12.3. Частотно-временная дуальность

Полезность принципа дуальности в рамках классической теории цепей общеизвестна. Белло 12] развил принцип частотно-временной дуальности в более общей трактовке и применил его к проблемам связи. В п. 12.3.1 изложены основные представления о дуальности. В п. 12.3,2 рассмотрены дуальные соотношения в каналах с допплеровским рассеянием и каналах с рассеянием по дальности. В п. 12.3.3 полученные результаты применены при рассмотрении ряда частных случаев.

В данном параграфе приведен ряд свойств и формальных соотношений, полезных при решении конкретных задач. Прежде чем перейти к изложению основного материала, стоит сделать одно замечание. Читатель, который лишь заучит эти свойства и будет слепо их применять, упустит то, что, по нашему мнению, является главным преимуществом принципа дуальности. Это преимущество заключается в том, что глубокое понимание этого принципа наводит на правильные пути решения при рассмотрении той или иной конкретной задачи. Часто одного лишь осмысливания дуальности бывает достаточно для того, чтобы можно было решить задачу непосредственно, не прибегая к формальным выкладкам.

12.3.1. Основные положения теории дуальности

Изложим ряд определений и свойств теории дуальности, проиллюстрировав их некоторыми примерами. Заметим, что при этом все рассматриваемые функции определяются на бесконечных интервалах.

Определение 1. Дуальные функции. Рассмотрим две комплексные временные функции Если

то является функцией, дуальной функции Если

то является обратной дуальной функцией функции

Пример 1. Пусть

Функция, дуальная функции равна

Определение 2. Дуальные процессы. Комплексный гауссов процесс является процессом, статистически дуальным комплексному гауссову процессу если

Заметьте правило знаков при прямом преобразовании Фурье. Комплексный гауссов процесс является статистически обратным дуальным процессом комплексного гауссова процесса если

Свойство 1 [3]. Предположим, что статистически дуальная функция функции являющейся нестационарным процессом, ожидаемое значение энергии которого конечно. Разложим оба процесса в ряды на бесконечном интервале. Собственные значения процесса тождественны собственным значениям процесса а собственные функции процесса являются преобразованиями Фурье собственных функций процесса Это свойство доказывается прямой подстановкой.

Пример 2. Пусть

Разложение дуального процесса имеет вид

Теперь читателю должно быть ясно, почему мы интересуемся дуальными процессами. Качество систем обнаружения и оценки

зависит от собственных значений, а не от собственных функций. Поэтому системы, в которых различные процессы являются дуальными, будут работать с одинаковым качеством.

Свойство 2. Белый комплексный гауссов шум является статистически автодуальным процессом.

Свойство 3. Если дуальный процесс процесса являющегося любой выборочной функцией случайного процесса с нулевым средним значением, то ковариационная функция является двойным преобразованием Фурье ковариационной функции

Определение 3. Дуальные операции. Рассмотрим два детерминированных функционала

Предположим, что дуальная функция функции Если из этого всегда следует, что является дуальной функцией функции то является дуальной операцией операции

Чтобы проиллюстрировать это положение, рассмотрим простой пример дуальной операции.

Пример 3. Пусть соответствует линии задержки с временем задержки а секунд. Таким образом,

Дуальной операцией в данном случае является преобразование частоты:

Чтобы убедиться в этом, заметим, что

Свойство 4. Операции, перечисленные в табл. 12.1, являются дуальными (см. задачи 12.3.4 — 12.3.10).

Таблица 12.1 (см. скан)

Итак, если

то

что и требовалось доказать.

Свойство 5. Предположим, что на вход функционального оператора подается выборочная функция комплексного гауссова случайного процесса, а на вход оператора выборочная функция дуального процесса. Если является дуальной операцией операции то есть дуальный процесс процесса

На этом завершается изложение вводных замечаний. Обратимся теперь к конкретной интересующей нас задаче.