11.1. Модель цели (канала) с допплеровским рассеянием

Модель точечной цели с произвольными флуктуациями является непосредственным обобщением модели медленно флуктуирующей цели. Рассмотрим вначале эту модель в контексте активной радио- или гидролокации.

Если излученный зондирующий сигнал является синусоидальным и имеет вид

то сигнал, отраженный от цели, находящейся в точке (расстояние до которой измеряется в единицах времени распространения сигнала до цели и обратно), можно записать в виде

Член появился в этом выражении благодаря тому, что сигнал, приходящий на вход приемника в момент времени излучается передатчиком в момент времени и отражается от цели в момент времени Предполагается, что есть выборочные функции стационарных гауссовых случайных процессов нижних частот с нулевыми средними, представляет собой стационарный полосовый процесс.

Введя в рассмотрение процесс определяемый как

имеем

где — выборочная функция комплексного гауссова процесса. (Подстрочный индекс обозначает, что именно эта функция связана с эффектом Допплера.) Предполагается, что функция по сравнению с несущей частотой изменяется медленно. Так как функция имеет в любое время равномерно распределенную фазу, это предположение позволяет нам записать (4) в виде

Случайный процесс полностью определяется его комплексной ковариационной функцией

В Приложении доказано, что

В настоящем изложении предполагается, что функция известна. В § 11.4 обсуждается задача измерения параметров функции

Заметим, что если предположить, что

то рассмотренная модель превращается в медленно флуктуирующую модель, описанную в гл. 9 (см. с. 271). Для сохранения соответствия с этой моделью будем считать, что

Так как предполагается, что процесс отражения сигнала от цели стационарный, функцию можно с равным успехом описать с помощью ее энергетического спектра

Функцию будем называть функцией допплеровского рассеяния. В соответствии с мы знаем, что есть действительная функция и что спектр реального полосового сигнала равен

Рис. 11.4. Типичные энергетические спектры: а — энергетический спектр излученного сигнала; б - энергетический спектр отраженного сигнала: цель с допплеровским рассеянием и нулевой средней скоростью; в — энергетический спектр отраженного сигнала: цель с ненулевой средней скоростью и без допплеровского рассеяния; г - энергетический спектр отраженного сигнала: цель с допплеровским рассеянием и ненулевой средней скоростью.

Некоторые типичные спектры показаны на рис. 11.4. Предполагается, что зондирующий сигнал является импульсом большой длительности с прямоугольной огибающей. Он имеет узкий

энергетический спектр, как показано на рис. 11.4, а. На рис. 11.4, б представлен энергетический спектр отраженного сигнала в случае, когда цель флуктуирует и имеет нулевую среднюю скорость. На рис. 1.4, в изображен спектр, соответствующий цели, которая имеет ненулевую среднюю скорость, но не флуктуирует. Это соответствует модели цели, рассмотренной в гл. 9. На рис. 11.4, г представлен спектр сигнала, отраженного от флуктуирующей цели с ненулевой средней скоростью.

Для описания общих свойств цели введем в рассмотрение две величины. Первая называется средним допплеровским смещением (сдвигом) частоты определяется как

Далее определим величину

Вычитая из (13), получаем величину, которую называют средним квадратом допплеровского расширения (растяжения) спектра сигнала:

Легко видеть, что величины и тождественны среднему значению и дисперсии случайной величины.

До сих пор рассматривался случай синусоидального излученного сигнала. Однако, поскольку предполагается, что процесс отражения является линейным и частотно-независимым, выражение (2) характеризует поведение цели. Следовательно, если предпололожить, что излученное колебание является известным узкополосным сигналом

то принятый отраженный сигнал в отсутствие шума можно представить в виде

Его комплексная огибающая

а действительный сигнал можно записать как

Комплексная ковариационная функция сигнального процесса

или

Выражение (20) полностью определяет статистические характеристики принимаемого сигнала.

Полное принимаемое колебание представляет смесь сигнала и аддитивного шума. Таким образом,

или

где

Полная модель задачи представлена на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Модель цели с допплеровским рассеянием.

Предположим, что аддитивный шум является выборочной функцией стационарного гауссова процесса с нулевым средним, статистически независимого от процесса отражения и имеющего равномерный спектр с плотностью в полосе частот, широкой по сравнению с шириной спектра интересующих нас сигналов. Тогда

и ковариационная функция колебания

Ковариационная функция (25) полностью характеризует принятое колебание, поступающее на обработку.

Если процесс отражения имеет рациональный спектр, то его можно также представить, используя комплексные

переменные состояния. Уравнение состояние при этом имеет вид

где

Процесс представляется в виде

Это представление оказывается полезным при решении многих задач. Модель представления в переменных состояния рассматриваемой задачи для случая изображена на рис. 11.6.

Рис. 11.6. Модель цели (канала) с допплеровским рассеянием, представленная в переменных состояния.

Этим завершается формулировка модели для цели с допплеровским рассеянием, используемой в качестве основной в нашем последующем рассмотрении. Следует упомянуть, что рассмотренная модель допускает простые обобщения в следующих случаях.

1. Процесс является процессом с ненулевым средним. Этот случай соответствует флуктуирующему райсовскому каналу.

2. Процесс является нестационарным комплексным гауссовым процессом.

Оба эти обобщения рассмотрены в соответствующих задачах вне основного текста. Отметим также, что существуют цели и каналы, которые не соответствуют релеевской или райсовской модели (вспомним материал, изложенный на с. 272). Для более подробного рассмотрения этих моделей следует обратиться к работам, которые упоминались ранее.