5.1.2. Субоптимальные приемники

На данном этапе изложения мы располагаем необходимыми методами и аппаратом для определения структурной схемы оптимального приемника, позволяющего реализовать испытания по критерию отношения правдоподобия для большого класса гауссовых

сигнальных процессов. Однако нередко фильтры, входящие в состав приемника, имеют изменяющиеся во времени параметры, и их бывает трудно реализовать. Это заставляет искать субоптимальные приемники, которые были бы проще в реализации, чем оптимальный преемник, но обладали почти такой же, как и он, помехоустойчивость. Для иллюстрации этого положения рассмотрим простой пример.

Пример. Рассмотрим простую бинарную задачу обнаружения, изложенную нас. 127. Принятые колебания по двум гипотезам записываются в виде

где — белый гауссов процесс со спектральной плотностью гауссов процесс со спектром

Нетрудно установить, что оптимальный приемник можно было бы реализовать в виде последовательно включенных фильтра с изменяющимися во времени параметрами, квадратичного устройства (квадратора) и интегратора.

Рис. 5.1. Структурная схема субоптимального приемника.

Трудность здесь заключается в реализации фильтра с изменяющимися во времени параметрами.

Структурная схема приемника, которую проще реализовать, показана на рис. 5.1. Внешне эта схема не отличается от схемы оптимального приемника, но имеющийся здесь линейный фильтр обладает постоянными параметрами:

Значение параметра выбирается так, чтобы достигнуть максимальной помехоустойчивости. Из результатов § 4.1 (с. 127) известно, что если

то субоптимальный приемник будет практически оптимальным при большом времени наблюдения. Для интервалов наблюдения произвольной длительности лучшей помехоустойчивости можно достичь при некотором другом значении Поэтому представляет практический интерес задача выбора оптимального значения дающего максимальную помехоустойчивость приема.

Считая, что приведенного выше примера достаточно для обоснования нашего интереса, рассмотрим вопрос о субоптимальных

приемниках в общей постановке. Выбор структурной схемы субоптимального приемника сильно зависит от конкретной задачи. Обычно в качестве исходной берут структурную схему оптимального приемника, варьируют ее в некоторых пределах и исследуют помехоустойчивость различных модификаций. Здесь будут рассмотрены некоторые вопросы помехоустойчивости субоптимальных приемников.

Для того, чтобы мотивировать дальнейшее изложение, напомним сначала основные результаты по анализу помехоустойчивости оптимального приемника. Оптимальный приемник вычисляет I — логарифм отношения правдоподобия, и сравнивает его с порогом у. Вероятности ошибок при этом равны

Весь анализ помехоустойчивости в задаче с гауссовым сигналом был основан на вычислении логарифма производящей функции моментов логарифма отношения правдоподобия I при условии, что истинна гипотеза т. е. на вычислении

Поскольку является логарифмом отношения правдоподобия, можно также выразить через

(см. с. 126, 127 первого тома). Таким образом, можно выразить через

Субоптимальный приемник вычисляет статистику испытания и сравнивает ее с порогом для вынесения решения. Статистика не эквивалентна I и обычно используется потому, что ее легче вычислять. Для субоптимальных приемников плотности вероятностей 4 по гипотезам связаны между собой неоднозначно, и поэтому уже нельзя выразить через единственную функцию. Это вынуждает нас ввести в рассмотрение две функции, аналогичные и делает расчеты помехоустойчивости более сложными.

При анализе субоптимального приемника ход наших рассуждений аналогичен изложенному в § 2.7 первого тома и в § 2.2 третьего тома. Так как весь вывод не вызывает затруднений, мы просто сформулируем окончательные результаты. Введем в рассмотрение функцию определяемую как

и функцию определяемую как

Выражения для границы Чернова по обеим гипотезам имеют вид

где

Рис. 5.2. Общая структура приемника по схеме фильтр — квадратор — интегратор (ФКИ).

Уравнения (48) и (49) будут иметь единственное решение, если

Асимптотические приближения первого порядка имеют вид

где удовлетворяют уравнениям (48) и (49).

Соотношения применимы к произвольной задаче обнаружения. Для применения их к общей гауссовой задаче необходимо уметь эффективно вычислять Какой метод вычисления является наилучшим — зависит от структуры субоптимального приемника. Продемонстрируем это на примере приемника с общей структурной схемой в виде фильтра-квадратора-интегратора (ФКИ), показанной на рис. 5.2. Фильтр может иметь изменяющиеся во времени параметры. Для этой структурной схемы по-прежнему справедливы методы, изложенные в § 2.2 (с. 53-63). Проиллюстрируем процедуру отысканием выражения для

Вычисление для ФКИ-приемника. Для отыскания разложим процесс на входе квадратора по гипотезе ряд Карунена — Лоэва. В результате получим:

где собственные функции процесса по гипотезе Соответствующие собственные значения — Предполагается, что собственные значения упорядочены по величине так, что является наибольшим. На основании (45) имеем

Входящее в (54) математическое ожидание является частным случаем задачи 4.4.2 из первого тома. Сумму в (54) можно записать как определитель Фредгольма:

Аналогичное соотношение получается для

Теперь выражены через определители Фредгольма. Остается только найти эти функции.

Функцию можно вычислить в следующих трех случаях:

1. Стационарные процессы, большое время наблюдения.

2. Процессы с разложимыми ядрами.

3. Процессы, представляемые в переменных состояния. Процедуры вычисления для первых двух случаев ясны. В третьемдля вычисления можно использовать алгоритмы, изложенные в п. 2.2.1 или 2.2.3. Важным моментом, о котором необходимо помнить, является то, что уравнение состояния, которое мы используем для вычисления соответствует системе, создающей под воздействием белого шума. Аналогично уравнение состояния, которое мы используем для вычисления соответствует системе, создающей при возбуждении белым шумом.

В этом подпараграфе были выведены формулы помехоустойчивости, необходимые для анализа субоптимальных приемников. Так как эти результаты являются прямыми модификациями результатов, полученным ранее, изложение данного вопроса было кратким.

Анализ, основанный на этих результатах, имеет большое значение при реализации практических структурных схем приемников. Ряд интересных примеров изложен в задачах вне основного текста. В гл. 11 мы вновь обратимся к субоптимальным приемникам и обсудим их более подробно.