3.5. Общий бинарный случай: белый шум не обязательно присутствует

В этом параграфе мы кратко обсудим общую бинарную задачу. Принятые по двум гипотезам колебания записываются в виде

Эти процессы являются гауссовыми процессами с нулевыми средними и ковариационными функциями и соответственно. Предполагается, что оба процесса строго положительно определенные.

3.5.1. Синтез оптимального приемника

Чтобы решить эту задачу, сначала пропустим процесс через выбеливающий фильтр для получения выходного процесса являющегося белым по гипотезе Ранее импульсную переходную функцию выбеливающего фильтра мы обозначали через Теперь обозначим ее через Причина такого обозначения станет вскоре очевидной. При этом

Из требования выбеливания процесса следует, что

По гипотезе ковариационная функция процесса равна

Теперь можно разложить процесс по собственным функциям

Коэффициенты разложения равны

и выбеленный процесс представляется в виде

Эти коэффициенты являются случайными величинами с нулевыми средними. Их ковариационные функции равны

Заметим, что (116) можно записать как

Введем теперь в рассмотрение функцию определив ее неявно через соотношение

Видим, что функциональный квадратный корень из ковариационной функции Заметим, что

Формулу (123) можно проверить, если выписать каждый член разло жения в ортогональный ряд. Умножив обе части (121) на проинтегрировав и учитывая (123), получим

Если ввести в рассмотрение функцию определяемую как

то (124) принимает вид

Заметим, что исходный процесс можно также записать в форме

Таким образом, мы располагаем разложением, которое дает статистически независимые коэффициенты по обеим гипотезам. Критерий отношения правдоподобия при этом имеет вид

Если положить то это выражение сведется к

Введем теперь в рассмотрение ядро, определяемое как

и удовлетворяющее интегральному уравнению

Тогда

С учетом (113) имеем

Введя в рассмотрение функцию равную

получим

Исходя из (134), нетрудно показать, что удовлетворяет уравнению

Как и следовало ожидать, формула (136) совпадает с (33). Теперь необходимо определить помехоустойчивость оптимального приемника.