5.2. Основные итоги по теории обнаружения

В гл. 2—5 были подробно рассмотрены вопросы обнаружения гауссовых сигналов в гауссовом шуме. Необходимость подробного изучения этих вопросов объясняется тем, что требуется дать достаточные исходные сведения для фактического решения задач, с которыми мы встречаемся при моделировании физических ситуаций.

В гл. 2 рассмотрена простая бинарная задача. Сначала был выведен алгоритм испытания по критерию отношения правдоподобия. Было показано, что отношение правдоподобия содержит три компоненты. Первая компонента получается в результате нелинейной операции над принимаемым колебанием и появляется вследствие случайности сигнала. Вторая — в результате линейной операции над принимаемым колебанием и обусловлена детерминированной частью принятого сигнала. Она знакома нам из первого тома. Третьей компонентой является член, соответствующий смещению, который необходимо вычислять при проведении испытания по критерию Байеса.

Затем мы обратились к проблеме рализации нелинейной операции, необходимой для формирования Были рассмотрены четыре канонические реализации приемника в форме:

1) оценивателя — коррелятора;

2) фильтра-коррелятора;

3) фильтра-квадратора;

4) оптимального реализуемого фильтра.

Последняя реализация особенно привлекательна, когда процесс имеет конечное представление в переменных состояния. В этом случае можно использовать все эффективные методы переменных состояния, которые были изложены в § 6.3 первого тома, для фактического синтеза приемника.

Более сложным вопросом является задача определения помехоустойчивости оптимального приемника. На основании результатов, изложенных в первом томе, точное вычисление помехоустойчивости во многих случаях оказывается неосуществимым. Продолжив работу по выводу граничных выражений и приближенных формул, начатую в § 2.7 первого тома, мы получили формулы для определения помехоустойчивости для исследуемой задачи. Начальным моментом для вывода этих формул была функция определяемая соотношением (2.148). Оказалось возможным выразить ее через ошибку реализуемой фильтрации и логарифм определителя Фредгольма. Для вычисления каждой разновидности этой функции теперь мы располагаем эффективными процедурами.

Далее мы обратились к общей бинарной задаче где принимаемое колебание может содержать небелую компоненту по каждой из гипотез. В этом случае процедуры определения помехоустойчивости аналогичны процедурам для простого бинарного случая. Главным результатом этого раздела является уравнение (3.33), решение которого соответствует ядру нелинейной части приемника. Модификации различных канонических рализаций не вызвали затруднений и были получены соответствующие границы помехоустойчивости. Новым моментом, с которым мы здесь столкнулись, был вопрос о сингулярности (вырожденности). Сначала были выведены простые верхние и нижние границы вероятности ошибки, выраженные через функцию Затем было показано, что необходимым и достаточным условием невырожденного критерия испытания является конечность функции Это условие было затем сформулировано в виде требования интегрируемости ядра в квадрате. Как и прежде, вопрос о сингулярности не возникает, если предполагается, что по обеим гипотезам присутствует одна и та же компонента белого шума.

В гл. 4 были исследованы три частных случая, которые приводят к простым решениям. В § 4.1 рассмотрен случай стационарного процесса на большом интервале времени. Предположение о большом времени наблюдения позволяет пренебречь однородными решениями интегрального уравнения, определяющего ядро, и решить это уравнение, используя методы преобразования Фурье. Было приведено и разобрано несколько практических примеров. Случай разделимых ядер был рассмотрен в § 4.2. Было показано, что он является подходящей моделью для импульсных радиолокационных систем при медленно флуктуирующих целях, для систем связи с использованием явления отражения радиоволн от ионосферы, когда

многолучевые каналы разрешимы во времени, а также для систем с частотным разнесением. Решение задачи в этом случае оказывается несложным. Наконец, в § 4.3 был рассмотрен случай когерентного приема сигналов малой энергии, который часто встречается в задачах пассивной гидролокации и радиолокационной астрономии. При этом энергия сигнального процесса распределяется по большому числу координат, так что каждое собственное значение мало по сравнению с уровнем белого шума. Это обстоятельство позволяет получить решение интегрального уравнения в виде ряда. Для данного конкретного случая было установлено, что отношение сигнал/шум на выходе является точной мерой помехоустойчивости приемника. Помимо указанных трех частных случаев, мы ранее получили полное решение для случая, когда процессы имеют конечное представление в переменных состояния. Большую часть физических ситуаций, встречающихся на практике, можно удовлетворительно аппроксимировать одним из этих случаев.

В § 5.1 полученные ранее результаты были развиты применительно к многоальтернативной задаче. Оптимальный приемник здесь является прямым развитием результатов, полученных ранее, однако вычисление помехоустойчивости для общей задачи оказывается затруднительным. Была получена довольно простая формула предельной помехоустойчивости (граница) для случая М ортогональных процессов. В § 5.2 были выведены формулы помехоустойчивости для субоптимальных приемников.

В заключение отметим, что обсуждение проблемы обнаружения было пространным, а в ряде случаев довольно подробным. Это объясняется желанием дать читателю достаточные знания по методам решения реальных задач. Для более углубленного изучения данной области рекомендуем читателю помимо работ, упоминавшихся по ходу изложения, обратиться к литературе [43—48]. В следующих двух главах рассмотрим задачу оценки параметров, которая была описана в гл. 1.

5.3. Задачи

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

Список литературы

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)