Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7.1.2. Точность усеченных оценокОценка
где
или в эквивалентной форме —
где В примере 2 мы имели
При первоначальном рассмотрении оставим
Рис. 7.3. Реализация приемника для формирования оценки Будем считать, что Типичная плотность вероятности для I показана на рис. 7.4. Заметим, что А является неслучайным параметром и
Рис. 7.4. Типичная плотность вероятности для достаточной статистики Следует иметь в виду, что если вероятность того, что значение I лежит в заштрихованной области, велика, то среднеквадратическая ошибка оценки будет настолько большой, что данную процедуру оценки нельзя будет признать удовлетворительной. Перейдем теперь к количественным характеристикам оценки и вычислим следующие три величины. 1. Верхнюю границу вероятности 2. Верхнюю границу смещения оценки а. 3. Нижнюю границу среднего квадрата ошибки Общие выражения, которые будут выведены, справедливы для произвольного приемника в форме, представленной на рис. 7.4, при условии, что
Общие формулы для граничных выражений и конкретные результаты, полученные ниже, имеют большое значение. Верхняя граница
Колебание
где
(Напомним результат (I-2.461) и заметим изменение знака у параметра
уравнение (42) будет иметь единственное решение. Отметим, что этот результат справедлив для любого приемника со структурой фильтр — квадратор — интегратор, если на смещение наложено условие (43) (т. е. можно использовать различные Пример 2 (продолжение). Рассмотрим приемник из примера 2. Первоначально (см. (26)) предполагалось, что спектр сигнала
Тогда
С учетом (45) из (40) получим
Чтобы найти
Подстановка (48) в (47) и (41) дает:
Видим, что граница зависит от
то эта вероятность меньше чем
Рис. 7.5. Граница вероятности того, что оценка Выше мы использовали границу Чернова. При необходимости можно получить лучшее приближение к искомой вероятности, если использовать приближенную формулу
(см. задачу 5.1.13). В большинстве случаев в этом дополнительном уточнении нет необходимости. Определим теперь границу смещения оценки а. Верхняя граница смещения оценки а. Границу смещения оценку а можно вычислить методом, аналогичным используемым при выводе (41). Напомним, что
Таким образом,
Разбив область интегрирования на два интервала, имеем
Второй интеграл равен
Далее необходимо определить границу правой части (56). Найдем два граничных выражения. Первое получается довольно просто и адекватно для большинства случаев. Второе требует несколько больше вычислений, но дает более точный результат. Граница 1. Имеет вид
где
Для сигнала со спектром вида (44) выражение (58) сводится к формуле
После вывода второго граничного выражения результат (59) будет представлен графически. Заметим, что (59) можно представить графически непосредственно по рис. 7.5 путем умножения каждого значения на Граница 2 [2]. Можно получить более точную границу, если модифицировать плотность вероятности. Введем в рассмотрение плотность вероятности
Напомним выражение (I - 2.450).) С учетом (60) из (57) получим в
Ограничим теперь интеграл сверху единицей и положим в фигурных скобках
Тогда из (61) получим
Выражение в фигурных скобках максимизируется при
С учетом условия (64) из (63) получим
Теперь минимизируем эту границу как функцию переменной
Можно показать, что уравнение (66) имеет решение в разрешенной области (см. задачу 7.1.2). Итак,
Для сигнала со спектром (44) имеем
где
и
(см. задачу 7.1.3). На рис. 7.6 границы, определяемые выражениями (59) и (67), представлены графически для случая, когда
Рис. 7.6. Сравнение границ нормированного смещения Аналогичные результаты можно получить для других значений произведения Граница среднего квадрата ошибки. Средний квадрат ошибки при использовании оценки а равен
Заметим, что
Таким образом, (70) можно записать как в в
Вспомнив, что
имеем
Выражение в фигурных скобках всегда положительно. Следовательно,
где
Для определения границы ошибки
Более точную границу можно найти таким же методом, каким была получена граница (67) (см. задачу 7.1.5). Во многих случаях адекватной бывает простая граница вида (78). Например, при численных значениях, приведенных в (50) и (51),
Заметим, что необходимо также найти Мы изложили методы определения смещения и среднего квадрата ошибки усеченной оценки. Изложение было достаточно подробным ввиду важности как результатов, так и используемых методов. В большей части последующего изложения влиянием усечения будем пренебрегать и считать, что точности оценок а и Пример 2 (окончание). Если предположить, что смещением можно пренебречь, то точность оценки
Можно показать, что фактическая дисперсия стремится к указанной границе при 1. В случае малого уровня шума относительная дисперсия не зависит от плотности и формы спектра. Эта задача аналогична классической задаче оценки, рассмотренной в гл. 2 первого тома, где производится оценка дисперсии нормальной случайной величины х. Там показано, что относительная дисперсия оценки не зависит от фактической дисперсии о. 2. Напомним (см. гл. 3 первого тома), что если стационарный процесс имеет ограниченный спектр шириной
что совпадает с соответствующими результатами классической теории оценок. Пример 2 использовался нами для подробного изучения точности смещенной оценки максимального правдоподобия. Для такого подробного изучения имелось две причины. 1. Мы часто встречаемся со смещенными оценками при оценивании параметров случайных процессов. Необходимо уметь количественно оценивать влияние этого смещения. Ситуация облегчается тем, что во многих задачах этим влиянием можно пренебречь. Установленные выше границы позволяют определить, когда можно пренебречь смещением и когда его необходимо учитывать. 2. Основные аналитические методы, использованные в данном параграфе, можно применять при решении других задач оценки. Заметим, что при написании соотношения (41) была использована граница Чернова. Если вероятностью смещения пренебречь нельзя и необходимо найти более точную оценку ее истинного значения, то можно использовать приближенную формулу (52). Рассмотрим теперь другой частный случай задачи, связанной с оценкой амплитуды. Пример 3. Малое отношение сигнал/шум на входе. Другой предельный случай соответствует низкому отношению сигнал/шум на входе приемника. Он аналогичен случаю когерентности сигнала малой энергии, с которым мы встречались в задачах обнаружения (см. с. 154). Если предположить, что
то (22) можно разложить в ряд. Выполняя разложение и удерживая первый член, получим
где
Заметим, что в допущении об ограниченности спектра
Все общие рассуждения, связанные с выводом выражений для смещения и среднего квадрата ошибки, справедливы и в этом случае. При ограниченном по ширине спектре вида (44) вероятность того, что оценка
Из условия (82) следует, что
Следовательно, чтобы вероятностью (86) можно было пренебречь, произведение Граница Крамера — Рао для дисперсии любой несмещенной оценки равна
При равномерном ограниченном по ширине спектре граница (88) сводится к виду
Нетрудно видеть, что для того, чтобы эта граница была малой, произведение
Рис. 7.7. Структурная схема устройства оценки амплитуды. В двух рассмотренных выше предельных случаях — большого и малого отношения сигнал/шум, которые были изложены в примерах 2 и 3, приемник имел простую форму, показанную на рис. 7.7. В случае большого отношения сигнал/шум
В случае малого отношения сигнал/шум
Приемник со структурной схемой, представленной на рис. 7.7, в области радиоастрономии обычно называют радиометром [3]. По своей структуре он, конечно, является одним из вариантов приемника по схеме фильтр — квадратор — интегратор, о котором говорилось ранее в этой главе. Очевидным преимуществом структурной схемы рис. 7.7 является то, что такой приемник выдает оценку в результате прохождения колебания
|
1 |
Оглавление
|