13.1. Модель цели с рассеянием по двум параметрам

Рассматриваемая модель флуктуирующей цели с рассеянием по дальности является простой комбинацией моделей, описанных в гл. 11 и 12.

13.1.1. Основная модель

Для иллюстрации используемых идей рассмотрим вращающуюся сферу, показанную на рис. 13.1. Поверхность сферы считается «грубой» (неровной), т. е. размеры ее шероховатостей соизмеримы с длиной волны несущего колебания. Излучается сигнал с комплексной огибающей и исследуется эхо-сигнал, отраженный от элемента поверхности, характеризуемого интервалом дальности Эхо-сигнал представляет суперпозицию ряда отраженных сигналов со случайными фазами, амплитуду которых можно моделировать как релеевскую случайную величину. Поскольку ориентация и композиция отражателей, которые участвуют в формировании эхо-сигнала, изменяются во времени (рис. 13.1, б, в), отражение необходимо моделировать как случайный процесс. Таким образом,

где комплексный гауссов процесс, независимые переменные которого суть пространство и время. Эхо-сигнал от всей цели является суперпозицией эхо-сигналов от элементов поверхности. Его комплексная огибающая

является выборочной функцией комплексного гауссова процесса с нулевым средним значением и ковариационной функцией

Рис. 13.1. Неровная вращающаяся сфера: а — общий вид; б, в — вид сверху.

Выражение в фигурных скобках определяется статистическими характеристиками цели. Сделаем два предположения:

1. Эхо-сигналы от различных элементов поверхности (приходящие с разных интервалов дальности) статистически независимы. (Это соответствует модели, рассмотренной в гл. 12.)

2. Эхо-сигнал с каждого интервала представляет выборочную функцию стационарного комплексного гауссова случайного процесса с нулевым средним значением. (Это соответствует модели, рассмотренной в гл. 11.)

С учетом этих предположений можно записать

Функция есть функция двух переменных, которая зависит от отражающих свойств цели. Подставляя (4) в (3), получаем

Функция полностью определяет эхо-сигнал.

Так же, как и в случае цели с рассеянием по одному параметру, здесь удобно ввести функцию рассеяния, определяемую как

Рис. 13.2. Функция рассеяния неровной сферы [5].

Физически функция представляет собой спектр процесса

Это действительная неотрицательная функция аргументов Функция рассеяния неровной вращающейся сферы представлена на рис. 13.2. Этот результат получен в работе [5]. Две другие функции рассеяния, которые мы будем использовать в качестве моделей, показаны на рис. 13.3 и 13.4. На рис. 13.3 изображена функция

При каждом значении X спектр является функцией Баттерворта первого порядка, но местоположение полюсов зависит от Такая функция рассеяния может служить приближенной моделью для некоторых каналов связи. На рис. 13.4 приведена функция

Гауссова функция рассеяния по двум параметрам никогде не встречается в реальных ситуациях, но может служить в этих случаях полезным приближением. Другие примеры функций рассеяния даны в работе [37].

Выражение (5) можно также записать, используя функцию рассеяния (6) в виде

Существует ряд полезных свойств рассматриваемой модели, которые уместно указать на данном этапе изложения.

Свойство 1. Энергия принимаемых сигналов. Среднее значение энергии принимаемых сигналов равно

С учетом (9) имеем

Рис. 13.3. Пример функции рассеяния.

Рис. 13.4. Гауссова функция рассеяния по двум параметрам

Интеграл по равен единице при любых значениях Таким образом,

Чтобы было соответствие с ранее введенными моделями, предположим, что

Нетрудно заметить, что двойной интеграл от функции рассеяния равен отношению ожидаемого значения энергии принимаемых сигналов к энергии передаваемых сигналов. Отметим, что энергия принимаемых сигналов не зависит от их формы.

Свойство 2. Если функция рассеяния сконцентрирована в одной области плоскости то ее приближенно можно описать посредством ее моментов. Среднее запаздывание

Дисперсия запаздывания

Средний допплеровский сдвиг

Дисперсия допплеровского сдвига 00 00

Асимметрия измеряется отношением

где

В отличие от этих среднеквадратичных мер часто встречаются функции рассеяния, которые строго ограничены по ширине спектра (величиной ) и (или) по длительности (величиной . В таких случаях обычно более полезной оказывается абсолютная мера.

Свойство 3. Другие формы задания (определения). Было показано, что цель можно описать двумя функциями: и Две другие функции получаются преобразованием Фурье этих функций по переменной к:

Отметим правило знаков при преобразовании Фурье. При преобразовании от и от к в показателе экспоненциальной функции используется знак минус. (Следует помнить, что частотные переменные). Функции (20) и (21) систематизированы на рис. 13.5.

Полезно также отметить соотношение между переменными в различных физических ситуациях.

1. «Короткая» цель узка по оси X и, следовательно, широка по оси

2. Точечная цель представляется импульсом на оси X и, следовательно, постоянной величиной для всех значений

3. Цель, имеющая бесконечную глубину, представляется постоянной величиной по оси X и, следовательно, импульсом по оси

4. Медленно флуктуирующая цель узка по оси следовательно, широка по оси

Рис. 13.5. Способы описания (задания) целей и каналов.

5. Неподвижная (фиксированная) цель представляется импульсом на оси следовательно, постоянной величиной на оси

6. Быстро флуктуирующая цель широка по оси и представляется импульсом на оси

Наличие нескольких форм описания модели дает то преимущество, что часто имеется возможность выбрать наиболее простую для использования. В данной главе будет рассмотрен ряд примеров. Заметим, что за исключением коэффициента функция рассеяния обладает всеми свойствами совместной плотности вероятности. Таким образом, функция аналогична совместной характеристической функции.

Свойство 4. Вырожденные цели. Обе модели целей с рассеянием по одному параметру можно рассматривать как предельные случаи модели цели с рассеянием по двум параметрам. В соответствии с (5) имеем

Чтобы получить модель точечной цели, предположим, что протяженность цели по оси X много меньше, чем величина, обратная ширине спектра сигнала:

Тогда функцию можно считать постоянной на интервале изменения X, где функция отлична от нуля. Вследствие этого функцию можно приближенно представить как

Из (22) с учетом (24) получаем

что совпадает с (11.20). Если условие (23) соблюдается, то мы получаем модель флуктуирующей точечной цели, замирания эхо-сигналов от которой не являются частотно-селективными.

Чтобы получить модель нефлуктуирующей цели, возьмем за исходное выражение (9):

Если

то можно использовать приближение

Из (26) с учетом (28) получим 00

Выражение (29) соответствует случаю нефлуктуирующей цели с рассеянием по дальности, движущейся с постоянной скоростью. Если условие (27) соблюдается, то замирания эхо-сигналов от такой цели не является время-селективными.

Чтобы эхо-сигнал был неискаженным (т. е. чтобы его замирания были равномерными как во времени, так и по частоте), условия (23) и (27) должны соблюдаться одновременно. Тогда

Так как

для всех сигналов, условие (30) может быть выполнено только для

Цели (или каналы), для которых соблюдается условие

называются слабодисперсными (слабодиспергирующими). Если

то говорят, что данная цель (или канал) является сильнодисперсной. Роль произведения будет еще выяснена. Из изложенного видно, что только слабодисперсные цели, которые удовлетворяют условию (30), могут вырождаться в медленно флуктуирующие точечные цели для некоторых сигналов.

Следует напомнить, что допплеровское рассеяние зависит от дисперсии скорости цели и от частоты несущего колебания (см. (9.24)). Следовательно, произведение для конкретной цели будет зависеть от несущей частоты.

До сих пор процесс отражения описывался с помощью его ковариационной функции или спектра. Часто бывает удобно использовать модель канального процесса, описываемую дифференциальными уравнениями. Эта модель будет развита в следующем параграфе.