П.3. Полосовые случайные процессы

Для полосовых случайных процессов, как и следует ожидать, можно получить аналогичное комплексное представление. В этом параграфе мы рассмотрим три класса случайных процессов:

1. Стационарные процессы.

2. Нестационарные процессы.

3. Процессы с конечномерным представлением в переменных состояния.

На протяжении всего изложения предполагается, что рассматриваемые случайные процессы имеют нулевые средние значения. Начнем рассмотрение со стационарных процессов.

П.3.1. Стационарные процессы

Типичный спектр полосового процесса показан на рис. П.9. Его ширина ограничена полосой по обе стороны от несущей частоты

Рис. П.9. Спектр типичного полосового процесса.

Требуется представить в форме

где функции нижних частот, генерация которых осуществляется схемой, расположенной левее штриховой линии на рис. П.10:

Структурная схема всей системы, осуществляющей как разложение, так и восстановление процесса изображена на рис. П. 10.

В § П.1 было показано, что эта система эквивалентна идеальному полосовому фильтру (см. рис. П.5). Поэтому такое представление справедливо для всех процессов, ширина спектра которых ограничена пределами относительно несущей

Иначе, в комплексной форме записи, можно ввести в рассмотрение процесс

или

и записать процесс в виде

Рис. П.10. Структурная схема формирования квадратурных составляющих и восстановления полосового процесса.

Выведем теперь статистические характеристики процесса

Рис. П.11. Структурная схема генерации процесса

Операция, выражаемая формулой соответствует структурной схеме, представленной на рис. П. 11. Сначала вычислим ковариационную функцию процесса

Энергетический спектр процесса

Теперь видно, что процессы связаны между собой операцией, эквивалентной идеальной фильтрации нижних частот. Таким образом,

Следующий представляющий интерес результат связан с вычислением математического ожидания произведения комплексных величин без комплексно-сопряженной операции по второму члену. Докажем, что

Имеем

Но выражение, заключенное в фигурные скобки, тождественно равно нулю для всех если Поэтому данный интеграл равен нулю и соотношение справедливо. Свойство полезно тем, что позволяет характеризовать комплексный процесс посредством единственной ковариационной функции. Корреляционная функция действительного процесса легко получается из этой единственной ковариационной функции:

Используя соотношение получаем

В спектральном представлении имеем

или

где мы использовали то обстоятельство, что спектр является действительной функцией частоты

Соотношения и позволяют получить статистические характеристики полосового процесса по статистическим характеристикам комплексного процесса, и наоборот. На рис. П. 12 это иллюстрируется для некоторых типичных спектров. Заметим, что спектр комплексного процесса является четным, если и только если данный полосовой процесс симметричен относительно несущей частоты На рис. П. 13 представлены некоторые типичные диаграммы полюсов и нулей для спектров комплексных процессов. Эти диаграммы всегда симметричны относительно оси Это объясняется тем, что спектр является действительным. Но они необязательно симметричны относительно оси а, так как спектр необязательно четный.

Хотя обычно приходится иметь дело с комплексными процессами, поучительно хотя бы кратко рассмотреть статистические

(кликните для просмотра скана)

характеристики квадратурных составляющих. Их можно получить непосредственно из и (П.58):

Следовательно,

В спектральном представлении имеем

где символом обозначена операция взятия четной части. Аналогично

где символом обозначена операция взятия нечетной части. Заметим, что спектр является мнимым. Это очевидно из асимметрии соотношения Из выражения видно, что квадратурные процессы коррелированы, если спектр комплексного процесса нечетен относительно несущей. Заметим также, что в любой момент времени процессы некоррелированы, так как из следует, что

Комплексные белые процессы. Прежде чем закончить рассмотрение задания комплексных процессов посредством их вторых моментов, определим конкретный интересующий нас процесс.

Рассмотрим процесс спектр которого показан на рис. Его комплексная огибающая

Используя и получаем

Ковариационная функция комплексного белого шума

Рис. П. 14. Спектр полосового белого шума.

Если ширина спектра больше, чем полоса пропускания данной системы, выражение можно приближенно заменить дельтафункцией. Полагая в получаем

Процесс называется комплексным белым шумовым процессом. Действительный процесс называется полосовым белым шумовым процессом. Заметим, что точно так же, как в случае белого шума, они служат удобными приближениями к реальным физическим процессам.

Комплексные гауссовы процессы. Во многих представляющих интерес случаях процессы являются гауссовыми случайными процессами. Если стационарный гауссов процесс, то стационарные совместно гауссовы процессы, так как они получаются в результате линейных операций над процессом Комплексная огибающая этого процесса

поэтому логично было бы называть его стационарным комплексным гауссовым случайным процессом. Поскольку мы будем часто пользоваться этим понятием, целесообразно дать его точное определение.

Определение. Пусть два стационарных совместно гауссовых случайных процесса с нулевыми средними

значениями и одинаковыми ковариационными функциями. Процесс определяется соотношением При любых выполняется условие

При этом процесс является стационарным комплексным гауссовым случайным процессом с нулевым средним значением.

Модификация этого определения, учитывающая случай, когда среднее значение изменяется во времени, не встречает принципиальных затруднений. Заметим, что комплексный процесс, действительная и мнимая части которого суть гауссовы процессы, необязательно является гауссовым. Для того, чтобы такой комплексный процесс был гауссовым, должно соблюдаться условие Отсюда следует, что его действительная и мнимая части являются гауссовыми процессами с одинаковыми характеристиками, соотношение между которыми описывается ковариационной функцией Эти процессы статистически независимы только при условии, что спектр исходного процесса симметричен относительно несущей. Отметим также, что действительный гауссов процесс не является частным случаем комплексного гауссова процесса.

Если взять выборку комплексной огибающей в момент времени то получим комплексную случайную величину Для определения плотности вероятности комплексной случайной величины необходимо знать совместную плотность вероятности действительной части и мнимой части Поскольку выборки совместно гауссова процесса, они являются совместно гауссовыми случайными величинами. Так как из следует, что они должны быть некоррелированными, то их можно считать статистически независимыми. Следовательно,

где

Соответственно

Определим комплексную гауссову случайную величину как такую случайную величину, плотность вероятности которой имеет форму Заметим, что

Нетрудно определить свойства, аналогичные свойствам действительных гауссовых случайных величин и действительных гауссовых случайных процессов (см. задачи П.3.1-П.3.7). Одно из определений, которое нам необходимо, соответствует определениям, приведенным на с. 183 первого тома. Пусть

где такая функция, что Если комплексный гауссов процесс, то у — комплексная гауссова случайная величина. Этот вывод следует непосредственно из приведенных определений.

Конкретный класс комплексного гауссова процесса, который часто используется в этой книге, — комплексный гауссов белый шумовой процесс Это комплексный гауссов процесс, ковариационная функция которого определяется выражением

Представляют интерес еще две плотности вероятности. Комплексную огибающую можно выразить через модуль и фазу:

Модуль соответствует огибающей действительного случайного процесса. Легко показать, что в любой данный момент времени это релеевская случайная величина. Фаза соответствует мгновенной фазе действительного случайного процесса за вычетом линейного набега фазы и является равномерно распределенной случайной величиной, независимой от величины огибающей. Заметим, что огибающая и фаза не являются независимыми процессами.

Перейдем теперь к рассмотрению нестационарных процессов.

П.3.2. Нестационарные процессы

Физическая ситуация, в которой мы сталкиваемся с нестационарными процессами, — это отражение детерминированного сигнала от флуктуирующей точечной цели. Как было показано, подходящей моделью для комплексной огибающей эхо-сигнала в этом случае служит представление

где комплексный детерминированный сигнал; стационарный комплексный гауссов процесс с нулевым средним значением. Видим, что является нестационарным процессом с нулевым средним значением, вторые моменты которого равны

Условие соответствует условию для стационарных процессов и позволяет характеризовать комплексный процесс с помощью единственной ковариационной функции. Без этого условия комплексная форма записи менее целесообразна, и поэтому будем считать его обязательным для рассматриваемых нестационарных процессов. В частности, рассмотрим процессы, которые можно представить в виде

где комплексный низкочастотный процесс такой, что

Для того, чтобы нестационарный процесс был низкочастотным процессом, все его собственные функции с пренебрежимо малыми собственными значениями должны быть низкочастотными функциями по сравнению с несущей частотой Это условие аналогично спектральному условию для стационарных процессов.

Ковариационную функцию действительного полосового процесса можно записать в виде

Второе слагаемое в правой части равно нулю ввиду условия

Таким образом, между вторыми моментами указанных двух процессов имеется требуемое полное соответствие. Условие не особенно жестко, так как большинство встречающихся на практике процессов ему удовлетворяет.

Как и прежде, собственные значения и собственные функции случайного процесса играют важную роль во многих наших рассуждениях. Все рассуждения гл. 3 первого тома (с. 166) переносятся на комплексные процессы. Уравнение, определяющее собственные значения и собственные функции, имеет вид

Предположим, что ядро является эрмитовым:

Это условие аналогично требованию симметрии в случае действительных процессов, и ему удовлетворяют все комплексные ковариационные функции. Все собственные значения эрмитова ядра являются действительными. Этого и следовало ожидать, так как в стационарном случае энергетический спектр является действительным. Рассмотрим теперь комплексную огибающую и соответствующий ей действительный полосовой процесс и покажем, в каком соотношении находятся их собственные функции и собственные значения. Прежде всего запишем соответствующие уравнения для указанных двух процессов, а затем покажем их связь.

Для полосового случайного процесса из гл. 3 первого тома имеем:

где функция удовлетворяет уравнению

а коэффициенты

Отсюда следует, что

Аналогично, для комплексной огибающей случайного процесса имеем

где функции удовлетворяют уравнению

Комплексные собственные функции ортонормальны, т. е.

Коэффициенты

Далее можно показать, что

Рассматриваемые процессы связаны соотношениями и

Чтобы найти, в каком соотношении находятся собственные функции, подставим

в и используем В результате получим

Следовательно,

Если потребовать, чтобы

то будет удовлетворяться при любом 0. Так как справедливо при любом 0, каждое собственное значение и каждая собственная функция комплексного процесса соответствуют собственному значению и семейству собственных функций полосового процесса. Ясно, что не более чем две из них могут быть алгебраически линейно независимыми. Их можно выбрать так, чтобы они были ортогональными, взяв . (Любые два значения 0, отличающиеся на 90°, также дают удовлетворительный результат.) Таким образом, собственным значениям и собственным функциям можно присвоить индексы, как показано в табл. Тот вывод, что собственные значения действительного процесса встречаются парами, важен для последующего изложения. Он позволяет существенно упростить анализ.

Таблица П.1 Собственные значения и собственные функции

Связь между коэффициентами разложения Карунена-Лоэва находится путем прямой подстановки:

Из и известно, что имеют одинаковые ковариационные функции. Когда эти процессы некоррелированы, собственные значения процесса являются просто удвоенными собственными значениями процесса . В общем случае не существует простого соотношения между собственными значениями комплексного огибающего процесса и собственными значениями квадратурного процесса.

До сих пор мы рассматривали задание случайных процессов только вторыми моментами. Часто интерес представляют гауссовы процессы. Если нестационарный гауссов процесс и

соблюдаются условия , то можно было бы определить как комплексный гауссов случайный процесс. Однако проще определить комплексный гауссов процесс непосредственно.

Определение. Пусть случайный процесс, определенный на интервале со средним значением и ковариационной функцией

обладающий свойством:

Если каждый комплексный линейный функционал от является комплексной гауссовой случайной величиной, то есть комплексный гауссов случайный процесс. Иначе говоря, предположим, что

где произвольная функция, такая, что Тогда, чтобы процесс был комплексным гауссовым случайным процессом, у должна быть комплексной гауссовой случайной величиной для каждой функции в указанном классе.

Отметим, что это определение полностью аналогично определению действительного гауссова процесса, данному на с. 219 первого тома. Различные свойства нестационарных гауссовых процессов выводятся в рамках задач вне основного текста. Поскольку стационарные комплексные гауссовы процессы представляют собой частный случай, они должны удовлетворять приведенному определению. Нетрудно показать, что определение, данное на с. 621, эквивалентно указанному определению, когда рассматриваемые процессы стационарны.

Возвращаясь к разложению Карунена-Лоэва, заметим, что если комплексный гауссов случайный процесс, то комплексная гауссова случайная величина, плотность вероятности которой определяется выражением при

Комплексный гауссов белый шумовой процесс обладает тем свойством, что разложение по любой системе ортонормальных

функций имеет статистически независимые коэффициенты. Обозначив коэффициент через имеем

Этим завершается общее рассмотрение нестационарных процессов. Рассмотрим теперь комплексные процессы с конечным представлением в переменных состояния.

П.3.3. Комплексные процессы с конечным представлением в переменных состояния

Ранее было установлено, что важный класс случайных процессов образуют процессы, которые можно генерировать, возбуждая белым шумовым процессом конечномерную линейную динамическую систему. Вместо того чтобы иметь дело с полосовым процессом, в последующем будем оперировать с его комплексной огибающей. В соответствии с этим необходимо получить класс комплексных процессов, которые можно генерировать, возбуждая конечномерную комплексную систему комплексным белым шумом. Определим его таким образом, чтобы в соответствующих случаях его свойства не противоречили свойствам стационарных процессов.

Комплексное уравнение состояния имеет вид

Это обобщение уравнения учитывающее векторную возбуждающую функцию и Уравнение наблюдения

Огруктурная схема этой системы показана на рис. П. 15. Предполагается, что и комплексный векторный белый шумовой процесс с нулевым средним значением и ковариационной матрицей

где

Кроме того, предполагается, что

Условие представляет собой векторный аналог условия Оперируя квадратурными составляющими, получим

Из условия следует, что

Ковариационные матрицы для квадратурных составляющих есть одинаковые неотрицательно-определенные матрицы, а взаимно ковариационная матрица — кососимметричная матрица (т. е.

Рис. П.15. Структурная схема генерации комплексного процесса с конечным представлением в переменных состояния.

Отсюда следует, что эрмитова матрйца с неотрицательно-определенной действительной частью.

Обычно нет необходимости учитывать корреляцию между составляющими вектора (т. е. можно положить поскольку любую корреляцию между составляющими вектора состояния можно учесть в матрицах коэффициентов В этом случае является действительной неотрицательно-определенной симметричной матрицей.

Следующий вопрос, который необходимо рассмотреть, — определение начальных условий. Чтобы не было противоречия понятию состояния, любые предположения о симметрии, которые мы делаем относительно вектора состояния в начальный момент времени должны соблюдаться в произвольный момент времени

Прежде всего предположим, что комплексный случайный вектор (для простоты предположим, что его среднее

значение равно нулю). Комплексная ковариационная матрица для этого случайного вектора определяется в виде

Предположим, что

Заметим, что согласуются с ранее установленными положениями, из которых следует, что

Как следствие комплексная ковариационная матрица начального условия является эрмитовой матрицей с неотрицательно-определенной действительной частью.

Выясним теперь, что следует из этих предположений применительно к ковариационной функции вектора состояния и ковариационной функции наблюдаемого сигнала Поскольку ковариационную функцию сигнала можно непосредственно выразить через ковариационную функцию вектора состояния, сначала рассмотрим функцию

Для действительных случайных процессов, представляемых в переменных состояния, функцию можно определить через матрицы уравнения состояния, матрицу связанную с ковариационной функцией возбуждающего шума и и ковариационную матрицу вектора начального состояния Результаты для случая комплексных переменных состояния аналогичны. Различие состоит в том, что операция транспонирования заменяется операцией комплексно-сопряженного транспонирования. Ввиду полной аналогии схемы вывода для обоих случаев ограничимся формулировкой окончательных результатов (см. задачу

Матрица является эрмитовой матрицей, удовлетворяющей линейному матричному дифференциальному уравнению

где начальное условие задается как часть описания системы. Этот результат аналогичен Функция определяется выражением

где комплексная переходная матрица, соответствующая матрице . (Этот результат аналогичен конечному результату в задаче 6.3.16 первого тома.) Кроме того,

Следовательно, предположения, которые были сделаны относительно ковариационной функции вектора начального состояния справедливы для ковариационной функции вектора состояния при любом

Обычно вектор состояния системы нас непосредственно не интересует. Интересующим нас вектором является наблюдаемый сигнал который связан с вектором состояния соотношением . При этом можно легко установить свойства ковариационной функции поскольку она связана с ковариационной фунцией вектора состояния соотношением

Отсюда очевидно, что матрица является эрмитовой. Аналогично из следует, что

Нетрудно также установить свойства квадратурных составляющих:

В этом параграфе была предложена идея генерации комплексного случайного процесса путем возбуждения линейной системы, имеющей представление в комплексных переменных состояния, комплексным белым шумом. Далее было показано, как можно определить статистические характеристики второго порядка этого процесса через комплексную ковариационную функцию, и рассмотрено, каким образом можно определить эту функцию по описанию системы в переменных состояния. Единственные предположения, которые при этом были сделаны, относились к статистическим характеристикам второго порядка векторов и Полученные результаты не зависят от формы матриц коэффициентов Используемые в комплексном случае методы полностью аналогичны методам, применяемым в случае действительных переменных состояния. Легко убедиться, что все эти результаты согласуются с результатами, полученными в § П.1 и П.2 для стационарных и нестационарных случайных процессов.

Рассмотрим теперь два простых примера для иллюстрации некоторых используемых методов.

Пример 1. Рассмотрим уравнение состояния первого порядка. Сначала найдем ковариационную функцию для нестационарного случая, а затем рассмотрим частный случай, когда процесс является стационарным, и определим спектр процесса. Уравнения, описывающие систему, имеют вид:

В отношении и сделаем следующие допущения:

Так как рассматриваемый процесс является скалярным, величины должны быть действительными. Кроме того, как и прежде, предполагается, что средние значения равны нулю.

Сначала найдем функцию Дифференциальное уравнение (П. 130), которому она удовлетворяет, в этом случае принимает вид

Решение уравнения имеет вид

Чтобы найти функцию используя выражение (П. 131), необходимо определить переходную матрицу данной системы. Она равна

Подставив (П. 142) и (П. 143) в (П. 131), можно найти функцию которая в данном примере совпадает с Рассмотрим теперь стационарную задачу более подробно. Этот случай возникает при наблюдении отрезка стационарного процесса. Чтобы сделать процесс стационарным, положим

Если произвести указанные преобразования и ввести обозначение и, то получим

Выражение можно записать в виде

Спектр такого комплексного процесса

Отсюда видно, что в стационарном случае результирующий эффект комплексного полюса выражается в том, что комплексный спектр имеет сдвиг по частоте, равный мнимой части В случае действительного полосового процесса это соответствует сдвигу несущей частоты. Это очевидно, если взглянуть на диаграмму полюсов и нулей спектра представленную на рис. П. 16.

Рис. П.16. Местоположение полюсов для спектра стационарного процесса, генерируемого системой первого порядка.

Рис. П.17. Местоположение полюсов для конкретного спектра второго порядка.

Пример 2. Рассмотрим диаграмму полюсов и нулей, представ ленную на рис. П. 17. Спектр выражается в виде

Процесс с таким спектром можно генерировать, возбуждая систему с двумя состояниями комплексным белым шумом. Собственные значения матрицы должны быть равны и Если использовать следующее представление в переменных состояния:

то уравнения, описывающие систему, примут вид

где предполагается, что

В последующем можно провести анализ, аналогичный выполненному в примере 1 (см. задачу П.3.14).

В рассмотренных двух примерах мы ограничились стационарными процессами. Применение метода комплексных переменных состояния еще более важно, когда приходится иметь дело с нестационарными процессами. Точно так же, как действительные переменные состояния, комплексные переменные состояния позволяют получить полные решения большого числа задач в соответствующих областях теории обнаружени, оценок и фильтрации. Многие из прикладных задач такого типа логически возникают при рассмотрении материала гл. 9—13. Но существует одна область применения, которую легко сформулировать, и поэтому целесообразно рассмотреть ее здесь.

Теория оптимальной линейной фильтрации. Во многих задачах связи требуется оценивать комплексную огибающую узкополосного процесса. Эффективность метода действительных переменных состояния при отыскании оптимальных структур алгоритма оценки свидетельствует о том, что метод комплексных переменных состояния можно использовать для отыскания оценок комплексных огибающих узкополосных процессов.

В этом параграфе мы укажем структуру реализуемого комплексного фильтра для оценки комплексной огибающей узкополосного процесса. Приведем лишь результаты вывода, поскольку используемые методы полностью аналогичны методам, применяемым в случае действительных переменных состояния. Основное различие состоит в том, что операции транспонирования заменяются на комплексно-сопряженные операции транспонирования.

Рассмотрим комплексные случайные процессы, которые имеют конечномерное представление в переменных состояния. При формулировке задачи оптимальной линейной фильтрации в переменных состояния требуется оценить вектор состояния линейной системы, когда на ее выходе наблюдается сигнал в смеси с аддитивным белым шумом Таким образом, принимаемое колебание можно записать в виде

Предполагается, что положительно-определенная эрмитова матрица.

В задаче реализуемой фильтрации оценка вектора состояния производится в конце интервала наблюдения, т. е. в момент времени Однако время окончания наблюдения обычно является переменной величиной, которая возрастает с ростом времени приема информации. Поэтому желательно получить оценку вектора состояния х как функцию времени окончания интервала наблюдения Оценка выбирается так, чтобы минимизировать ошибку

Предполагается, что получается в результате линейной фильтрации. В случае комплексных гауссовых процессов это дает наилучшую оценку по минимуму среднеквадратической ошибки без наложения условия линейности.

Оптимальный реализуемый фильтр можно описать с помощью его импульсной переходной функции так что оптимальная оценка выражается в виде

Легко показать, что указанная импульсная переходная функция является решением комплексного интегрального уравнения Винера-Хопфа

(см. задачу П.3.15). При формулировке задачи в переменных состояния оценку находят непосредственно, не прибегая к отысканию оптимальной импульсной переходной функции в явном виде. Произведя вывод по схеме, аналогичной схеме вывода в случае действительных переменных состояния, можно в неявном виде определить оценку как решение дифференциального уравнения

где

Ковариационная матрица определяется в результате решения нелинейного дифференциального уравнения

Которое можно также записать в виде

Начальные условия для него отражают априорную информацию о начальном состоянии системы:

Здесь оценка априорная оценка начального состояния (она часто считается равной нулю для процессов с нулевыми средними значениями); матрица ковариационная матрица этой априорной оценки.

Рис. П.18. Влияние сдвига несущей частоты на местоположение полюсов: а — местоположение полюсов в системе А; б - местоположение полюсов в системе В.

Так же как в случае действительных переменных, дисперсионное уравнение можно решить независимо от уравнения оценки. Чтобы получить решение, это уравнение можно проинтегрировать численным методом; решение можно также получить при помощи переходной матрицы соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений. Ряд интересных примеров вынесен в задачи вне основного текста.

Один интересный частный случай соответствует ситуации, когда принимаемое колебание является скалярной величиной. Тогда можно записать

Заметим также, что матрица размерностью На рис. П. 18 представлены две диаграммы полюсов и нулей для спектра процесса Обозначим модуляционные матрицы этих двух систем через соответственно. Ясно, что для обеих систем можно использовать одинаковые уравнения состояния и положить

Подставляя (П. 165) и (П. 166) в (П. 162), приходим к выводу, что ковариационная матрица не зависит от А. Поскольку А соответствует сдвигу несущей частоты в задаче с действительными

Полосовыми процессами, то это как раз такой результат, какой и следовало ожидать. Отметим, что матрица также инвариантна по отношению к произвольной фазовой модуляции, которой подвергается модуляционная матрица

Этот результат не столь очевиден из интуитивных представлений, но его легко получить из (П. 162).

Соотношения (П.157)-(П.164) справедливы для нестационарных процессов и произвольных интервалов наблюдения. Для стационарных процессов и полубесконечных интервалов наблюдения эта задача эквивалентна комплексному варианту задачи винеровской фильтрации. Все соответствующие методы переносятся на этот случай с очевидными модификациями (см. задачу П.3.15).