7.5. Некоторые родственные вопросы

В этом параграфе рассмотрим два вопроса, которые связаны с изучаемой нами задачей оценки параметров. В п. 7.5.1 изложена задача оценки нескольких параметров. Подпараграф 7.5.2 посвящеп обсуждению испытаний по критерию обобщенного отношения правдоподобия.

7.5.1. Оценка нескольких параметров

Как следует ожидать, исходя из ранее изложенного материала (например, § 4.6 первого тома), основные результаты, полученные для случая одного параметра, можно легко распространить на случай множества параметров. Сформулируем модель задачи и некоторые наиболее важные результаты.

Принимаемое колебание запишем в виде

где многомерный (с числом измерений, равным параметрический вектор. Сигнал моделируем выборочной функцией гауссова случайного процесса, статистика которого зависит от вектора А, а именно

Аддитивный шум моделируем выборочной функцией белого гауссова процесса с нулевым средним значением и спектральной плотностью Интерес представляет как случай, когда А — неслучайный (детерминированный) вектор, таки случай, когда А — значение случайного вектора.

Неслучайные параметры. Предположим, что А — неизвестный неслучайный вектор, принадлежащий множеству Функция правдоподобия имеет вид

Максимально правдоподобная оценка это то значение вектора А, при котором функция (153) имеет максимум. В общем случае необходимо образовать эту функцию для некоторого множества которое перекрывает множество и выбрать значение при котором является наибольшим. Если максимум функции существует внутри множества и функция имеет непрерывную первую производную, то необходимое условие, при котором оценка является максимально правдоподобной, определяется системой из уравнений правдоподобия:

Элементы информационной матрицы равны

Информационная матрица используется здесь точно так же, как в § 4.6 первого тома. Первый член аналогичен выражению для и его можно легко вычислить. Второй член находится несколько сложнее.

йторой член можно также выразить через производную расстояния Баттачария:

Далее, производя выкладки, сходные с выводом соотношений (6.47)-(6.60), получим

Выражение для является очевидной модификацией выражения (6.59). Формула (157) обеспечивает эффективную процедуру для определения численными методами. Заметим, что численное определение второй производной необходимо производить с осторожностью.

Для стационарных процессов и больших интервалов времени второй член в выражении (155) имеет простую форму:

Результаты (153)-(158) показывают, как видоизменяются формулы, полученные для случая оценки одного параметра, при решении задачи оценки нескольких параметров. Точно так же, как в случае одного параметра, реализация алгоритма оценки во втором случае зависит от конкретной задачи.

Случайные параметры. Выражения для общего случая случайного параметра можно получить в результате соответствующей модификации формул, выведенных в предыдущем параграфе. Представляет интерес частный случай, рассматриваемый в гл. 8 второго тома, когда подлежащие оценке параметры являются независимыми гауссовыми случайными величинами с нулевыми средними значениями и дисперсиями, равными Уравнения оценки по максимуму апостериорной вероятности имеют вид

Элементы информационной матрицы равны

где равны соответствующим членам выражения (155). Заметим, что элемент и содержит среднее по плотности так что окончательный результат от А не зависит.

Ряд примеров на совместную оценку параметров приведен в разделе задач.