12.3.3. Применение принципа дуальности

В этом подпараграфе мы применим результаты рассмотрения общей теории дуальности к некоторым частным случаям.

Случай 1. Цель, дуальная по отношению к цели с конечным числом состояний и допплеровским рассеянием. Спектр процесса отражения от цели с конечным числом состояний и допплеровским рассеянием представляется рациональной функцией

Заметим, что она является действительной неотрицательной (необязательно четной) функцией частоты. Чтобы система была дуальной, необходимо, чтобы ее функция рассеяния по дальности была рациональной функцией параметра X:

Если сигнал облучающий дисперсную цель, есть то в дуальной по отношению к ней системе с допплеровским рассеянием должен излучаться сигнал Структура оптимального приемника показана на рис. 12.6,

Для иллюстрации этого случая рассмотрим пример.

Рис. 12.6. Структурные схемы, иллюстрирующие задачу обнаружения протяженной по дальности цели с конечным числом состояний: а — реальный канал; б - дуальная система и оптимальный приемник; в — оптимальный приемник для дисперсного канала.

Пример 1. Рассмотрим задачу обнаружения цели с рассеянием по дальности, когда

Дуальной по отношению к ней является задача обнаружения цели с допплеровским рассеянием, когда

В результате совместного рассмотрения структурных схем рис. 12.6 и соотношений (11.38) — (11.49) (см. также задачу 11.2.4) полупим структурную схему приемника, изображенную на рис. 12.7. Его помехоустойчивость определяется по формуле из п. 11.2.3. Следует заметить, что дуальной по отношению к цели с конечным числом состояний и допплеровским рассеянием является бесконечно протяженная цель с рассеянием по дальности. Это никогда не соблюдается на практике, однако можно получить адекватное приближение к с помощью рациональной функций.

Рис. 12.7. Структурная схема оптимального приемника для дисперсного нала с конечным числом состояний.

Случай 2. Условие СПБВН. В случае цели с допплеровским рассеянием простые соотношения получаются, когда

а велико по сравнению с интервалом корреляции процесса представляемого ковариационной функцией Дуальный случай имеет место, когда

велико по сравнению с интервалом корреляции двух частот, определяемым корреляционной функцией Структура приемника по схеме фильтр — квадратор — интегратор для цели с допплеровским рассеянием показана на рис. 12.8. Операция стробирования добавлена здесь с учетом конечного времени наблюдения. Оптимальный приемник можно реализовать, используя преобразователь Фурье, включенный последовательно с системой, которая представлена на рис. 12.8. В этой конкретной задаче проще реализовать систему, являющуюся обратной дуальной по отношению к системе, изображенной на рис. 12.8. Используя свойства, перечисленные в табл. 12.1, получаем систему, показанную на рис. 12.9 (Чтобы избежать необходимости факторизации спектра, здесь

обращены две безынерционные (с нулевой памятью) операции.) Заметим, что в этом случае комплексную огибающую излучаемого передатчиком сигнала можно представить в виде

Практически такой импульс реализовать невозможно.

Рис. 12.8. Структурная схема приемника для обнаружения цели с допплеровским рассеянием в случае СПБВН.

Однако, если излучаемый импульс имеет спектр, относительно равномерный в рассматриваемой полосе частот, то структурная схема приемника, представленная на рис. 12.9, будет близка к оптимальной.

Случай 3. Условие КСМЭ. Если соблюдается условие КСМЭ, то рассматриваемую задачу можно решить непосредственно как для цели с рассеянием по дальности, так и для цели с допплеровским рассеянием. На рис. 12.10 показаны приемники для обоих случаев. Нетрудно убедиться, что они являются дуальными.

Рис. 12.9. Структурная схема приемника для обнаружения цели с рассеянием по дальности в случае СПБВН.

Случай 4. Разрешимая многолучевость. Задача разрешимой многолучевости соответствует функции рассеяния вида

где значения величины достаточно различаются между собой, так что сигналы, прошедшие по разным лучам, на приемной стороне полностью разделимы. Такой канал дуален по отношению к допплеровскому каналу с рассеивающей функцией вида

Заметим, что функция (81) не описывает систему с разнесением по частоте. Она соответствует множеству медленно флуктуирующих точечных целей, движущихся с различными скоростями.

Случай 5. Оптимальная бинарная система связи. Модель бинарной системы связи, работающей по каналу с рассеянием по дальности, аналогична модели, описанной в § 11.3. Излучаемое сигналы определяются выражением (11.68). Приемник состоит двух простых бинарных приемников, приведенных к частотам Фактическая реализация приемника будет зависеть от конкретной физической ситуации, но будет соответствовать одной из структур, синтезированных в данной главе.

Рис. 12.10. Структурные схемы приемника для случая КСМЭ: а — рассеяние по дальности; б - допплеровское рассеяние.

Одним из интересующих нас вопросов является помехоустойчивость. Вывод, приведенный в п. 11.3.1, не был основан на конкретных характеристиках канала. Вследствие этого граничное выражение (11.91) вида

справедливо также для каналов с рассеянием по дальности. Рассмотрим теперь два примера построения сигнала с тем, чтобы показать, каким образом можно приблизиться к данной границе.

Пример 2. Пусть

Канал, определяемый функцией рассеяния (83), дуален по отношению к каналу, описываемому функцией Из результатов примера 1 в п. 11.3.2 нам известно, что если велико, то границы помехоустойчивости (11.91) можно достичь, если излучать сигнал с огибающей

с соответствующим образом выбранным значением Из (11.96) оптимальное значение равно

Заметим, что здесь предполагается

Сигнал вида (84) практически не реализуем. Однако помехоустойчивость любого сигнала, преобразование Фурье которого достаточно равномерно на интервале должна приближаться к границе (82).

Пример 3. Пусть

Канал, описываемый этой функцией рассеяния, дуален по отношению к каналу, приведенному в примерах 2 и 3 на с. 415 и 416. Сигнал, дуальный по отношению к сигналу, представленному на рис. 11.16, записывается как

где

а удовлетворяет уравнению (11.111).

Если

то суммарная вероятность ошибок приближается к границе (82).

Сигнал вида (88) соответствует одновременной передаче сдвинутых по частоте импульсов. Точно такой же результат можно получить, передавая импульсы последовательно (см. задачу 12.3.14). Чтобы получить точный дуальный сигнал, спектру (89) придается специальная форма. Ясно, что форма спектра не имеет значения, если соблюдается условие (90).

Приведенные выше соотношения относятся к случаю бинарной связи. Аналогично можно перенести на каналы с рассеянием по дальности соотношения для многоальтернативных систем, рассмотренные в п. 11.3.4.

Случай 6. Субоптимальный приемник № 1. В п. 11.3.3 был синтезирован субоптимальный приемник для канала с допплеровским

рассеянием; процесс замираний в канале был аппроксимирован ступенчатой функцией. Несколько видоизмененная схема на рис. 11.18 дана на рис. 12.11. На рис. 12.12, а, б показаны два типа ступенчатых аппроксимаций преобразования Фурье процесса замираний в канале. При аппроксимации первого типа будем использовать отрезки длиной общим числом

При аппроксимации второго типа длину отрезка положим равной и примем ее за расчетный параметр приемника. Для упрощения записи сдвинем также начало отсчета.

Рис. 12.11. Структурная схема субоптимального приемника № 1 для канала с допплеровским рассеянием.

Получающаяся в результате структурная схема приемника представлена на рис. 12.13. Нетрудно видеть, что такая схема приемника является дуальной по отношению к схеме рис. 12.11. Помехоустойчивость такого приемника можно исследовать так же, как это сделано в п. 11.3.3.

Случай 7. Субоптимальный приемник № 2. Дуальным по отношению к субоптимальному приемнику по схеме фильтр — квадратор—интегратор (рис. 11.20) является двухфильтровый радиометр (рис. 12.14). Здесь множитель есть функция, выбираемая из условия оптимизации помехоустойчивости приемника. В случае КСМЭ

(см. случай 3), а в случае СПБВН

Анализ приемника этого типа проведен в работе [8].

(кликните для просмотра скана)

Случай 8. Дуальные задачи оценки. В § 11.4 рассмотрена задача оценки дальности и среднего допплеровского сдвига частоты (средней скорости) флуктуирующей точечной цели. Дуальная ей задача — задача оценки допплеровского сдвига и средней дальности нефлуктуирующей цели с рассеянием по дальности.

Предполагается, что цель — нефлуктуирующая, протяженная по дальности, ее средняя протяженность равна

Она движется с постоянной скоростью, соответствующей допплеровскому сдвигу Комплексная огибающая принимаемого эхо-сигнала имеет вид

Ковариационная функция первого слагаемого равна

где

Эта задача дуальна по отношению к задаче, рассмотренной в § 11.4. Различные ее аспекты и соотношения, представляющие интерес, рассматриваются в разделе задач вне основного текста главы.

Этим завершается рассмотрение применений теории частотновременной дуальности. Ряд интересных примеров приведен в задачах. Прежде чем перейти к следующему параграфу, сделаем несколько заключительных замечаний.

1. В проведенном рассмотрении предполагались бесконечные пределы интервала наблюдения, поэтому мы вынуждены были прибегнуть к приближению.

2. Если при реализации системы используется преобразователь Фурье, то неизбежно допускается приближение.

3. Принцип дуальности как общий метод решения задач полезен тем, что он облегчает выполнение формальных преобразований. Конечный результат таких преобразований следует всегда проверять, чтобы убедиться в том, правильно ли мы их производили.

Если помнить об этих моментах, то теория дуальности обеспечивает мощный аппарат для решения и уяснения смысла встречающихся задач обнаружения и оценки. В заключение изложим основные результаты, полученные и рассмотренные в настоящей главе.