6.2. Структурная схема устройства оценки (структура алгоритма оценки)

Подход к решению задачи оценки аналогичен подходу, принятому в гл. 2 и 4 первого тома. Сначала найдем функцию правдоподобия Затем, если А является неслучайным параметром и необходимо получить оценку по максимуму правдоподобия, вычислим значение параметра А, при котором функция имеет максимум. Если А является случайной величиной и необходимо найти оценку по максимуму апостериорной вероятности, то строим функцию

и находим то значение параметра А, при котором эта функция максимальна. Единственным новым аспектом здесь является фактическое построение функции и процедура отыскания максимума. Обратимся к рассмотрению этих вопросов.

6.2.1. Вывод выражения для функции правдоподобия

Вывод выражения для функции правдоподобия сходен с выводом отношения правдоподобия, выполненным в гл. 2, и, следовательно, его можно выполнить весьма быстро. Первый шаг — найдем разложение в ряд для колебания Затем вычислим условную плотность вероятности коэффициентов разложения (при заданном А) и используем результат для отыскания соответствующей функции правдоподобия. Эта процедура упростится, если координатную систему выбрать так, чтобы коэффициенты разложения были условно статистически независимы. Иначе говоря, необходимо выбрать координатную систему, которая условно зависит от А. Коэффициенты разложения при этом записываются в виде

Они представляют собой гауссовы случайные величины, средние значения и дисперсии которых являются функциями параметра А:

Выберем функции так, чтобы

Из ранее изложенного материала известно, что для достижения указанной условной независимости координатные функции должны быть собственными функциями интегрального уравнения

Так как ковариационная функция зависит от параметра А, собственные функции, собственные значения или те и другие одновременно будут зависеть от А. Если ковариационная функция является положительно определенной, то собственные функции образуют полную систему функций. Если является лишь неотрицательно определенной, то необходимо произвести преобразование системы собственных функций, чтобы сделать ее полной.

Поскольку окончательная система функций является полной, среднее значение и принятое колебание можно разложить в соответствующие ряды:

Обозначим первые коэффициентов разложения через вектор Плотность вероятности вектора при условии, что значение А известно, запишем в виде

Точно так же, как в случае известного сигнала (п. 4.2.3 первого тома), удобно ввести в рассмотрение функцию правдоподобия получаемую в результате деления на некоторую функцию, которая не зависит от А (см. с. 317 первого тома). Как и ранее, делим ее на функцию

Разделив (14) на (15), взяв логарифм частного и устремляя получим

Сравнивая (16) с пределом (2.19) при в рамках нашего рассмотрения теории обнаружения, видим, что здесь имеет место полное соответствие. Так, все выражения в замкнутой форме, полученные в теории обнаружения, будут иметь очевидные аналоги при рассмотрении задачи оценки. Поступая так же, как в гл. 2, можно получить выражения для четырех членов, соответствующие формулам (2.31) — (2.34).

Первый член можно записать в виде

где функция удовлетворяет интегральному уравнению

Нетрудно заметить, что функция соответствует импульсной переходной функции оптимального нереализуемого фильтра в условиях задачи, когда наблюдается смесь

и требуется оценить сигнал по критерию минимальной среднеквадратической ошибки в предположении, что параметр А

известен. Как и в задаче обнаружения, мы будем часто использовать обратное ядро которое можно записать в виде

Второй член выражения (16) можно записать в форме

Напомним, что подстрочный индекс означает «детерминированный» и используется здесь потому, что аналогично выходу приемника в задаче с известным сигналом. Иначе можно выразить в виде

где функция определяется соотношением

Можно также задать функцию неявно уравнением

Функция известна нам из задачи оценки параметров известного сигнала на фоне небелого шума.

Остальные члены выражения (16) соответствуют смещению оценки. Первый из них равен

где средний квадрат ошибки реализуемой фильтрации в задаче, условия которой сформулированы в форме (19). Как и в случае обнаружения, второй член выражения для можно

определить посредством определителя Фредгольма (см. (2.74)). Таким образом, второй член смещения равен

Заметим, что интеграл в выражении (26) есть не что иное, как в задаче обнаружения известного сигнала на фоне небелого шума.

Итак, функция правдоподобия имеет вид

где соответствующие члены определяются выражениями (17), (22), (25) и (26).

Теперь можно использовать для получения оценок «шар или -Процедура отыскания оценок по своей идее очень проста. Чтобы получить построим как функцию параметра и найдем значение при котором она максимальна. Для отыскания атар вычислим функцию

и найдем значение при котором она максимальна.

Несмотря на то, что данная процедура четко определена, ее фактическое осуществление затруднительно. Обычно бывает необходим приемник со структурной схемой, аналогичной структуре приемника в задаче дискретной ЧМ (см. п. 4.2.3, рис. 4.31 в первом томе).

Для иллюстрации этого рассмотрим случай оценки параметра по максимуму правдоподобия. Предположим, что его значения заключены в пределах интервала Кроме того, допустим, что среднее значение равно нулю. Разобьем область изменения параметра на интервалы длиной Средние точки этих интервалов соответствуют значениям

и т. д. Имеется таких интервалов. Затем построим функцию используя схему параллельной обработки, показанную на рис. 6.1. Целесообразно сделать ряд замечаний.

1. В общем случае для определения фильтра в каждом тракте обработки приходится решать другое интегральное уравнение. Таким образом, задача оценки имеет такую же степень сложности,

как и многоальтернативная (-ичная) задача обнаружения, — в том смысле, что необходимо построить параллельных трактов обработки.

2. Члены смещения обычно зависят от параметра А и ими нельзя пренебречь.

3. При анализе помехоустойчивости необходимо учитывать как глобальную, так и локальную ошибку.

4. Необходимо учитывать влияние длины шага разбивки на интервалы. При этом имеются условия компромиссного подхода при определении допустимых точности и сложности системы обработки

Рис. 6.1. Формирование функции

Прежде чем закончить рассмотрение структуры алгоритма оценки, сделаем короткое отступление и выведем два других выражения — альтернативные формы записи для Обратимся вначале к выражению (17). Эта форма записи соответствует канонической реализации № 1 в рамках задачи обнаружения. Чтобы получить каноническую реализацию № 3, введем в рассмотрение функцию определяемую неявно в виде

Тогда

Этот алгоритм можно реализовать по схеме фильтр — квадратор-интегратор для любого заданного значения параметра А.

Для получения канонической реализации № 4 достаточно повторить процедуру, аналогичную описанной на с. 37 - 41. В результате получим

где

Импульсная переходная функция фильтра удовлетворяет уравнению

В случае нулевого среднего значения функция является реализуемой оценкой сигнала по минимуму среднеквадратической ошибки в предположении, что А задано. Мы встретимся с примерами этих реализаций в последующих параграфах. Многие из вопросов, которые уже встречались в задаче обнаружения, возникнут и в задаче оценки.

Прежде чем перейти рассмотрению некоторых конкретных частных случаев, выведем уравнения максимального правдоподобия и уравнения максимальной апостериорной вероятности.