3.6. Краткие итоги главы
В этой главе была рассмотрена общая бинарная задача. Сначала были рассмотрены задачи класса 
. В задачах этого класса один и тот же белый шумовой процесс присутствует по обеим гипотезам. Критерий отношения правдоподобия можно реализовать при помощи приемника с параллельной обработкой, который вычисляет 
Где 
определяется соотношением (25), и
где 
— наименьший средний квадрат ошибки, определенный на с. 41. Далее приемник осуществляет испытание:
Алгоритм обработки, указанный в (168), можно реализовать, используя одну из структурных схем канонических реализаций оптимального приемника, синтезированных в § 2.1. Помехоустойчивость была определена при вычислении функции 
определяемой соотношением (60):
Определения отдельных слагаемых в (171) даны на с. 89.
В общем бинарном случае испытание (решающее правило) имеет вид
где
Ядро 
удовлетворяет уравнению
Числа К — собственные значения ядра 
Если предположение о белом шуме снимается, то необходимо быть внимательным, чтобы введенная нами модель задачи не привела к вырожденному испытанию. Было показано, что необходимое и достаточное условие невырожденного испытания состоит в том, чтобы ядро 
было интегрируемой в квадрате функцией не имеющей —1 в качестве собственного значения. Качество критерия можно определить путем вычисления функции
где 
собственные значения ядра 
Помимо общей задачи, был рассмотрен ряд частных случаев. Первой была исследована бинарная симметричная задача. Наиболее важным результатом здесь является соотношение между 
для простой бинарной задачи в § 3.4:
Было также отмечено, что когда 
значение 
является удобной величиной для оценки границ вероятности ошибки 
Вторым был рассмотрен случай ненулевого среднего. Он выразился в двух новых членах вида
в выражении для критерия отношения правдоподобия. Функции 
были определены посредством соотношения
При вычислении помехоустойчивости был дополнительно введен член 
который определяется выражением (96).
Далее было отмечено, что для полосовых процессов, спектры которых симметричны относительно несущих частот, существует простая связь между реальной полосовой задачей и эквивалентной задачей с процессами нижних частот. Наконец, для бинарной симметричной полосовой задачи была выведена граница вероятности ошибок
Эта граница полезна для данной конкретной задачи. Кроме того, она обеспечивает хорошую оценку точности выведенного нами приближенного выражения. Существует большое число задач, в которых мы можем вычислить приближенное выражение, но пока не в состоянии найти граничные значения.
На протяжении гл. 2 и 3 мы встречались с линейными фильтрами, оценками случайных процессов и формулами для среднеквадратической ошибки, которые необходимо было найти, чтобы полностью определить оптимальный приемник и его помехоустойчивость. Во многих случаях в качестве примеров использовались процессы с конечными представлениями в переменных состояния, так как в этом случае легко показать процедуру отыскания необходимых величин. В следующей главе будут рассмотрены три категории задач, для которых можно получить полное решение.
3.7. Задачи
(см. скан)
