2.2.2. Приближенные выражения для вероятностей ошибок

Чтобы записать приближенное выражение для вероятностей ошибок, вернемся к выводу в § 2.7 первого тома (с. 130). После модификации и нормировки плотности модифицированной случайной величины было получено выражение для вероятности ложной тревоги которое мы здесь воспроизведем. Оно имеет вид

где случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. Предполагается, что Напомним, что

Логарифм отношения правдоподобия можно записать в виде

(Заметим, что порог равен у в соответствии с (35).) Величина I является также пределом суммы в (19) при Если бы взвешенные случайные величины в первой сумме (19) были одинаково распределенными, то при плотность стремилась бы к гауссовой. Пример на случай такого типа был дан в первом томе на с. 134. В рассмотренной там задаче

вследствие чего взвешивание в первом слагаемом (19) было равномерным, а случайные величины — одинаково распределенными. В модели настоящей главы предполагается, что имеет конечную среднюю мощность (см. (4)). Поэтому сумма является конечной.

Если сумма дисперсий составляющих случайных величин конечна, то центральная предельная теорема не может применяться (см. [10]). Это означает, что нам необходимо воспользоваться другим теоретическим основанием для получения приближенных выражений для и Ягодин из логичных подходов заключается в разложении плотности вероятности в ряд Эджворта. Первый член этого разложения является гауссовой плотностью. Остальные члены учитывают негауссов характер исходной плотности. Далее этот анализ будет выполнен подробно. Основными его результатами являются приближенные выражения для

Видим, что (154) и (155) тождественны (129) и (130). Таким образом, данный вывод приводит к такому же результату, как и прежде. Существенное различие лишь в том, что мы подошли к (154) и (155), не прибегая к центральной предельной теореме.

Вывод приближенных выражений для вероятностей ошибок. Первый член ряда Эджворта представляет собой гауссову плотность вероятности

(Структура остальных членов ряда и их упорядочение подробно рассмотрены в монографии Крамера [12].) Базисные функции имеют вид

Запишем ряд Эджворта:

где

Видим, что все коэффициенты можно выразить через и ее производные. Подставим теперь (158) в интеграл (149). В результате получим сумму интегралов вида

где

Повторное интегрирование по частям дает выражение для через Указанные интегралы равны

Если использовать только первый член ряда, то

При больших когда можно использовать приближение к функции приведенное на рис. 2.10 первого тома:

Тогда (164) сведется к

Такой же результат был получен, когда была справедлива центральная предельная теорема. Второй член приближения найдем, используя из (163):

Теперь

В задаче 2.2.15 первого тома (с. 143) было показано, что

Можно установить верхнюю границу абсолютного значения

С учетом (169) имеем

Итак, для любого заданного значения можно определить границу модуля второго члена относительно границы первого члена. Используя большее число членов ряда в (169), можно получить границы других членов ряда (158). Заметим, что это не граница относительной ошибки определения а просто граница модуля последующих членов. В большинстве наших вычислений мы будем использовать только член первого порядка Член второго порядка был найден для ряда примеров, и, как правило, он мал по сравнению с Граница вычислена для нескольких типичных систем в задачах вне основного текста.

Чтобы вывести приближенное выражение для нам придется прибегнуть к аналогичной схеме рассуждений. Исходным является выражение (172), которое получается из заменой переменных:

Приближение с удержанием только первого члена имеет вид

Используя это приближение в (165), получим

Границы для членов более высокого порядка устанавливаются точно так же, как в случае вывода выражения для

Формулы (164), (166), (173) и (174) в сочетании с выражениями (138) и (147) в замкнутой форме для позволяют эффективно оценивать приближенное качество оптимального критерия. Недостаток этого подхода в том, что в общем случае нельзя установить ошибки такого приближения. Позднее будут получены границы для некоторых частных случаев и будет показано, что данное приближение первого порядка является точным и в этих случаях.

Вернемся теперь к задаче вычисления и разработаем другую процедуру.