2.2. Помехоустойчивость оптимальных приемников

В этом параграфе проведем анализ помехоустойчивости оптимальных структурных схем приемника, которые были синтезированы в § 2.1. Все эти приемники осуществляют испытание по критерию, описываемому выражением (35), в виде

где

Напомним, что согласно (33) и (34)

Для вычисления необходимо найти вероятность того, что I превысит у по гипотезе соответственно. Эти вероятности равны

Компонента является линейной функцией гауссова процесса, поэтому она является гауссовой случайной величиной, среднее и дисперсию которой легко вычислить. Однако компонента получается путем нелинейной операции над процессом и ее плотность вероятности определить трудно. Чтобы проиллюстрировать эту трудность, рассмотрим первый член выражения (25). Так как он соответствует до того, как мы положим обозначим его через

Видим, что взвешенная сумма квадратов нормальных случайных величин. Выражение (122) известно нам из рассмотрения общей гауссовой задачи в § 2.6 первого тома. Действительно, если бы величины имели нулевые средние, то (122) было тождественно

Также отмечено, что если бы все были равны, то имела бы распределение (хи-квадрат) с К степенями свободы (см., например, (I-2.406)). С другой стороны, в случае неравных можно было бы записать выражение для плотности вероятности, но при больших к оно практически не поддается дальнейшей обработке. Ввиду независимости величин нетрудно получить характеристическую функцию и производящую функцию моментов величины например, задачу При заданной характеристической функции можно в принципе найти по крайней мере плотность вероятности путем преобразования Фурье численными методами. На практике обычно интерес представляют случаи малых вероятностей ошибок и поэтому «хвосты» распределений необходимо знать точно. Это требование приводит к тому, что объем вычислений при точном численном преобразовании оказывается чрезмерно большим. Этим объяснялась необходимость рассмотрения границ качества и соответствующих приближений в § 2.7 первого тома. В настоящем параграфе аналогичное рассмотрение мы проведем для случая, когда

Напомним, что функция играла центральную роль при изложении материала § 2.7 первого тома. Согласно имеем

(подстрочный индекс К подчеркивает то обстоятельство, что мы имеем дело с -членным приближением к процессу где логарифм отношения правдоподобия

а — производящая функция моментов

для действительных . С учетом определения в форме (124) из (123) имеем

Затем в § 2.7 первого тома были получены выражения для верхних границ вероятностей ложной тревоги и пропуска

где порог при испытании отношения правдоподобия. Варьируя параметр мы могли исследовать влияние установки порога в любой точке между Определение в форме (124) гарантировало нам, что существует при

Введем теперь в рассмотрение функцию

Если можно показать, что данный предел существует, то граничные выражения (127) будут по-прежнему справедливы. Однако, чтобы быть полезным, выражение (128) должно быть записано в форме, удобной для вычислений. Поэтому наша первая цель в данном параграфе — найти удобное выражение в замкнутой форме для

Другими полезными результатами § 2.7 первого тома были приближенные выражения для вероятностей ошибок

Как было указано на с. 132 первого тома, экспоненты в этих выражениях тождественны экспонентам в выражениях для границы Чернова но во многих интересующих нас приложениях большое значение имеет коэффициент, стоящий перед экспонентой. Чтобы вывести формулы (129) и (130), было использовано доказательство центральной предельной теоремы. Для задач, рассмотренных в § 2.7 первого тома (см., например, примеры 2, 3 и 3А на с. 134—138 первого тома), было легко удостовериться, что центральная предельная теорема к ним применима. Однако в случае, представляющем интерес в большей части настоящей главы, сумма, определяющая в (122), не удовлетворяет условию применимости центральной предельной теоремы. Поэтому нам необходимо использовать новый подход к отысканию выражения для вероятностей ошибок. Это является второй целью данного параграфа.

Наряду с этим в данном параграфе выведено другое выражение для вычисления и подробно проанализирован один типичный пример. Таким образом, данный параграф подразделяется на четыре нижеследующие подпараграфа.