10.4.2. АИМ последовательности с постоянной мощностью

В этом параграфе рассмотрим частный случай (145), когда сигнал можно записать в виде

где

Чтобы показать преимущества сигналов этого класса и целесообразность их использования, напомним свойства, которыми должна обладать «идеальная» функция неопределенности:

1. Центральный пик должен быть узким в вертикальном сечении по оси Минимальная ширина центрального пика определяется шириной спектра сигнала. В данном случае ширина спектра сигнала есть величина, обратная длительности элементарного импульса Вне области центрального пика функция неопределенности должна быть достаточно плоской. На основании свойства 12 имеем

Таким образом, желателен сигнал, корреляционная функция которого ведет себя, как показано на рис. 10.22.

2. Центральный пик должен быть узким в вертикальном сечении по оси о. На основании свойства 12 имеем

Сделав огибающую постоянной на протяжении всей сигнальной последовательности, тем самым сделаем функцию узкой по оси . Этим предопределяется выбор

Тогда

и в сечении по оси ширина функции

3. Функция неопределенности должна быть достаточно плоской (равномерной) вне области центрального пика. Это требование трудно перевести на язык требований, предъявляемых к сигналу. Поэтому обычно сигналы синтезируют согласно первым двум требованиям и проверяют их поведение на плоскости чтобы убедиться, удовлетворяет ли оно третьему требованию.

Рис. 10.22. Желательная корреляционная функция сигнала.

4. Из свойства инвариантности (постоянства) объема тела неопределенности следует, что если функция неопределенности приближенно равномерна при удалении от начала координат, то ее высота должна быть такой, чтобы полный объем ее тела неопределенности равнялся единице. Чтобы вычислить эту высоту, заметим, что общая длина функции неопределенности равна если длительность комплексной огибающей равна (напомним, что Функция неопределенности при конечной длительности сигнала не имеет конечной ширины в сечении по оси Однако можно считать, что эта ширина приближенно равна , где эффективная ширина спектра сигнала. (В данном случае При указанных приближениях желательная функция неопределенности приобретает вид, показанный на рис. 10.23. Объем ее центрального пика можно считать приближенно равным Поэтому высота плоской области должна удовлетворять уравнению

или

При больших значениях произведения имеем

Эта формула дает общее представление о характере поведения функции неопределенности, к которому можно приблизиться. Из принципа неопределенности в радиолокации известно, что это самая малая высота плоской области, которую только можно получить. Дальнейшее понижение некоторых участков поверхности вызвало бы появление пиков на других участках.

Взяв за основу эти четыре замечания, попытаемся теперь найти сигнал, который имел бы функцию неопределенности, изображенную на рис. 10.23.

Рис. 10.23. Желательная функция неопределенности сигнала.

При отсутствии какой-либо очевидной процедуры синтеза логичным является интуитивный подход на основе опыта, приобретенного нами в процессе разбора нескольких примеров и обсуждения ряда выведенных свойств.

Коды Баркера. Как первое приближение плодотворен простой метод, который сводится к ограничению каким-либо малым числом и исследованию всех возможных последовательностей элементов Например, если то имеется размещений. Последовательность можно условно записать, указав амплитуды импульсов. Так

означает

Корреляционную функцию для такого сигнала вычислить несложно. Поскольку дело сводится к последовательному сдвигу прямоугольных импульсов, достаточно вычислить значения

и соединить их на графике прямыми линиями. Получающаяся в результате корреляционная функция показана на рис. 10.24.

Нетрудно заметить, что эта корреляционная функция обладает тем свойством, что

Заметим, что дополнение рассматриваемой последовательности обращенная последовательность и дополнение обращенной последовательности также обладают этим свойством. Баркер [17] нашел последовательности, которые удовлетворяют условию (159) при различных значениях 13. Эти последовательности, получившие название кодов Баркера, сведены в табл. 10.1. К сожалению, не найдено кодов Баркера длиной более 13 элементов.

Рис. 10.24. Корреляционная функция трехэлементного кода Баркера.

Можно доказать, что не существует нечетных (с нечетным числом, элементов) последовательностей длиной более 13 элементов, а четных последовательностей со значением в пределах от 4 до 6084 не было найдено [18].

Таблица 10.1 Последовательности кодов Баркера

Модуль частотно-временной корреляционной функции для кода Баркера длиной 13 элементов представлен графически на рис. 10.25. Видно, что имеются два гребня с высотой, которую нельзя считать пренебрежимо малой.

Последовательности на выходе сдвигающего регистра. Другой подход к синтезу сигналов следует из примера, который обычно встречается в учебных пособиях по курсу случайных процессов. Рассмотрим опыт с подбрасыванием монеты. Если исходом является «герб», то полагают Если исходом является «решетка», то полагают

Рис. 10.25. Модуль частотно-временной корреляционной функции кода Баркера длиной 13 элементов [10].

Значение определяется испытанием Результат эксперимента описывается выборочной функцией - известным процессом Бернулли. При

Это свойство позволяет ожидать, что при больших значениях рассматриваемый сигнал будет иметь удовлетворительную корреляционную функцию. Одним из возможных недостатков описанной процедуры является необходимость в запоминающем устройстве. Из материала § 10.1 известно, что для построения согласованного фильтра в приемнике необходимо располагать копией сигнала. Так, если то потребуется запоминать последовательность 1000 отсчетов уровней.

Положение облегчается тем, что существует класс детерминированных последовательностей, которые обладают многими из характеристик, свойственных последовательностям Бернулли, и для формирования которых имеются простые способы и устройства. Устройство, используемое для формирования такой последовательности, называется сдвигающим регистром с обратной связью. Структурная схема типичного трехразрядного сдвигающего регистра показана на рис. 10.26. В каждой его ячейке запоминается двоичная цифра соответствующего разряда двоичного числа. Через каждые T

секунд регистр возбуждается тактовым импульсом, после чего в нем осуществляются две операции:

1. Содержимое регистра — двоичная последовательность — сдвигается на одну ячейку вправо; цифра разряда, находившаяся в последней ячейке, поступает на выход регистра.

2. Выходы различных ячеек объединяются путем сложения по модулю 2. Результат сложения по модулю 2 подается в первую ячейку и образует ее новое содержимое. В данной схеме входной разряд образуется в результате сложения разрядов, содержавшихся во второй и третьей ячейках.

Рис. 10.26. Структурная схема сдвигающего регистра с обратной связью.

Поскольку все указанные операции являются линейными, такое устройство называется линейным сдвигающим регистром.

Последовательность работы этого регистра иллюстрируется табл. 10.2. Нетрудно заметить, что после седьмого тактового импульса содержимое ячеек регистра будет тождественно исходному содержимому. Поскольку выходная последовательность полностью определяется содержимым ячеек, она будет повторяться. Период этой последовательности равен

Таблица 10.2 Последовательности на выходе линейного сдвигающего регистра

Ясно, что в данном случае нельзя получить последовательность с более длинным периодом, так как существует только возможных состояний и необходимо исключить состояние 000. Если сдвигающий регистр находится в состоянии то он продолжает генерировать нули. Заметим, что для того чтобы получить период

длиной 7 элементов, была выбрана конкретная схема соединения отводов обратной связи. При других схемах соединения отводов обратной связи период может получиться короче.

Чтобы получить требуемый сигнал, необходимо осуществить отображение

Если предположить, что периодическая последовательность имеет бесконечную длину, то корреляционную функцию вычислить нетрудно. Для удобства проведем нормировку к единице энергии сигнала, приходящейся на период последовательности, а не к полной его энергии.

Рис. 10.27. Корреляционная функция периодической псевдослучайной последовательности.

Корреляционная функция получающегося сигнала показана на рис. 10.27. Видим, что

Все изложенное относилось к трехразрядному сдвигающему регистру, структурная схема которого представлена на рис. 10.26. Вобщем случае имеется -разрядный регистр. Поскольку в нем существует всего состояний, невозможно сформировать последовательность, период которой больше, чем Однако совсем неочевидно, что существует схема соединения отводов обратной связи, позволяющая формировать последовательность такого периода. Чтобы доказать существование подобной последовательности и найти соответствующую схему соединения отводов, необходимо располагать исходными математическими сведениями, которые мы не излагали. Свойства последовательностей на выходе сдвигающего регистра широко исследовались Голомбом [20], Хаффменом [21],

Цирлером [22], Питерсоном [23] и Эльспасом [24]. Отдельные вопросы теории таких последовательностей методически хорошо изложены в работах [25—27]. Из результатов указанных исследований для нас представляет интерес теорема о том, что при любых существует, по крайней мере, одна схема соединения отводов, такая, что выходная последовательность регистра будет иметь период

Такие последовательности получили название последовательностей максимального периода на выходе сдвигающего регистра. Заметим, что период последовательности является показательной функцией числа разрядов регистра. Каталог схем соединения отводов для приведен Питерсоном в работе [23]. Частичный каталог для приведен в задачах 10.4.5 и 10.4.6. Эти последовательности называются также псевдослучайными последовательностями. Название «случайные» происходит от того, что они обладают многими характеристиками последовательности Бернулли, в частности следующими:

1. В последовательности Бернулли числа единиц и нулей приближенно равны. В псевдослучайной последовательности число единиц в периоде на один элемент больше, чем число нулей в периоде.

2. Прогоном длиной называется отрезок последовательности с подряд идущими элементами одного типа (одной полярности). В последовательности Бернулли примерно половина прогонов длиной в один элемент, одна четверть — длиной в два, одна восьмая — длиной в три элемента и т. д. Псевдослучайные последовательности имеют такое же распределение прогонов.

3. Автокорреляционные функции псевдослучайной последовательности и последовательности Бернулли одинаковы.

Название «псевдо» объясняется тем, что эти последовательности являются полностью детерминированными.

Корреляционная функция, представленная на рис. 10.27, построена в предположении, что последовательность является периодической. Это предположение справедливо в отношении РЛС непрерывного излучения. Применение последовательностей такого типа рассмотрено в работах [28, 29]. Непрерывные псевдослучайные последовательности также широко используются в цифровой связи.

Во многих радиолокационных системах излучаемые сигналы содержат лишь один период такой последовательности. Поскольку указанные выше свойства установлены в предположении периодического сигнала, необходимо определить характеристики усеченной последовательности. При малых значениях корреляционную функцию можно вычислить непосредственно (см., например, задачу 10.4.3). Можно показать, что при больших значениях уровни

боковых лепестков корреляционной функции в сечении по оси стремятся к Частотно-временную корреляционную функцию можно получить экспериментально. График этой функции для представлен на рис. 10.28.

Во многих случаях практического применения детальная структура функции не имеет существенного значения. Поэтому

Рис. 10.28. Модуль частотно-временной корреляционной функции псевдослучайной последовательности длиной [35].

Рис. 10.29. Приближение к функции неопределенности псевдослучайной последовательности.

в большей части дальнейшего изложения будем пользоваться приближенной функцией, показанной на рис. 10.29. Эта функция обладает характеристиками, которые были сформулированы как желательные на с. 347. Таким образом, последовательности на выходе сдвигающего регистра обеспечивают хорошее решение одновременно двух задач — неопределенности и точности радиолокационной системы

Прежде чем закончить рассмотрение кодированных импульсных последовательностей, следует отметить, что существует несколько других методов, которые нами не обсуждались. Интересующиеся читатели могут обратиться к учебным пособиям [14, гл. 8] и [30] или к оригинальным статьям [31—34].

Следует подчеркнуть, что импульсные последовательности часто используются на практике, так как их относительно легко генерировать, оптимальный приемник для них сравнительно просто реализуется и они обеспечивают большую гибкость. Специалистам в области синтеза радиолокационных сигналов следует уделить изучению этих сигналов гораздо больше времени, чем это позволяет данное краткое общее изложение.

До сих пор предполагалось, что имеется лишь одна цель. Во многих случаях наблюдению нужной цели мешают дополнительные цели. Эту задачу обычно называют задачей разрешения целей. Мы рассмотрим ее в следующем параграфе.