при начальных условиях
Напомним, что ковариационная матрица ошибок равна
С учетом (177) имеем
Напомним сначала несколько результатов из гл. 6 первого тома и введем некоторые упрощения записи. Из свойства 16 на с. 619 первого тома мы знаем, что дисперсионное уравнение (84) может быть поставлено в соответствие системе двух линейных уравнений (1-6.335) или (1-6.336):
Переходная матрица 
в форме (182) удовлетворяет дифференциальному уравнению
при начальных условиях 
Кроме того, в соответствии с (I-6.338) ковариационная матрица ошибок равна
Матрица, обратная второй матрице, всегда существует, так как она является переходной матрицей линейной динамической системы. Для простоты введем в рассмотрение две новые матрицы:
Таким образом,
а 
удовлетворяют дифференциальному уравнению
при начальных условиях
Теперь приступим к собственно выводу. Умножив обе части (181) на 
и проинтегрировав, получим
Вспомним теперь, что
для любого вектора х. Следовательно, 
Использовав (187) для исключения 
получим
Согласно формуле (9.31) в [14]
Итак,
что и требовалось доказать 
Видим, что вычислять 
необходимо только в одной точке, а не на всем интервале. Это особенно важно, когда имеется аналитическое выражение для 
Если находить 
численным интегрированием (187), то значительной экономии в объеме вычислений не будет.
Формула (195) — другое приближенное выражение для 
которое требовалось получить. В следующем подпараграфе рассмотрен простой пример, иллюстрирующий применение выведенной выше формулы.
. С другой стороны, существует много случаев, когда необходимо определить качество (помехоустойчивость) для ряда систем, чтобы выбрать одну для построения. В таких случаях желательно иметь выражение для 
которое требует наименьшего объема вычислений. В частности, желательно найти выражение для 
которое бы не требовало вычисления 
в каждой точке интервала 
Если случайный процесс имеет конечномерное представление в переменных состояния, то можно найти более простое выражение для 
Новое выражение основано на другом методе вычисления интеграла
