10.2. Точность оптимального устройства оценки

В этом параграфе обсудим точность оценок параметров и со. Сначала рассмотрим случай, когда отношение энергии сигнала к шуму велико и ошибки малы. Этот случай носит название задачи локальной точности.

Проблема точности при радиолокационных измерениях дальности исследовалась Вудвордом [60]. Проблема точности измерения дальности и скорости изучалась Менасом [76], а также Келли, Ридом и Рутом [77].

10.2.1. Локальная точность

К проблеме локальной точности подойдем в два приема. Сначала выведем выражение для границы Крамера — Рао точности любой несмещенной оценки. Затем докажем, что при некоторых условиях ошибки при использовании оценок максимального правдоподобия приближаются к этим границам. Подробно эти условия рассматриваются в п. 10.2.2.

Вывод границы Крамера — Рао осуществляется путем непосредственного применения методов, изложенных в п. 4.2.3 и § 4.6 первого тома, где показано, что сначала выводится информационная матрица элементы которой

(см. с. 411 первого тома). В этом случае интересующие нас параметры и со являются неслучайными, так что математическое ожидание берется по или . В данном случае информационная матрица является двумерной:

Отождествим подстрочный индекс «1» с а подстрочный индекс «2» — с Согласно (6), (58) и (59) имеем

Вычислить эти три величины нетрудно. Сначала выпишем искомые соотношения, а затем займемся их выводом. Элементы информационной матрицы равны

где

Предполагается, что все величины в (67) — (69) являются конечными. Теперь выведем выражения для типичного элемента информационной матрицы, а затем вернемся к обсуждению смысла полученных результатов.

Вывод выражений для элементов матрицы У. Сначала рассмотрим элемент Согласно (6) имеем

где

Дифференцируя повторно, получаем

Аналогично

Напомним теперь, что в соответствии с (7)

Дифференцируя (75) по и используя полученные результаты в (70) и (72), находим

Корреляционная функция процесса равна

Подстановка (77) в (76) дает

(Напомним, что Упростим теперь это выражение, показав, что первое слагаемое равно а сумма второго и четвертого слагаемых равна нулю. Для этого прежде всего заметим, что

при любых значениях Другими словами, энергия от времени запаздывания не зависит. Дифференцируя обе части (79) по имеем

Повторное дифференцирование дает

Таким образом,

Следовательно, второе и четвертое слагаемые в (78) взаимно уничтожаются.

Сравнивая первое слагаемое (78) с выражением определяющим вличину , и используя теорему Парсеваля, убеждаемся, что первое слагаемое равно

Чтобы упростить третье слагаемое, используем (79), а затем заметим, что

Учитывая полученные результаты в (78), находим

что тождественно (63). Как отмечено в Приложении, несущую частоту обычно выбирают так, чтобы

Вывод выражений для элементов аналогичен (см. задачу 10.2.1).

Информационная матрица определяется соотношениями (63) — (66) в виде

Информационная матрица полезна в двух отношениях. Если обозначить ковариационную матрицу ошибок для некоторой пары несмещенных оценок через то матрица

будет неотрицательно определенной.

Поясним теперь смысл этого утверждения применительно к процедуре оценки по максимуму правдоподобия. Если совместная плотность вероятности ошибок при использовании оценок максимального правдоподобия является гауссовой, то это утверждение допускает простое истолкование. Обозначим ошибки вектором

Если вектор имеет гауссову плотность, то

Линии равных высот в этом случае являются эллипсами, описываемыми уравнением

и имеют вид, показанный на рис. 10.16. Свойство (87) означает, что если построить граничные эллипсы

то они будут полностью лежать внутри фактических эллипсов. Поскольку вероятность нахождения в области, лежащей вне эллипса, равна (см. с. 88 первого тома), фактические вероятности можно ограничить.

В общем случае ошибки не имеют гауссова распределения.

Рис. 10.16. Эллипсы ошибок.

Однако можно показать, что при определенных условиях оценки максимального правдоподобия являются несмещенными и плотность вероятности ошибок приближается к совместной гауссовой плотности. (Как и можно было ожидать, гауссово приближение оказывается наилучшим вблизи среднего значения плотности распределения.)

Информационная матрица полезна также для определения границ дисперсии индивидуальных ошибок. Дисперсия любой несмещенной ошибки ограничивается диагональными элементами матрицы Так,

Из (68) следует, что для того чтобы эти границы ошибок оценивания были несвязанными, достаточно, чтобы комплексная огибающая была действительной величиной. В этом случае

для любых несмещенных оценок с Заметим, что неравенства (94) и (95) являются границами даже при но они не столь плотны, как границы (92) и (93).

Первые сомножители в выражениях (92) — (95) являются функциями отношения средней энергии принимаемого сигнала к спекттральной плотности белого шума. Вторые сомножители учитывают влияние формы сигнала. Из (94) видно, что граница точности оценивания запаздывания определяется эффективной шириной спектра. Этот вывод вполне логичен, так как если увеличить ширину спектра сигнала, можно сформировать сигнал с меньшим временем нарастания. Из (95) следует, что граница точности оценки допплеровской частоты определяется эффективной длительностью импульса.

Учитывая определения элементов информационной матрицы (60) — (62) и определение функции неопределенности, нетрудно установить, что элементы матрицы можно выразить непосредственно через функцию неопределенности.

Свойство 2. Элементы матрицы (86) можно выразить в виде

Эти выражения непосредственно вытекают из (17), (18) и (67) — (69) (см. задачу 10.2.2).

Итак, информационную матрицу можно выразить посредством описания поведения функции неопределенности в начале координат. Свойство 2, в сущности, аналитически выражает сделанное нами интуитивное замечание по поводу желательной формы функций неопределенности (см. с. 314).

На втором, заключительном этапе обсуждения проблемы локальной точности оценок исследуем условия, при которых фактические дисперсии ошибок оценивания приближаются к границам, определяемым неравенствами (92) и (93). Чтобы пояснить необходимость такого обсуждения, напомним некоторые результаты из ранее изложенных разделов теории оценок.

При изложении классической теории оценок (см. том первый, с. 81, 82) были указаны некоторые асимптотические свойства оценок Максимального правдоподобия. Их можно сформулировать заново в контексте рассматриваемой проблемы. Предположим, что имеется независимых наблюдений цели. Иначе говоря, принимаются колебания

где определяются соотношениями (3) — (5) и являются статистически независимыми. Физически это обеспечивается тем, что импульсы излучаются в разное время (этот сдвиг по времени между импульсами функцией не учитывается). Тогда при имеем основание установить следующее.

1. Решение уравнения правдоподобия имеет вид

где

Следовательно, при оценки по максимуму правдоподобия являются состоятельными и сходятся в вероятностном смысле к истинным значениям параметров

2. Оценки по максимуму правдоподобия являются эффективными, т. е.

Аналогичное соотношение имеет место и для оценки частоты.

3. Оценки по максимуму правдоподобия являются асимптотически совместно гауссовыми и имеют ковариационную матрицу В гл. 4 первого тома (с. 317-329) было показано, что дисперсии ошибок при больших приближаются к границе Крамера — Рао. Это другой тип «асимптотического» поведения (асимптотическое приближение к границе при а не при . В рассматриваемой проблеме нам хотелось бы показать, что при использовании лишь одного импульса дисперсия ошибки стремится к границе Крамера — Рао при . К сожалению, это, по-видимому, не соответствует истине (см. задачу 10.2.3). Таким образом, оценки по максимуму правдоподобия асимптотически эффективны в классическом смысле (при а не в том смысле, в котором они рассматривались в гл. 4 первого тома (т. е. при

Следует упомянуть еще два момента, связанных с асимптотическим поведением оценок.

1. Предположим, что используется фиксированное число импульсов и пусть возрастает. Стремятся ли дисперсии ошибок к границам? Этот вопрос мы не смогли разрешить удовлетворительно.

2. Другая модель рассматриваемой задачи, которая иногда используется в радиолокации, описывается выражением

где либо известная, либо неизвестная неслучайная амплитуда. Соотношения (58) — (69), определяющие локальную точность оценок, справедливы для этой модели, если для С вместо значения (66) взять величину

В этом случае можно показать [77], что при фактические дисперсии ошибок стремятся к указанным границам.

Во всех наших рассуждениях в данном параграфе предполагалось, что ошибки малы. Следующим важным вопросом является изучение поведения ошибок, когда их нельзя считать малыми. Такую ситуацию называют задачей глобальной точности (или неопределенности).