11.4. Оценка параметров: цели с допплеровским рассеянием

Модель для задачи оценки параметров является прямой модификацией модели для задачи обнаружения цели. И на этот раз принимаемое колебание имеет вид

Существует два частных случая задачи оценки параметров цели, которые мы рассмотрим. В первом случае неизвестными параметрами принимаемого полезного сигнала являются только расстояние (дальность) до цели и среднее значение допплеровского сдвига частоты то. Предполагается, что функция рассеяния процесса полностью известна, за исключением ее среднего значения. Ковариационная функция эхо-сигнала равна

где — ковариационная функция процесса за вычетом его среднего допплеровского сдвига частоты. Иначе говоря,

Наблюдаемым процессом является колебание требуется оценить параметры X и . Заметим, что интересующие нас параметры можно выделить из ковариационной функции.

Во втором случае ковариационная функция процесса зависит от некоторого параметра (скалярного или векторного), который требуется оценить. Таким образом,

Типичным представляющим для нас интерес параметром может быть амплитуда или среднеквадратическое значение допплеровского растяжения (расширения) спектра принимаемого сигнала. В этом

случае интересующие нас параметры необязательно могут быть выделены из ковариационной функции. Отметим, что первый случай охватывается вторым случаем.

Большинство необходимых результатов для обоих случаев можно получить путем соответствующего комбинирования результатов, полученных в гл. 6, 7 и 10. Для иллюстрации некоторых используемых здесь идей рассмотрим задачу, формулируемую соотношениями (166) и (167).

Предполагается, что цель точечная и находится на расстоянии которое соответствует времени Я распространения сигнала в прямом и обратном направлениях. Она движется с постоянной скоростью, соответствующей допплеровскому сдвигу частоты то [Гц]. Кроме того, она вызывает допплеровское рассеяние, характеризуемое функцией рассеяния

Комплексная огибающая принимаемого сигнала имеет вид

Для простоты предполагается бесконечно большой интервал наблюдения.

Ковариационная функция эхо-сигнала определяется выражением (166). Функция правдоподобия для этого процесса может быть представлена в форме

где определяется соотношением

(Заметим, что член, определяющий смещение, не зависит от и и поэтому он был опущен.) Чтобы построить функцию правдоподобия, необходимо решить уравнение (172) для множества значений соответствующих области на плоскости «дальность—скорость», в которой могут находиться цели. Отметим, что в отличие от случая медленно флуктуирующей цели, рассмотренного в гл. 10, здесь мы должны использовать дискретное приближение как по дальности, так и по скорости. Заметим также, что существуют и другие формы представления функции правдоподобия которые могут быть проще для вычислений, но выражение (171) более соответствует целям нашего рассмотрения.

Оценки максимального правдоподобия получают в результате отыскания такой точки плоскости на , то, в которой функция имеет максимум.

Для анализа помехоустойчивости введем функцию неопределенности допплеровского рассеяния. Как и прежде, функция неопределенности соответствует колебанию на выходе приемника, когда аддитивный шум отсутствует. В нашем случае сигнал является выборочной функцией случайного процесса, и поэтому выходное колебание изменяется при проведении каждого эксперимента. Удобной характеристикой является математическое ожидание этого выходного колебания.

Входное колебание при отсутствии шума можно представить в виде

Подставим (173) в (171) и возьмем математическое ожидание по результате получим функцию

которую назовем функцией неопределенности сигналов с допплеровским рассеянием. Отметим, что она является функцией четырех переменных: и . Эта функция дает основу для исследования проблем точности, неопределенности и разрешения в случае, когда цель вызывает допплеровское рассеяние. Проблему локальной точности можно изучать, используя границы Крамера—Рао. Элементы определяющей эту границу матрицы имеют вид

(см. задачу 11.4.7). Прочие элементы матрицы имеют аналогичную форму.

В основном тексте книги проблемы неопределенности и разрешения не рассматриваются. Некоторые свойства функции неопределенности сигналов с допплеровским рассеянием изложены в задачах. Отметим, что функцию можно записать в нескольких других формах, вычисления по которым могут быть проще.

В общем случае функцию неопределенности сигналов с допплеровским рассеянием использовать затруднительно. Если соблюдается условие КСМЭ, то

С учетом (176) из (174) получим

(Для упрощения записи мы опустили подстрочный индекс у величины Эту функцию можно свести к функции двух переменных

Некоторые свойства функции изложены в задачах.

Следует сделать еще одно, последнее замечание, относящееся к функциям неопределенности. В рамках общей задачи оценки параметра функция правдоподобия имеет вид

где функция удовлетворяет уравнению

а член соответствует смещению. Для этой задачи мы определяем обобщенную функцию неопределенности сигналов с допплеровским рассеянием как

С этой функцией мы встретимся в гл. 12 и 13.

Этим завершается наше рассмотрение задачи оценки. Оно было кратким, так как большинство основных результатов для данного случая можно получить путем модификации результатов гл. 6 и 7 по схеме, выработанной в гл. 10.