6.1. Модель задачи оценки параметров

Модель задачи оценки параметров описать нетрудно. Принимаемое колебание представляет собой сумму сигнала и шума

Сигнал моделируется выборочной функцией случайного процесса, характеристики которого зависят от параметра А, который мы хотим оценить.

Чтобы выяснить существо данной модели, предположим, что значение параметра А фиксировано, а шум тождественно равен нулю. Тогда в различные моменты времени проведения эксперимента сигнальное колебание будет принимать различные значения, так как оно является выборочной функцией случайного процесса. В отличие от такой постановки вопроса в задачах оценки параметра в гл. 4 первого тома отображение из пространства параметров в пространство сигналов было детерминированным.

Предполагается, что сигнальный процесс является условно гауссовым.

Определение. Случайный процесс является условно гауссовым, если при любом заданном значении параметра А в допустимой области его изменения он является гауссовым.

Условно гауссов процесс полностью определяется условным средним значением

и условной ковариационной функцией

Шум представляет собой белый гауссов процесс с нулевым средним и спектральной плотностью , статистически независимый от сигнального процесса. Поэтому колебание также является условно гауссовым процессом:

Заметим, что любую небелую компоненту шума, содержащуюся в колебании можно включить в состав колебания Предполагается, что функции и и значение спектральной плотности известны.

Будем моделировать параметр А двумя различными способами. Первый путь — предположить, что А является неслучайным

параметром, значения которого лежат некоторой области и использовать процедуры оценки по максимальному правдоподобию. Второй путь — предположить, что А является значением случайной величины с известной плотностью вероятности Для случайных параметров можно использовать байесовские оценки при различных функциях потерь. Ограничимся рассмотрением оценок по максимуму апостериорной вероятности.

Указанные выше допущения определяют нашу модель задачи оценки параметра. Изложим теперь саму процедуру оценки.