10.3. Свойства частотно-временных автокорреляционных функций и функций неопределенности

Автокорреляционная функция и функция неопределенности впервые были введены Виллем [1]. Их свойства подробно исследовались Вудвордом [8], Сибертом [9, 10], Лернером [11] и Прайсом [12].

Первое свойство, которое мы рассмотрим в этом параграфе, относится к объему тела неопределенности, заключенному между поверхностью функции неопределенности и плоскостью Одно из следствий, вытекающих из этого свойства, состоит в том, что идеальная функция неопределенности, изображенная на рис. 10.6, не может существовать.

Свойство 3 (инвариантность объема). Полный объем тела неопределенности инвариантен к выбору сигнала, а именно

Доказательство. Доказательство следует непосредственно из определений (17) и (18). Имеем

Интегрируя по , получаем . В результате дальнейшего интегрирования переменная и заменится на . В итоге получим

Пусть Тогда

Внутренний интеграл равен единице при любых значениях поскольку энергия инвариантна к временному сдвигу. Внешний интеграл также равен единице, что и требовалось доказать.

Смысл этого свойства, которое часто называют принципом неопределенности в радиолокации, очевиден. Если сигнал изменяют с целью сужения главного пика функции неопределенности и повышения точности системы, то необходимо определить, куда на плоскости переместилось тело неопределенности, и проверить влияние такого преобразования на качество работы системы. Принцип неопределенности в радиолокации, — вероятно, наиболее важное свойство функции неопределенности. Однако существует ряд других свойств, которые имеют менее фундаментальное значение, но полезны при решении задач синтеза и анализа сигналов.

Первая группа свойств связана, главным образом, с частотновременной автокорреляционной функцией (большинство их указано в работе [10]). Доказательство этих свойств не вызывает затруднений и многие доказательства оставлены для самостоятельных упражнений.

Свойство 4 (симметрия):

Свойство 5 (другие формы представления). Другой формой представления частотно-временной автокорреляционнойфункции является запись в виде

На данном этапе изложения удобно ввести частотно-временную автокорреляционную функцию, второй аргумент которой измеряется в герцах. Запишем ее в виде

Аналогично

Фигурные скобки служат признаком определений согласно (118) и (119), тогда как круглые скобки признаком первоначального определения.

Свойство 6 (дуальность). Результаты рассмотрения свойства 5 указывают на существование интересного свойства дуальности, которое мы подробнее рассмотрим и будем широко использовать позднее. Возьмем два сигнала: такие, что

т. е. является преобразованием Фурье сигнала Из (117) следует, что

Таким образом, эффект передачи преобразования Фурье сигнала сводится к повороту частотно-временной диаграммы на 90° в направлении по часовой стрелке.

Аналогично

Свойство 7 (изменение масштаба). Если

то

Изменение масштаба функции неопределенности производится аналогично.

Свойство 8. Если

то

Это аналог свойства 1 (см. с. 321) для частотной области. Функция неопределенности преобразуется аналогично.

Свойство 9 (поворот). Обобщением соотношения Дуальности в свойстве 6 является свойство поворота. Предположим, что

Если требуется новая частотно-временная функция, которая получается путем поворота данной функции

то ее можно получить также путем передачи сигнала

Функция неопределенности при этом также поворачивается на а радиан.

Свойство 10. Рассмотрим такой вопрос: задана некоторая функция двух переменных является ли она частотно-временной корреляционной функцией некоторого сигнала? Ответить на этот вопрос можно, взяв обратное преобразование функции (118). Поскольку

то

Поэтому, если преобразование функции можно записать в виде (131), оно является обычной частотно-временной корреляционной функцией, соответствующим сигналом. Путем замены переменных соотношение (131) можно переписать в виде

Согласно свойству дуальности (свойству 6) соотношение (132) можно записать в форме

Соотношения (132) и (133) позволяют определять искомый сигнал непосредственно. Заметим, что если не считать постоянный фазовый угол, этот сигнал является единственным. Так, сигнал

также удовлетворяет условию (132).

Для функции неопределенности аналогичного соотношения получено не было. Поэтому, если задана функция то нет критерия, который был бы необходимым и достаточным условием того, что функция является функцией неопределенности некоторого, пока неизвестного сигнала. Кроме того, не имеется какой-либо прямой процедуры отыскания функции (сигнала) которая бы имела требуемую функцию неопределенности.

Свойство 11 (перемножение). Если

то

(т. е. имеем операцию свертки по частотной переменной) и

(что соответствует операции свертки по временной переменной).

Свойство 12 (функции в осевых сечениях). Частотно-временная функция, вычисленная при есть просто частотно-временная корреляционная функция комплексной огибающей, т. е.

Частотно-временная корреляционная функция, вычисленная при имеет две интересные интерпретации. Во-первых, она является преобразованием Фурье квадрата модуля комплексной огибающей, т. е.

Во-вторых, согласно (117) она же является корреляционной функцией преобразования Фурье комплексной огибающей, т. е.

Последнее интересующее нас свойство относится только к функции неопределенности.

Свойство 13 (автопреобразование). Функция неопределенности является своим собственным двумерным преобразованием Фурье, т. е.

Заметим порядок написания знаков в определении двойного преобразования: минус у временной (первой) переменной и плюс у частотной (второй) переменной. Этот порядок произволен и выбран так, чтобы было соответствие с употреблением знаков в литературе по радио- и гидролокации. Следует отметить, что обратное утверждение несправедливо; свойство автопреобразования не гарантирует, что данная конкретная функция является функцией неопределенности.

В этом параграфе был выведен ряд полезных свойств частотновременной автокорреляционной функции и функции неопределенности. Вывод некоторых других свойств вынесен в задачи вне основного текста. Кроме того, свойства этих функций описываются применительно к некоторым типичным примерам.

Заметим, что мы оказались не в состоянии найти необходимое и достаточное условие того, чтобы данная функция была функцией неопределенности. Даже если известно (или предполагается), что некоторая функция двух переменных является функцией неопределенности, мы не располагаем алгоритмом отыскания соответствующей комплексной огибающей. Поэтому нельзя просто выбирать желаемую функцию неопределенности и затем по ней искать требуемый сигнал. Возможен другой подход к задаче синтеза сигнала, который заключается в рассмотрении определенных классов сигналов, вычислении для них функции неопределенности и последующем выборе наилучшего сигнала в рассматриваемом классе. Именно такого подхода мы будем придерживаться в дальнейшем.

В § 10.2 изучались модулированные аналоговые сигналы. Рассмотрим теперь класс сигналов, называемых кодированными импульсными последовательностями.