9. ОБНАРУЖЕНИЕ МЕДЛЕННО ФЛУКТУИРУЮЩИХ ТОЧЕЧНЫХ ЦЕЛЕЙ

В этой главе решается задача обнаружения медленно флуктуирующей точечной цели при наличии аддитивного шума. Прежде всего необходимо разработать математическую модель указанной задачи для интересующих нас физических ситуаций. По ходу изложения этого вопроса дадим более четкое определение понятий «медленно флуктуирующая» и «точечная» цель. Если математическая модель будет получена, то такая задача обнаружения является прямой аналогией задачам, рассмотренным в § 4.2 и 4.3 первого тома, и ввиду этого ее можно изложить весьма кратко. Рассмотрены три случая.

1. Обнаружение на фоне белого шума.

2. Обнаружение на фоне небелого полосового шума.

3. Обнаружение на фоне полосового шума, имеющего конечное представление в переменных состояния.

Во всех перечисленных случаях используется комплексная форма записи, которая подробно объяснена в Приложении. Изложение материала главы начинается с разработки модели для процесса отражения сигнала от цели (§ 9.1). В § 9.2 излагается задача обнаружения на фоне белого шума. В § 9.3 рассматривается обнаружение на фоне небелого полосового шума. В § 9.4 результаты § 9.3 конкретизируются применительно к случаю, когда полосовой шум имеет конечное представление в переменных состояния. В § 9.5 кратко рассмотрен вопрос синтеза оптимальных сигналов.

9.1. Модель медленно флуктуирующей точечной цели

Чтобы выработать модель цели, первоначально предположим, что радио- или гидролокационный передатчик непрерывно излучает гармоническое колебание. Таким образом,

Предположим теперь, что имеется цель с нулевой скоростью, находящаяся на некотором расстоянии от передатчика. Допустим,

что в физической структуре цели содержится К отражающих поверхностей. Тогда отраженный сигнал можно записать в форме

Множитель ослабления учитывает влияние коэффициента усиления передающей антенны, затухание сигнала на трассе при распространении в прямом и обратном направлениях, эффективную отражающую площадь отражающей поверхности и апертуру (или коэффициент усиления) приемной антенны. Фазовый угол это случайная фаза, появляющаяся в процессе отражения. Постоянная время запаздывания отраженного сигнала относительно излученного, равное времени распространения сигнала до цели и обратно. Если скорость распространения сигнала равна с, то

Для последующего анализа необходимо определить характеристики отраженного сигнала (2). Если предположить, что величины статистически независимы, множители имеют одинаковые модули и К велико, то на основании центральной предельной теоремы можно получить:

где комплексная гауссова случайная величина. Ее модуль представляет собой релеевскую случайную величину, моменты которой равны

Величина учитывает коэффициенты усиления антенн, затухание на пути распространения сигнала и эффективную отражающую площадь цели. Среднее значение мощности принимаемого сигнала равно Фаза величины распределена равномерно.

На практике приближенное представление сигнала в форме (4) будет справедливым и при не очень больших значениях К. Слэк [1] и Беннетт [2] исследовали это приближение подробно. Оказывается, что уже при распределение значений модуля величины является практически релеевским, а распределение значений ее фазы — равномерным. Приближение на основе центральной предельной теоремы имеет наибольшую точность вблизи среднего значения и меньшую — на «хвосте» распределения. Но хвост распределения модуля соответствует большим уровням мощности и поэтому оказывает меньшее влияние на точность рассматриваемой модели.

В последующем предполагается, что процесс отражения является частотно-независимым. Поэтому, если передается сигнал

то принимается сигнал вида

Предполагается также, что процесс отражения является линейным. Поэтому, если передается сигнал

то принимается сигнал

Поскольку фаза величины распределена равномерно, множитель можно учесть в ее фазе. Тогда

Функция является комплексной огибающей излучаемого сигнала. Предполагается, что она нормируется согласно условию

Следовательно, энергия излучаемого сигнала равна Математическое ожидание (среднее значение) энергии принимаемого сигнала равно

Далее рассмотрим цель с постоянной радиальной скоростью Мгновенная дальность до цели при этом равна

Сигнал, отраженный от этой цели и пришедший к ириемнику локационной станции, имеет вид

где время запаздывания отраженного сигнала. Заметим, что сигнал, принимаемый в момент времени был отражен от цели

в момент времени . В тот момент времени расстояние до цели было равно

По определению

Подставляя (16) в (17) и решая относительно , получим

При скоростях цели, представляющих практический интерес,

Таким образом,

Подстановка (20) в (15) дает

(И на этот раз член с сост учтен в величине Видим, что скорость цели оказывает на сигнал двоякое влияние.

1. Сжимает или растягивает временной масштаб комплексной огибающей.

2. Сдвигает несущую частоту.

В большинстве случаев первый эффект можно не учитывать. Чтобы показать это, рассмотрим ошибку, допускаемую при графическом представлении функции функцией Максимальная разность в аргументах этих функций имеет место в момент окончания импульса (скажем, ) и равна Получающаяся при этом ошибка по амплитуде зависит от ширины спектра сигнала. Если ширина спектра сигнала равна [Гц], то за время, равное сигнал заметно измениться не может. Следовательно, если

или, что эквивалентно,

то с изменением временного масштаба в радиолокации можно не считаться. Например, если скорость цели равна то даже при неравенство (23) соблюдается и величина оказывается пренебрежимо малой.

Сдвиг несущей частоты называется допплеровским сдвигом:

Из (21) с учетом (24) и пренебрегая сжатием во времени, получим

Мы будем использовать это выражение для принимаемого сигнала на всем протяжении рассмотрения медленно флуктуирующих точечных целей. Оно было выведено здесь довольно подробно, так как важно понять предположения, сделанные при разработке математической модели.

Далее предполагается, что имеется аддитивный гауссов шум с полосовым спектром, который можно представить в форме

(Такое представление полосовых процессов описано в Приложении.) Таким образом, полное принимаемое колебание можно записать в виде

или в более компактной форме

где

До этого момента мы занимались разработкой модели сигнала, отраженного от цели, находящейся в некоторой точке плоскости «дальность—допплеровская частота». Теперь можно сформулировать рассматриваемую задачу обнаружения в явном виде. Требуется исследовать некоторые значения дальности и допплеровского сдвига частоты и решить, присутствует или нет цель в нужной точке. Это обычная бинарная задача проверки гипотез, в которой принимаемые колебания по двум соответствующим гипотезам можно записать в виде

Поскольку нас интересуют только конкретные значения для простоты алгебраических выкладок можно предположить, что они равны нулю. Модификации для ненулевых и со являются очевидными и будут указаны позднее. Положив тиив равными нулю, получим

В следующих трех параграфах используется модель задачи, описываемая соотношениями (30) и (31), и рассматриваются три случая, отмеченные на с. 267.

Прежде чем приступить к изложению этих случаев, целесообразно сделать несколько дополнительных замечаний относительно введенной модели. На протяжении всего изложения материала будет использоваться релеевская модель модуля На практике существуют модели целей, которые невозможно адекватно описать релеевской случайной величиной, и поэтому в рассмотрение были введены другие распределения. В работах Маркума [8—10] рассматриваются нефлуктуирующие цели. Сверлинг в работе [7] использует релеевскую модель и релеевское распределение вероятности исходя из предположения, что цель представляет один большой отражатель и множество малых отражателей. В частности, если ввести обозначение

то плотность распределения вероятности в соответствии с последней моделью можно записать в виде

Где определяется соотношением (6). Сверлинг [11] также использует для величины распределение

Читатели, интересующиеся более подробным рассмотрением моделей целей, могут обратиться к указанным выше источникам, а также к работам [12, 13].

Большая часть из основных результатов, полученных в рамках задач локации, применима к задаче дискретной передачи информации (цифровой связи) по медленно флуктуирующим каналам, в которых проявляются релеевские замирания. Для описания различных физических каналов можно использовать соответствующие модели замираний. Одна из них — так называемый райсовский канал [14], — была введена в первом томе . Более общая модель замираний — канал Накагами [15, 16] — описывает поведение величины распределением Накагами:

являющимся обобщением распределения хи-квадрат, охватывающим случай нецелых Различные задачи, связанные с использованием этой модели канала, рассматриваются в работах [17—22].

Перейдем теперь к рассмотрению задачи обнаружения медленно флуктуирующей точечной цели.