработки новых методов, и поэтому мы делаем некоторое отступление и выводим необходимые выражения. Материал этого параграфа важен тем, что он иллюстрирует, как перейти от общей теории, изложенной в гл. 6, к полным решениям реальной задачи. В §§ 7.2 — 7.4 рассмотрены соответственно задачи, связанные с процессами с конечным представлением в переменных состояния, задачи на процессы с разложимыми ядрами и задачи на когерентное обнаружение сигналов малой энергии. В §§ 7.5 и 7.6 полученные ранее результаты развиты применительно к оценке нескольких параметров и подведены основные итоги рассмотрения теории оценок.
Прежде чем перейти к количественному анализу задачи оценки полезно сделать два замечания.
1. Данный анализ является логическим развитием работы по оценкам параметров, которая была выполнена в гл. 2 и 4 первого тома. Настоятельно рекомендуем читателям ознакомиться с содержанием § 2.4, пп. 4.2.2 — 4.2.4 и п. 4.3.5 первого тома, прежде чем приступать к изучению настоящего раздела.
2. Чтобы подойти к окончательному результату при решении задач оценки параметров, часто бывает необходимо выполнить довольно значительный объем выкладок и вычислений. При первом чтении подробные выкладки можно опустить, но не следует упускать из виду существенные аспекты рассматриваемой задачи.
