7.1.2. Точность усеченных оценок

Оценка является смещенной из-за того, что мы произвели усечение на нуле. Исследуем влияние этого усечения для приемника, структурная схема которого показана на рис. 7.3. Этот приемник является обобщением приемника из примера 2. Используем обозначение

где

или в эквивалентной форме —

где - функциональный корень квадратный из Постоянные коэффициент усиления и смещение соответственно.

В примере 2 мы имели

При первоначальном рассмотрении оставим и 5 в качестве параметров. Позднее мы рассмотрим конкретные значения (37) и (38). Заметим, что оценка будет удовлетворять (30) только тогда, когда используются значения (37) и (38).

Рис. 7.3. Реализация приемника для формирования оценки по схеме фильтр — квадратор — интегратор.

Будем считать, что регулируются так, чтобы была несмещенной оценкой параметра А. Обозначим усеченную оценку на выходе приемника через а. В примере 2 величины а и равны, но при произвольной они будут различны. Отметим, что дисперсию оценки можно вычислить точно (см. задачу 7.1.1) для любой

Типичная плотность вероятности для I показана на рис. 7.4. Заметим, что А является неслучайным параметром и наше обычное обозначение. Область где будет усечена, заштрихована. Если вероятность того, что значение I будет лежать в заштрихованной области, мала, то оценка а будет иметь малое смещение.

Рис. 7.4. Типичная плотность вероятности для достаточной статистики

Следует иметь в виду, что если вероятность того, что значение I лежит в заштрихованной области, велика, то среднеквадратическая ошибка оценки будет настолько большой, что данную процедуру оценки нельзя будет признать удовлетворительной. Перейдем теперь к количественным характеристикам оценки и вычислим следующие три величины.

1. Верхнюю границу вероятности

2. Верхнюю границу смещения оценки а.

3. Нижнюю границу среднего квадрата ошибки

Общие выражения, которые будут выведены, справедливы для произвольного приемника в форме, представленной на рис. 7.4, при условии, что

Общие формулы для граничных выражений и конкретные результаты, полученные ниже, имеют большое значение.

Верхняя граница Обратимся к рис. 7.4. Видим, что интересующая нас задача аналогична вычислению вероятности для субоптимального приемника, которая была рассмотрена в п. 5.1.21). Использовав асимптотическую форму определителя Фредгольма в (5.55), имеем

Колебание это колебание на входе квадратора, его энергетический спектр. Граница Чернова имеет вид

где выбирается так, чтобы

(Напомним результат (I-2.461) и заметим изменение знака у параметра Поскольку

уравнение (42) будет иметь единственное решение. Отметим, что этот результат справедлив для любого приемника со структурой фильтр — квадратор — интегратор, если на смещение наложено условие (43) (т. е. можно использовать различные ). Для иллюстрации вычисления верхней границы рассмотрим частный случай примера 2.

Пример 2 (продолжение). Рассмотрим приемник из примера 2. Первоначально (см. (26)) предполагалось, что спектр сигнала идеально ограничен по полосе и имеет ширину [Гц]. Теперь рассмотрим частный случай, когда спектральная плотность постоянна в пределах этой частотной полосы. Таким образом,

Тогда

С учетом (45) из (40) получим

Чтобы найти продифференцируем (47) и приравняем результат смещению В. В результате получим:

Подстановка (48) в (47) и (41) дает:

Видим, что граница зависит от отношения сигнал/шум в полосе сообщения и от половины произведения длительности сигнала на ширину его спектра. На рис. 7.5 граница (49) представлена графически как функция произведения при различных значениях В большинстве случаев вероятность того, что оценка будет отрицательной, пренебрежимо мала. Например, если

то эта вероятность меньше чем ,

Рис. 7.5. Граница вероятности того, что оценка будет отрицательной.

Выше мы использовали границу Чернова. При необходимости можно получить лучшее приближение к искомой вероятности, если использовать приближенную формулу

(см. задачу 5.1.13). В большинстве случаев в этом дополнительном уточнении нет необходимости. Определим теперь границу смещения оценки а.

Верхняя граница смещения оценки а. Границу смещения оценку а можно вычислить методом, аналогичным используемым при выводе (41). Напомним, что несмещенная оценка параметра и ее можно записать в виде

Таким образом,

Разбив область интегрирования на два интервала, имеем

Второй интеграл равен Итак, смещение оценки а равно

Далее необходимо определить границу правой части (56). Найдем два граничных выражения. Первое получается довольно просто и адекватно для большинства случаев. Второе требует несколько больше вычислений, но дает более точный результат.

Граница 1. Имеет вид

где удовлетворяет уравнению (42). Выражение (57) можно нормировать:

Для сигнала со спектром вида (44) выражение (58) сводится к формуле

После вывода второго граничного выражения результат (59) будет представлен графически. Заметим, что (59) можно представить графически непосредственно по рис. 7.5 путем умножения каждого значения на

Граница 2 [2]. Можно получить более точную границу, если модифицировать плотность вероятности. Введем в рассмотрение плотность вероятности определяемую как

Напомним выражение (I - 2.450).) С учетом (60) из (57) получим в

Ограничим теперь интеграл сверху единицей и положим в фигурных скобках

Тогда из (61) получим

Выражение в фигурных скобках максимизируется при

С учетом условия (64) из (63) получим

Теперь минимизируем эту границу как функцию переменной Минимум определяется условием

Можно показать, что уравнение (66) имеет решение в разрешенной области (см. задачу 7.1.2). Итак,

Для сигнала со спектром (44) имеем

где

и

(см. задачу 7.1.3). На рис. 7.6 границы, определяемые выражениями (59) и (67), представлены графически для случая, когда Ведно, что в этом случае вторая граница примерно на порядок величины точнее первой и смещение пренебрежимо мало.

Рис. 7.6. Сравнение границ нормированного смещения

Аналогичные результаты можно получить для других значений произведения По графикам рис 7.5 нетрудно заметить, что смещение пренебрежимо мало в большинстве интересующих нас случаев. Точно так же, как на с. 225, можно получить более точное приближение к искомому смещению, если использовать формулу, аналогичную (52) (см. задачу 7.1.4). Далее нам необходимо вычислить границу среднего квадрата ошибки.

Граница среднего квадрата ошибки. Средний квадрат ошибки при использовании оценки а равен

Заметим, что

Таким образом, (70) можно записать как в в

Вспомнив, что

имеем

Выражение в фигурных скобках всегда положительно. Следовательно,

где

Для определения границы ошибки теперь можно поступить так же, как в рассуждениях на с. 225—227. Простая граница имеет вид

Более точную границу можно найти таким же методом, каким была получена граница (67) (см. задачу 7.1.5). Во многих случаях адекватной бывает простая граница вида (78). Например, при численных значениях, приведенных в (50) и (51),

Заметим, что необходимо также найти Как было отмечено на с. 222, ошибку всегда можно определить точно (см. задачу 7.1.1).

Мы изложили методы определения смещения и среднего квадрата ошибки усеченной оценки. Изложение было достаточно подробным ввиду важности как результатов, так и используемых методов.

В большей части последующего изложения влиянием усечения будем пренебрегать и считать, что точности оценок а и фактически одинаковы. Результаты этого параграфа позволяют нам проверить это допущение в любой конкретной задаче. Вернемся повторно к примеру 2 и закончим его рассмотрение.

Пример 2 (окончание). Если предположить, что смещением можно пренебречь, то точность оценки можно считать приближенно равной точности оценки Граница Крамера дисперсии оценки определяется соотношением (18). Когда отношение велико, эта граница не зависит от спектра и

Можно показать, что фактическая дисперсия стремится к указанной границе при В связи с этим полезно сделать следующие два замечания.

1. В случае малого уровня шума относительная дисперсия не зависит от плотности и формы спектра. Эта задача аналогична классической задаче оценки, рассмотренной в гл. 2 первого тома, где производится оценка дисперсии нормальной случайной величины х. Там показано, что относительная дисперсия оценки не зависит от фактической дисперсии о.

2. Напомним (см. гл. 3 первого тома), что если стационарный процесс имеет ограниченный спектр шириной и наблюдается на интервале длительностью то имеется значащих собственных значений. Поэтому соотношение (80) можно записать в форме

что совпадает с соответствующими результатами классической теории оценок.

Пример 2 использовался нами для подробного изучения точности смещенной оценки максимального правдоподобия. Для такого подробного изучения имелось две причины.

1. Мы часто встречаемся со смещенными оценками при оценивании параметров случайных процессов. Необходимо уметь количественно оценивать влияние этого смещения. Ситуация облегчается тем, что во многих задачах этим влиянием можно пренебречь. Установленные выше границы позволяют определить, когда можно пренебречь смещением и когда его необходимо учитывать.

2. Основные аналитические методы, использованные в данном параграфе, можно применять при решении других задач оценки. Заметим, что при написании соотношения (41) была использована граница Чернова. Если вероятностью смещения пренебречь нельзя и необходимо найти более точную оценку ее истинного значения, то можно использовать приближенную формулу (52).

Рассмотрим теперь другой частный случай задачи, связанной с оценкой амплитуды.

Пример 3. Малое отношение сигнал/шум на входе. Другой предельный случай соответствует низкому отношению сигнал/шум на входе приемника. Он аналогичен случаю когерентности сигнала малой энергии, с которым мы встречались в задачах обнаружения (см. с. 154). Если предположить, что

то (22) можно разложить в ряд. Выполняя разложение и удерживая первый член, получим

где

Заметим, что в допущении об ограниченности спектра по ширине здесь нет необходимости. Приближенная оценка максимального правдоподобия при этом имеет вид

Все общие рассуждения, связанные с выводом выражений для смещения и среднего квадрата ошибки, справедливы и в этом случае.

При ограниченном по ширине спектре вида (44) вероятность того, что оценка будет отрицательной, имеет границу

Из условия (82) следует, что

Следовательно, чтобы вероятностью (86) можно было пренебречь, произведение должно быть очень большим.

Граница Крамера — Рао для дисперсии любой несмещенной оценки равна

При равномерном ограниченном по ширине спектре граница (88) сводится к виду

Нетрудно видеть, что для того, чтобы эта граница была малой, произведение должно быть большим. Когда это условие соблюдается, можно показать, что дисперсия оценки стремится к этой границе. При таких условиях вероятность (86) пренебрежимо мала и оценка равна оценке почти для всех реализаций данного эксперимента. Во многих случаях вероятность (86) не будет пренебрежимо малой и поэтому для определения точности оценки надо использовать результаты (34) — (78). Такой анализ выполняется в задаче 7.1.6.

Рис. 7.7. Структурная схема устройства оценки амплитуды.

В двух рассмотренных выше предельных случаях — большого и малого отношения сигнал/шум, которые были изложены в примерах

2 и 3, приемник имел простую форму, показанную на рис. 7.7. В случае большого отношения сигнал/шум

В случае малого отношения сигнал/шум

Приемник со структурной схемой, представленной на рис. 7.7, в области радиоастрономии обычно называют радиометром [3]. По своей структуре он, конечно, является одним из вариантов

приемника по схеме фильтр — квадратор — интегратор, о котором говорилось ранее в этой главе.

Очевидным преимуществом структурной схемы рис. 7.7 является то, что такой приемник выдает оценку в результате прохождения колебания по единственному последовательному тракту обработки. В отличие от этого, в общем случае приходится строить трактов обработки, как показано на рис. 7.1. Ввиду простоты приемника, построенного по схеме фильтр — квадратор — интегратор, рассмотрим кратко субоптимальный приемник, построенный по схеме рис. 7.7, но позволяющий выбирать