9.4.2. Представление оптимального ириемника посредством дифференциальных уравнений и его помехоустойчивость: II вариант

Существует несколько путей синтеза требуемой структуры. Ограничимся подробным рассмотрением двух методов.

Первый основывается на методе выбеливающего фильтра. В § 9.3 для получения функции использовался нереализуемый выбеливающий фильтр. Используем теперь реализуемый выбеливающий фильтр. Пусть функция обозначает импульсную характеристику комплексного реализуемого выбеливающего фильтра. Если на входе фильтра имеется шум то шум на его выходе представляется выборочной функцией белого шумового процесса.

Распространяя результаты решения задачи 4.3.4 из первого тома на комплексный случай, можно показать, что

где импульсная характеристика линейного фильтра, который выдает оценку шума по минимуму среднего квадрата ошибки, когда на его входе имеется сумма Статистику, испытания можно записать в виде

Структурная схема приемника показана на рис. 9.8. Заметим, что операции, представленные блоками, которые заключены внутри штрихового контура, не зависят от Функцию вычисляют при построении (синтезе) приемника. Именно эта вычислительная операция обозначена блоками, обведенными штриховым контуром.

Реализация структуры алгоритма оптимальной обработки в переменных состояния получается путем задания функции при помощи дифференциальных уравнений. Поскольку ее можно интерпретировать как алгоритм оптимальной оценки шума используем выражения (П.159)-(П.162).

Уравнение алгоритма оценки имеет вид

а дисперсионное уравнение —

при начальных условиях

Рис. 9.8. Структурная схема оптимального приемника, в котором используются реализуемые выбеливающие фильтры.

Оценка шума равна

Заметим, что она является реализуемой оценкой по минимуму среднего квадрата ошибки в предположении, что истинна гипотеза Используя (103), (107) и рис. 9.8, получим структурную схему приемника, представленную на рис. 9.9.

Выражение для помехоустойчивости приемника получить нетрудно. На выходе выбеливающего фильтра в нижней ветви структурной схемы имеем функцию Согласно (76) определяем

На основании рис. 9.8 или 9.9 можно записать

где — процесс на выходе оптимального реализуемого фильтра, когда на его входе действует процесс С учетом (109) из (108) получим

Рис. 9.9. Структурная схема оптимального приемника (реализация в переменных состояния) для обнаружения медленно флуктуирующей точечной цели на фоне небелого шума.

На основании (100) видно, что

Можно также вывести структуру алгоритма оптимального приемника непосредственно из соотношений (85) и (92). Так как этот метод можно использовать для решения других задач, рассмотрим его более подробно.

Второй метод вывода оптимального алгоритма. В основе этого метода лежит соотношение

где матрицы, которые теперь предстоит определить. Дифференцируя (112) и используя уравнения (93)-(96),

установим, что матрица должна удовлетворять уравнению, известному как дисперсионное (см. (104))

при

(Следовательно, Функция должна удовлетворять уравнению

при

Это уравнение имеет такую же структуру, как уравнение алгоритма оценки, с той лишь разницей, что заменяется на

Чтобы перейти к следующему этапу вывода, введем обозначения для и , указывающие точку на конце интервала наблюдения. Запишем эти функции в виде Они удовлетворяют уравнениям (93)-(96) на интервале Статистика испытания записывается в форме

Для получения требуемого результата используем известные методы дифференцирования и интегрирования:

Продифференцировав члены в фигурных скобках, получим

Можно показать (см. задачу 9.4.5), что второй член сводится к выражению

где вектор состояния оптимального реализуемого линейного фильтра, на входе которого действует процесс Используя (120) в (119), а результат — в (118), получим

Структурная схема приемника, определяемая выражением (121), тождественна схеме приемника, показанной на рис. 9.9.

В этом параграфе были получены две реализации алгоритма оптимального приемника в переменных состояния для обнаружения полосового сигнала на фоне небелого шума. Важность этих результатов объясняется тем, что они позволяют полностью определить оптимальный приемник и его помехоустойчивость для широкого класса небелых шумовых процессов. Они также дают возможность выразить задачу обнаружения в форме, в которой можно исследовать вопрос о синтезе оптимального сигнала. Эта задача кратко обсуждается в следующем параграфе.