10.5.3. Оптимальный приемник: задача разрешения целей дискретный случай

Судя по выражениям (168) и (169), сумму сигналов, отраженный от мешающих целей, можно рассматривать как выборочную функцию комплексных гауссовых шумовых процессов. Если первое слагаемое в (168) обозначить через то

и перед нами знакомая задача обнаружения сигнала на фоне небелого комплексного гауссова шума (см. § 9.3). Ковариационная функция процесса равна

Интервал наблюдения был взят для простоты алгебраических выкладок бесконечным. Обычно имеет конечную длительность, так что функция будет равна нулю вне пределов некоторой области на плоскости

В соответствии с (9.69) оптимальный приемник выполняет операцию

где удовлетворяет уравнению (9.74). Чтобы найти подставим (186) в (9.74). В результате получим уравнение

являющееся интегральным уравнением с разложимым ядром (см. с. 367—370 первого тома). Его можно переписать в виде

Решение уравнения (189) имеет вид

где — постоянные коэффициенты, которые необходимо найти. Структурная схема оптимального приемника показана на рис. 10.35. Вычисление постоянных коэффициентов — простое по своей идее, но утомительное упражнение по матричному исчислению. Поскольку операции такого типа встречаются и в других ситуациях, выполним эту процедуру подробно. Окончательными результатами являются формулы (201) и (202).

Рис. 10.35. Структурная схема оптимального приемника.

Вычисление коэффициентов фильтра. Введем сначала четыре матрицы, определяемые следующим образом. Матрица коэффициентов

Матрица помех

Дополнительные матрицы

Рассматривая матрицы (192) и (194), видим, что все элементы матрицы можно записать с помощью частотно-временных корреляционных функций сигнала, а ковариационная функция небелого шума

Переписав (190) в матричной форме, получим

где

Подставляя (195) и (196) в (188), имеем

Выражение (198) сводится к виду

где

Решая уравнение (199), имеем

Выражения (201) и (202) полностью определяют оптимальный приемник.

С учетом (196), (201) и (202) согласно (9.77) находим, что качество работы системы определяется выражением

Для иллюстрации этих результатов рассмотрим простой пример.

Пример. Одиночная мешающая цель. В этом конкретном случае комплексная огибающая отраженного сигнала, принятого от нужной

цели, равна а комплексная огибающая отраженного сигнала, принятого от одиночной мешающей цели, равна

Следовательно, величины в этом случае являются скалярными. В соответствии с (202) получим

Рис. 10.36. Ухудшение качества оптимального приемника при наличии одиночной мешающей цели.

Заметив, что

и

выражение (203) можно записать в виде

Отношение представлено графически на рис. 10.36. Оно показывает ухудшение качества из-за влияния мешающей целц.

Выигрыш, получаемый благодаря использованию оптимальной фильтрации вместо обычной фильтрации, можно найти в результате сравнения формул (208) и (180). Отношение к (качеству при использовании обычного согласованного фильтра) равно

Это выражение сводится к виду

Рис. 10.37. Относительное качество оптимального и обычного приемников в случае одиночной мешающей цели.

Результаты вычислений по формуле (210) представлены графически на рис. 10.37 для различных значений Нетрудно заметить, что эта функция симметрична относительно Ее поведение в концевых точках интервала можно объяснить следующим образом.

1. При помеха становится сильно коррелированной с сигналом.

Это означает, что

так что

Следовательно, оптимальный и обычный приемники различаются только усилением. Заметим, что качество обоих приемников ухудшается по мере приближения к единице.

2. При помеха становится практически некоррелированной с сигналом, поэтому оптимальный и обычный приемники одинаковы. Итак, если мы располагаем полной свободой при выборе сигнала, то его следует выбрать таким, чтобы значение было малым, и тогда обычный согласованный фильтр будет практически оптимальным,

Выводы, сделанные при рассмотрении этого простого примера, можно перенести на общий случай. Если возможно, было бы желательно сделать равной нулю для всех прочих мешающих целей. Если это осуществимо, то оптимальный и обычный приемники будут одинаковыми. Когда имеют большие значения, используя оптимальный приемник при некоторых значениях I, можно получить значительный выигрыш. Заметим, что при синтезе оптимального приемника предполагалось, что дальность и скорость мешающих целей известны. Во многих физических ситуациях такое предположение является нереальным. В этих случаях приходится сначала оценивать параметры мешающих целей, а затем использовать эти оценки для построения оптимального приемника. Эта процедура является весьма сложной, но вполне реализуема, если помеховая ситуация будет постоянной на протяжении нескольких периодов обзора.

Этим завершается рассмотрение дискретного случая задачи разрешения целей и можно подвести его основные итоги.