13.3.3. Передача двоичной информации по каналам с рассеянием по двум параметрам

В п. 13.3.1.Б была сформулирована модель двоичной системы ЧМ, работающей по каналу с рассеянием по двум параметрам (см. (153)-(168)). Здесь мы продолжим рассмотрение задачи связи.

Материал подразделяется на три части. В п. 13.3.3.А обсуждаются границы помехоустойчивости двоичных систем связи и в качестве примеров рассматриваются некоторые простые методы передачи информации, которые позволяют приблизиться к этим границам. В п. 13.3.3.Б проведен подробный анализ помехоустойчивости конкретной системы при использовании одной из приближенных моделей канала, рассмотренных в п. 13.3.2. В п. 13.3.3.В кратко рассматриваются субоптимальные приемники.

13.3.3.А. Границы помехоустойчивости и эффективные системы. Как было отмечено в п. 13.3.1.Б, соответствующая задача на принятие решения заключается в обнаружении комплексного гауссова процесса в комплексном белом гауссовом шуме. Ковариационная функция сигнального процесса определяется выражением (5) в виде х

Помехоустойчивость будет зависеть от и в общем случае оценить ее трудно. Однако в § 11.3 была получена граница, указывающая, насколько хорошо может работать любая двоичная система при заданных Поскольку эта граница зависит только от собственных значений процесса она сохраняет силу и в условиях настоящей задачи.

На с. 413 было показано, что для достижения указанной границы сигнал следует построить таким образом, чтобы выходной процесс имел одинаковых собственных значений, причем

В этом оптимальном случае

Следовательно, суммарная вероятность ошибок при использовании любого сигнала имеет границу

Простое по форме выражение (240) определяет границу суммарной вероятности ошибок для двоичных ортогональных сигналов. Трудность здесь заключается в том, что нет гарантии, что существует сигнал, который позволяет достичь предельной помехоустойчивости. Рассмотрим теперь две ситуации, когда можно приблизиться к этой границе, имея простые сигналы.

Слабо диспергирующие каналы. В соответствии с условием (32) слабодиспергирующий канал определяется как канал, для которого произведение меньше единицы. Рассмотрим теперь задачу связи по слабодиспергирующему каналу. (Заметим, что мы допускаем В 1 или при условии, что

При рассмотрении задачи связи по каналам с рассеянием по допплеровскому параметру в § 11.3 (см., в частности с. 384—385) было показано, что границу (240) можно достичь при любой функции рассеяния, если отсутствуют ограничения по пиковой мощности или максимальной длительности сигнала. Требуемый сигнал представляет последовательность кратковременных импульсов, число которых выбирается из условия оптимального разнесения, определяемого формулой (237) (т. е. Длительность каждого импульса много меньше величины обратной ширине спектра рассеяния по допплеровскому параметру, поэтому время-селективных замираний сигнала не происходит. В этом случае желаемое распределение собственных значений достигается путем сведения канала к системе нефлуктуирующих каналов с точечными областями рассеяния (с точечными отражателями).

Рассмотрим теперь аналогичную систему для связи по каналу с рассеянием по двум параметрам. Соответствующий сигнал представлен на рис. 13.21. Чтобы избежать время-селективных замираний, потребуем, чтобы

Чтобы избежать частотно-селективных замираний, потребуем, чтобы

Объединив условия (241) и (242), найдем условие отсутствия селективных замираний (т. е. когда имеют место только общие замирания):

Однако известно, что для любого сигнала

Поэтому, чтобы выполнить условие (243), потребуем, чтобы

Условию (245) могут отвечать только слабодиспергирующие каналы (см. Условие (245) сильнее условия малой дисперсии (32). Если условие (245) соблюдается и отсутствуют ограничения по пиковой мощности или максимальной длительности сигнала, то границу (240) можно достичь, используя сигнал, представленный на рис. 13.21, с оптимально выбранными параметрами.

Рис. 13.21. Сигнал для связи по слабодиспергирующему каналу.

Следует заметить, что требование (245) обычно является чрезмерно жестким. Во многих случаях можно близко подойти к границе (240), используя сигнал рис. 13.21 при значениях произведения приближающихся к единице.

Рассмотрим далее случай сильнодиспергирующих каналов. Силыюдиспергирующие каналы. Если то не может быть равномерных (общих) замираний во времени и по частоте. Однако можно выбрать сигнал так, что будут либо время-селективные, либо частотно-селективные замирания, но не оба вида замираний одновременно. Покажем это на простом примере.

Пример. Рассмотрим идеализированный канал, функция рассеяния которого показана на рис. 13.22. Предположим, что

Излучается прямоугольный импульс большой длительности с огибающей

Потребуем также, чтобы

Сравнивая (248) и (242), видим, что данный канал можно рассматривать как канал с рассеянием по допплеровскому параметру. Из результатов примера 1 гл. 11 известно, что если

то граница (240) достигается. С учетом (246) и (248) получаем условие

практическое выполнение которого нереально .

Можно получить более реалистичное решение путем ослабления некоторых требований. Например, если потребовать, чтобы

то достаточно, чтобы

Система, описываемая соотношениями (251)-(253), вполне реалистична, и ее помехоустойчивость будет близка к границе.

Рис. 13.22. Идеализированная функция рассеяния.

Этот пример иллюстрирует один из методов эффективной передачи информации по сильнодиспергирующему каналу. Лежащая в его основе идея проста. Канал с рассеянием по двум параметрам обеспечивает некоторую степень неявного разнесения в выходном сигнале. Если значение достаточно велико, чтобы сделать эту степень разнесения близкой к оптимальной, то данная система будет иметь помехоустойчивость, близкую к предельной. С другой стороны, если отношение чрезмерно мало, то помехоустойчивость может быть относительно плохой.

Краткие итоги. В этом пункте были рассмотрены границы помехоустойчивости, которые применимы к любой двоичной системе связи. Кроме того, были рассмотрены возможные методы передачи информации по слабо- и сильнодиспергирующим каналам. В случае слабодиспергирующего канала можно использовать сигнал, который сводит канал к системе нефлуктуирующих каналов с точечными отражателями. Выбором правильного числа составляющих полезный сигнал импульсов можно достичь указанной границы. В случае

сильнодиспергирующего канала можно использовать сигнал, который сводит этот канал к каналу с рассеянием по одному параметру. В этом случае к границе можно приблизиться, если располагаемое значение достаточно велико. В обоих случаях имеется возможность использовать сигналы, которые устраняют рассеяние по двум параметрам в канале. Это дает ряд преимуществ:

1. Оптимальный приемник оказывается не очень сложным.

2. Анализ помехоустойчивости выполняется сравнительно просто.

3. Помехоустойчивость достаточно близка к границе, тогда как использование канала в режиме рассеяния по двум параметрам не обеспечивает значительного уменьшения суммарной вероятности ошибок.

Как выясняется, в большом числе физических ситуаций такого упрощения можно достичь, так что проведенное рассмотрение вполне оправдано. С другой стороны, существуют по крайней мере две причины, почему желательно иметь возможность анализировать модельканала с рассеянием по двум параметрам непосредственно.

1. Имеются случаи, когда канал упростить невозможно из-за ограничений по длительности или по ширине спектра сигнала.

2. Существует случай, промежуточный между случаями с рассеянием по одному и по двум параметрам, когда необходимо проверять наши интуитивные соображения; в этой области основные характеристики (параметры) канала оказываются неадекватными.

В п. 13.3.2 были рассмотрены модели, необходимые для выполнения такого анализа. В следующем пункте используем эти модели для анализа помехоустойчивости двоичной системы связи.

13.3.3.Б. Анализ помехоустойчивости конкретной системы связи?. В п. 13.2.3 были рассмотрены приближенные модели канала, используя которые можно произвести синтез оптимального приемника и анализ его помехоустойчивости. Для иллюстрации подробностей используемого метода рассмотрим теперь конкретную систему связи Первая цель такого рассмотрения — показать на примере фактические этапы, которые необходимо пройти при анализе помехоустойчивости системы связи. Это подробное рассмотрение иллюстрирует идеи п. 13.3.2 и поможет читателю при анализе любой интересующей его системы. Вторая цель — помочь выяснить основные вопросы анализа системы связи, работающей по каналу с рассеянием по двум параметрам, и исследовать связь между параметрами сигнала и функцией рассеяния. Полученные количественные результаты применимы только к этой конкретной системе, но рассмотренный метод можно использовать при решении других задач. Этот материал существенно дополняет результаты п. 13.3.3.А.

Задача передачи двоичной информации формулируется соотношениями (153)-(168). Канальный процесс рассеяния описывается

соотношениями (38)-(51). Рассмотрим функцию рассеяния, представляющую частный случай функции рассеяния, которая приведена в примере на с. 491. Определяющие ее функции имеют вид

где

- вентильная функция. Кроме того,

Заметим, что в этой простой задаче

Итак, функция рассеяния канала имеет вид

Чтобы использовать (230), необходимо знать Вспомнив из (46)-(49), что

имеем

Предположим, что передаваемый сигнал является прямоугольным импульсом. Тогда

т. е.

Для простоты будем считать, что время распространения сигнала равно нулю. (Это эквивалентно переносу начала отсчета времени.) Интервал наблюдения определяется концевыми точками

Теперь рассматриваемая система связи полностью задана (определена) и необходимо определить ее помехоустойчивость. Чтобы найти нужно вычислить для двух уровней шума. Функция связана с функцией соотношением (235). С учетом (262) из (235) получаем

где функция определяется уравнением (227) и начальным условием (228). Для отыскания этой функции разобьем ее на два члена, как в (229), и решим относительно . С учетом (254)-(257), (261), (262) и (230) получим

с начальными условиями

Покажем теперь, как получить приближенное решение уравнения (266), используя метод модального разложения, рассмотренный на с. 536. В соответствии с (232) представим , как

где произвольная система ортонормальных функций. Поступая так же, как предлагается после формулы (233), можно вывести уравнение, определяющее функцию Для полной ясности фактически производимых преобразований и выкладок материал излагается достаточно подробно.

Формулы модального разложения. В результате подстановки (268) в (266) получим

Произведем теперь следующие операции:

1. Умножим обе части (269) на и проинтегрируем по и

2. Чтобы упростить уравнение, полученное в п. 1, введем обозначения:

3. Отбросим в полученном уравнении все члены, начиная с . В результате получим конечномерное уравнение Риккати.

В рассматриваемой задаче (270) и (271) сводятся к виду

где

Выполняя операции п. 1 и используя обозначения (определения) из п. 2, приходим к дифференциальному уравнению

Произведя усечение ряда на члене, можно представить (276) в следующей матричной форме

где определения матриц очевидны. Начальное условие имеет вид

Теперь задача сведена к конечномерному уравнению Риккати, которое можно решить численными методами.

Последний вопрос — выбор ортогональных функций Необходимо выбрать их так, чтобы размерность аппроксимирующей системы была малой и чтобы вычисление величин в (272) и (273) было простым. Как отмечалось ранее, рациональный выбор системы ортогональных функций позволяет значительно сократить объем вычислительных работ. В рассматриваемом случае функция рассеяния имеет форму скругленной косинусоиды, а сигнал—прямоугольную форму, поэтому логично выбрать систему функций обычного разложения в ряд Фурье. Пусть

и. т. д. Теперь мы располагаем всеми величинами, необходимыми для определения помехоустойчивости.

Помехоустойчивость системы связи будет зависеть от значения параметров Прежде чем приступить к вычислениям, обсудим влияние этих параметров.

Прежде всего зафиксируем первые три параметра и исследуем влияние параметра Длительность входного сигнала влияет на число степеней свободы выходного сигнала. Это явление будем называть эффектом разнесения системы. Грубую оценку степени разнесения можно получить, умножив степень разнесения,

обусловленного рассеянием по допплеровскому параметру, на степень разнесения, обусловленного рассеянием по дальности:

К формуле (280) полезно сделать три замечания:

1. Спектр замираний является однополюсным, поэтому наилучшая мера ширины спектра неочевидна; эффективная ширина спектра — ширина эквивалентного спектра с огибающей прямоугольной формы — равна (двусторонний спектр), т. е. можно было бы получить более точную меру, введя постоянный коэффициент перед .

Рис. 13.23. Коэффициент разнесения канала с рассеянием по двум параметрам

2. Более точные меры степени разнесения рассмотрены в работе [37]; для нашего интуитивного рассмотрения формула (280) адекватна.

3. Формула (280) справедлива для импульса прямоугольной формы при

Формула разнесения (280) представлена графически в виде функции параметра на рис. 13.23. Нетрудно заметить, что минимальная степень разнесения имеет место при

а ее значение равно

Из ранее изложенного материала известно, что существует оптимальная степень разнесения, которая, по нашей оценке, равна

Сравнивая (282) и (283), видим, что если

то оптимальное значение определяется формулой (281) и помехоустойчивость уменьшается как при уменьшении, так и при увеличении (рис. 13.24, а). Интуитивно это можно представить себе следующим образом: произведение настолько велико, что канал вносит большую степень разнесения, чем требуется. С другой стороны, если

то общее поведение кривой, характеризующей помехоустойчивость, будет таким, как показано на рис. 13.24, б. Помехоустойчивость при этом будет иметь два одинаковых максимума при двух значениях

Минимальная степень разнесения возрастает монотонно при увеличении произведения тогда как оптимальная степень разнесения возрастает монотонно с увеличением отношения Поэтому при данном значении произведения следует ожидать, что зависимость функции характеризующей помехоустойчивость от при малых значениях будет иметь характер, показанный на рис. 13.24, а, а при больших значениях характер, показанный на рис. 13.24, б. Из примера, приведенного на с.539 (см. (247) - (253)), следует что если отношение достаточно велико, что при увеличении произведения помехоустойчивость уменьшится незначительно.

Рис. 13.24. Графики, дающие качественное представление о зависимости помехоустойчивости от длительности импульса при различной степени разнесения: а — избыточная степень разнесения; б - оптимальная степень разнесения.

На этом наше интуитивное рассмотрение завершается. Курт [7] произвел анализ системы, описываемой соотношениями (254) — (264), применив метод модального разложения к (265) — (279).

На рис. 13.25- 13.27 представлено несколько семейств кривых помехоустойчивости. На этих графиках по оси ординат откладываются значения коэффициента эффективности а по оси абсцисс — значения длительности импульса На рис. 13.25 произведение на рис. 13.26 величина а на рис. 13.27 параметр Во всех случаях Различные кривые соответствуют различным значениям отношения Нетрудно установить, что вид приведенных здесь кривых соответствует ожидаемым результатам. При малых значениях имеется единственный максимум. При больших значениях имеется два максимума. При увеличении , чтобы получить двугорбую кривую, требуется все большее значение

На рис. 13.28 показано влияние произведения Для построения этих кривых взято значение которое максимизирует

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

величину при заданных значениях для всех кривых). Здесь по вертикальной оси отложены значения а но горизонтальной оси — отношение Каждая кривая соответствует определенному значению При фиксированном значении показатель экспоненциальной функции убывает по мере увеличения но это изменение незначительно.

Этот пример иллюстрирует анализ помехоустойчивости типичной системы связи. У читателя могут возникнуть затруднения при изучении изложенного материала ввиду неожиданного перехода от формул, приведенных на с. 544—545, к графикам рис. 13.25-13.28. Промежуточные этапы сводятся к выполнению расчетов численными методами. При этом, разумеется, большое значение имеют эффективные алгоритмы вычислений, но этот вопрос выходит за рамки данного рассмотрения. Тем не менее один аспект процедуры вычислений представляет несомненный интерес. Как уже подчеркивалось, рациональный выбор ортогональных функций позволяет упростить вычисления. Для получения кривых рис. 13.25-13.28 увеличивали К до тех пор, пока величина не стабилизировалась. В табл. 13.1 указаны значения К, необходимые для достижения нужной точности вычислений величины по крайней мере в трех точках в зависимости от различных фигурирующих в рассматриваемой задаче параметров [7]. Нели

или

и отношение велико, то требуется большее количество К членов. Заметим, что, когда условие (286) соблюдается, канал можно моделировать как канал с точечным отражателем, имеющий рассеяние по допплеровскому параметру, а когда соблюдается (287), канал можно моделировать как нефлуктуирующий канал с рассеянием по дальности. Следовательно, можно избежать случаев, требующих наибольших объемов вычислений.

В этом пункте мы фактически выполнили анализ помехоустойчивости для конкретной задачи. Этот анализ показывает полезность моделей канала, рассмотренных в п. 13.3.2, для исследования задач, связанных с использованием каналов или целей с рассеянием по двум параметрам. Кроме того, он показывает количественно, как различные параметры системы влияют на ее помехоустойчивость.

13.3.3.В. Краткие итоги. В этом пункте была рассмотрена задача передачи двоичной информации по каналам с рассеянием по двум параметрам. Следует еще раз подчеркнуть следующее.

1. Если произведение канала мало, то данный канал можно свести к системе нефлуктуирующих каналов с точечными отражателями при надлежащем выборе сигналов. Получаемая в результате система по своей помехоустойчивости достигает границы. Так как

Таблица 13.1 (см. скан) Число членов разложения, необходимое для достижения требуемой точности по крайней мере в трех точках при вычислении величины

в этом случае приемник оказывается простым в реализации, этот режим работы следует использовать для слабодиспергирующих каналов, где это только возможно.

2. Если канал является сильнодиспергирующим, то его можно свести к каналу с рассеянием по одному параметру при надлежащем построении сигнала. Эффективность получаемой в результате системы зависит от особенностей функции рассеяния и отношения Так как приемник для канала с рассеянием по одному параметру проще приемника для канала с рассеянием по двум параметрам, указанный режим работы следует максимально возможно использовать для сильнодиспергирующих каналов.

3. Большинство функций рассеяния можно адекватно аппроксимировать распределенной моделью в переменных состояния. В этом случае помехоустойчивость системы можно анализировать, используя метод модального разложения, изложенный в данном пункте. Хотя такой анализ довольно сложен, он все же выполним. Полученные результаты дают количественное подтверждение наших интуитивных соображений в простых случаях и помогают исследовать более сложные системы, интуитивный подход к анализу которых был бы затруднителен.

Этим завершается рассмотрение задачи передачи двоичной информации. В п. 13.3.5 мы кратко рассмотрим многоальтернативные системы.