7. ЧАСТНЫЕ КАТЕГОРИИ ЗАДАЧ ОЦЕНКИ

Как и в области обнаружения, в области оценок существует несколько категорий (частных случаев) процессов, для которых можно получить достаточно полное решение уравнения оценки. В этой главе мы рассмотрим четыре частных случая:

1. Стационарные процессы при большом времени наблюдения (§ 7.1).

2. Процессы с конечным представлением в переменных состояния (§ 7.2).

3. Процессы с разложимыми ядрами (§ 7.3).

4. Когерентность сигналов малой энергии (§ 7.4).

Где возможно, используется сходство с задачей обнаружения, а также результаты гл. 4. Для простоты алгебраических выкладок на протяжении всей главы предполагается, что

В § 7.5 рассмотрены некоторые родственные вопросы. В § 7.6 подведены итоги рассмотрения теории оценок.

7.1. Стационарные процессы при большом времени наблюдения

Интересующая нас модель аналитически представляется в виде

Предполагается, что выборочная функция стационарного нормального случайного процесса с нулевым средним и ковариационной функцией

Аддитивный шум описывается выборочной функцией независимого белого гауссова процесса с нулевым средним и спектральной плотностью Таким образом,

Энергетический спектр колебания можно записать в виде

Кроме того, предполагается, что интервал времени

достаточно велик и можно пренебречь переходными явлениями на концах этого интервала. (Напомним изложенное на с. 122 — 125.)

В этом параграфе рассмотрим те упрощения, которые удается сделать в случае, когда справедливо условие СПБВН. В п. 7.1.1 изложены некоторые общие результаты и введена в рассмотрение задача оценки амплитуды. В п. 7.1.2 исследована точность так называемых усеченных оценок (определение этого термина дано там же). В п. 7.1.3 рассмотрены субоптимальные приемники. Наконец, в п. 7.1.4 подведены итоги § 7.1.

7.1.1. Общие соотношения

Желательно найти простые выражения для уравнения оценок по максимуму апостериорной вероятности и по максимуму правдоподобия и нижнюю границу дисперсии ошибки. Используя (6.17), (6.18), (4) и такую же процедуру, как на с. 123—124, получим

где импульсная переходная функция фильтра с постоянными во времени параметрами, передаточная функция которого равна

Фильтр, описываемый соотношением (7), является нереализуемым и соответствует канонической реализации № 1 в рамках теории обнаружения. Простую реализацию можно получить путем разложения передаточной функции на множители:

Тогда

Но это соответствует реализации по структурной схеме фильтр—квадратор—интегратор, которая аналогична канонической реализации № 3. Заметим, что импульсная переходная функция реализуемого фильтра.

Выражение для члена, соответствующего смещению оценки, легко получается из асимптотической формулы для среднеквадратической ошибки. Используя (4.16) и (6.25), получим

В соответствии с (6.27) построим функцию правдоподобия

и выберем значение параметра при котором она имеет максимум. Общая структура приемника для получения оценки с учетом (9) и (10) показана на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Формирование достаточной статистики в случае стационарного процесса при большом времени наблюдения.

Уравнение максимального правдоподобия получается путем подстановки (6) и (10) в (11), дифференцирования и приравнивания результата нулю при Обычно мы обозначаем решение уравнения максимального правдоподобия через Однако уравнение максимального правдоподобия обеспечивает лишь необходимое условие и нужно еще проверить, является ли этот максимум внутренним для интервала и что абсолютный максимум. В ряде примеров, которые будут рассмотрены ниже, максимум может быть в конечной точке интервала Поэтому необходимо быть внимательным при проверке условий. При этом решение следует рассматривать как одно из возможных значений

Выполнив указанные действия, получим

где

Чтобы найти границу Крамера — Рао, обратимся к асимптотическому варианту формулы (6.61):

При больших значениях выражение (14) можно записать в частотной области в форме

С учетом (13) окончательно получим

Согласно (6.44) имеем

для любой несмещенной оценки.

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим ряд задач по оценке амплитуды. Эти примеры важны тем, что они иллюстрируют трудности, которые возникают при решении конкретной задачи, и пути их преодоления.

Пример 1. Сначала рассмотрим задачу оценки амплитуды спектра стационарного случайного процесса, наблюдаемого на фоне аддитивного белого шума. Спектр сигнала можно записать в виде

где считается известной спектральной плотностью. Значения параметра А, являющегося неслучайным, изменяются в пределах . В результате подстановки (18) в (7) получим

Согласно формуле (8) имеем

а в соответствии с формулой (10)

Образуем функцию правдоподобия

и найдем значение параметра А, при котором она имеет максимум. Структурная схема приемника, реализующего этот алгоритм обработки, показана на рис. 7.2.

Чтобы получить уравнение максимального правдоподобия, произведем подстановку (18) в (12):

где

В общем случае получить решение уравнения (23) в явном невозможно и поэтому приходится реализовывать приемник по-прежнему в виде ряда параллельных трактов обработки. Если получаемая оценка является несмещенной, то ее относительная дисперсия имеет нижнюю границу

Исследуем теперь результаты из примера 1 подробнее для различных частных случаев.

Рис. 7.2. Формирование функции правдоподобия каноническая реализация № 3.

Пример 2. Предположим, что спектр идеально ограничен по полосе:

Передаточную функцию всегда можно аппроксимировать со сколь угодно высокой точностью приближения и использовать приемник, структурная схема которого представлена на рис. 7.2. Однако существуют два предельных случая, для которых возможны более простые его реализации.

Первый предельный случай соответствует условию, когда спектральная плотность сигнала много больше, чем Этот случай иногда называют случаем высокого отношения сигнал/шум на входе:

Чтобы использовать записанное условие, разложим соответствующие члены (24) и (23) в степенные ряды по

С учетом (28) и (29) из (22), пренебрегая степенями выше первой, получим

где

Теперь стало очевидным, почему мы обозначили оценку в выражении (30) через , а не Для этого достаточно взглянуть на правую часть соотношения (30). Здесь первый член является случайной величиной, значение которой всегда неотрицательно. Второй член — отрицательное смещение. Следовательно, оценка может принимать отрицательные значения. Так как параметр А является спектральной амплитудой, он должен быть неотрицательным. Это означает, что нижний предел интервала изменения параметра А, который мы обозначили через должен быть неотрицательным. Для простоты алгебраических выкладок предположим, что Итак, когда значение отрицательно, берем нуль за максимально правдоподобную оценку

Заметим, что этот результат согласуется с нашим первоначальным рассмотрением уравнения максимального правдоподобия на с. 75 первого тома. Следует еще раз подчеркнуть, что уравнение максимального правдоподобия обеспечивает необходимое условие того, чтобы была оценкой по максимуму правдоподобия только тогда, когда максимум функции правдоподобия является внутренним по отношению к интервалу изменения параметра А. Позднее будет показано, что в большинстве представляющих интерес случаев вероятность того, что будет отрицательной, мала. В следующем параграфе мы рассмотрим этот вопрос с количественной стороны.

Нетрудно удостовериться, что является несмещенной оценкой:

С учетом (32) нетрудно заметить, что в соответствии с (33) оценка должна быть смещенной. Это значит, что мы не можем использовать границу в (17). Более того, поскольку трудно найти смещение как функцию параметра А, мы не можем модифицировать границу каким-либо очевидным образом, например, мы не можем использовать результаты задачи 6.3.1. Так как этот вопрос возникает во многих задачах, целесообразно изложить метод его анализа.