3.2. Структурные схемы оптимального приемника

В этом параграфе выводится критерий отношения правдоподобия для задач класса и синтезируется несколько структурных схем приемника. Обратившись к рис. 3.1, видим, что принадлежность к классу означает, что один и тот же белый шумовой процесс присутствует по обеим гипотезам. Таким образом,

Кроме того, предполагается, что гауссовы процессы с нулевыми средними и конечными среднеквадратическими значениями. Они статистически независимы от и имеют непрерывные ковариационные функции и соответственно. Спектральная плотность гауссова белого шума равна Следовательно, ковариационные функции процесса по двум гипотезам равны

Рис. 3.2. Выбеливающий фильтр.

Выведем теперь критерий отношения правдоподобия методом выбеливания.

3.2.1. Метод выбеливания

Основная идея этого вывода проста: производим выбеливание процесса по одной гипотезе, а затем оперируем с выбеленным процессом, используя метод, который был описан в гл. 2. Известно (см. с. 331 первого тома), если выбеливающий фильтр является обратимым, то результирующая система будет оптимальной. (Заметим, что речь сейчас идет не о реализуемости).

Выбеливающий фильтр показан на рис. 3.2. Его импульсная переходная функция выбирается такой, чтобы процесс был белым по гипотезе и имел единичную спектральную плотность. Таким образом,

В первом томе на с. 332—340 были рассмотрены вопросы построения выбеливающего фильтра. Из этого рассмотрения известно, что всегда можно найти такой фильтр, чтобы условие (13) соблюдалось.

Так как

условие (13) означает, что

Ковариационная функция процесса по гипотезе равна

Разложим теперь процесс используя собственные функции ядра которые определяются уравнением

Рассуждая так же, как в § 2.1, установим, что

(Следует помнить, что выбеленный шум по гипотезе имеет единичную спектральную плотность.) Как и прежде, введем в рассмотре ние обратное ядро определив его следующим образом:

Тогда можно записать

Несложно убедиться, что ядро в (20а) всегда интегрируемо в квад рате (см. задачу 3.2.11).

С учетом (14) величину можно выразить через

Теперь небходимо исследовать выражение, заключенное в фигурных скобках. Слагаемое, обусловленное импульсной функцией, есть просто обратное ядро ковариационной функции (см. (I-4.152)). Покажем теперь, что другое слагаемое равно т. е. что

Это выражение очевидно из соотношения между полученного из (16). В его справедливости можно убедиться посредством нескольких простых преобразований. (Умножим обе части (16) на

Проинтегрируем левую часть по в порядке перечисления переменных. Проинтегрируем правую часть по в порядке перечисления указанных переменных. При каждом интегрировании выражения упрощаем, используя известные соотношения.) Функцию правдоподобия в (19) можно записать в форме

Легко показать, что импульсные функции в обратных ядрах взаимно уничтожаются и ядро является интегрируемой в квадрате функцией. Поэтому (22) формально можно записать как разность двух квадратичных форм:

Нетрудно заметить сходство между (23) и выражением для отношения правдоподобия для конечномерной общей гауссовой задачи в (I — 2.327). Это сходство позволяет догадаться о форме критерия при ненулевых средних и форме членов смещения (порога). Полезны также несколько эквивалентных форм для (22).

3.2.2. Различные реализации испытания отношения правдоподобия

Чтобы получить первую эквивалентную форму, запишем и через дельта-функцию и функцию с хорошей асимптотикой:

где удовлетворяет уравнению

Используя (24) в (22), получим

где

Нетрудно удостовериться (см. задачу 3.2.1), что член смещения можно записать как

где (по аналогии с

Полный критерий отношения правдоподобия записывается в виде

Видим, что приемник можно реализовать как два простых параллельных бинарных приемника при дифференциальной схеме включения их выходов (так, что на общем выходе получается разность). Следовательно, в каждой ветви можно использовать любую из четырех

каионических реализаций, рассмотренных в § 2.1 (рис. 2.2-2.7). Типичная структурная схема приемника, в которой используется реализация № 1, показана на рис. 3.3. Такая параллельная схема обработки часто применяется на практике.

Полезна также другая эквивалентная форма для (22). Введем в рассмотрение функцию, определяемую в виде

Тогда

Рис. 3.3. Реализация оптимального приемника для общей бинарной задачи (класс по схеме параллельной обработки.

Чтобы исключить обратные ядра в (31), умножим обе части на две ковариационные функции и проинтегрируем их. В результате получим интегральное уравнение, определяющее функцию

Эта форма приемника представляет интерес, так как уровень белого шума здесь не фигурирует в явном виде. Позднее будет показано, что (32) и (33) определяют приемник для задач класса Этот приемник показан на рис. 3.4.

Две другие формы приемника полезны для задач класса . В этом случае принятое колебание содержит один и тот же шумовой

процесс по обеим гипотезам и дополнительный сигнальный процесс по гипотезе Таким образом,

где статистически независимые гауссовы случайные процессы с нулевыми средними и ковариационными функциями соответственно. По гипотезе имеем

Для данного конкретного случая первая форма является альтернативной реализацией, которая соответствует оценивателю-коррелятору, показанному на рис. 2.3.

Рис. 3.4. Структурная схема оптимального приемника для задачи класса

Введем в рассмотрение новую функцию определяемую выражением

С учетом (36) и определения функции через уравнение (33) имеем

Это уравнение знакомо нам из гл. 6 первого тома как уравнение, определяющее оптимальный линейный фильтр для оценки по наблюдению процесса в предположении, что истинна гипотеза Поэтому

Определим теперь в неявном виде функцию

В эквивалентной форме

Рис. 3.5. Реализация оптимального приемника для задач класса в форме оценивателя-коррелятора.

Функция этого типа знакома нам из гл. 5 первого тома (см. Тогда, с учетом (36) и (40), имеем

Результирующая структурная схема приемника показана на рис. 3.5. Нетрудно заметить, что она совпадает со структурой оптимального приемника для известных сигналов на фоне небелого шума (см. рис. 4.38 первого тома), за исключением того, что оценка по минимуму среднеквадратической ошибки заменила собой известный сигнал в операции вычисления корреляционной функции. Эта структурная схема аналогична оценивателю-коррелятору, изображенному на рис. 2.3.

Второй представляющей интерес формой приемника для класса является реализация в форме фильтра-квадратора. Для этого класса существует функциональный квадратный корень

Существование корня можно показать посредством проверки того, что одним из решений (42) является

поскольку обе функции подынтегрального выражения существуют (см. задачу 3.2.10). Эта реализация в форме фильтра-квадратора показана на рис. 3.6.

Рис. 3.6. Реализация оптимального приемника для задач класса в форме фильтра-квадратора.

Для задач класса функциональный квадратный корень функции может не существовать и поэтому реализация в форме фильтра-квадратора не всегда возможна (см. задачу 3.2.10).

3.2.3. Краткие итоги § 3.2

В этом параграфе было выведено отношение правдоподобия (23) для задачи класса Затем рассмотрены различные структурные схемы приемника. Параллельная схема обработки — одна из наиболее употребительных. В каждом ее тракте можно использовать любую из канонических структурных схем приемника, разработанных для простой бинарной задачи. Для задач класса часто применяется реализация в форме фильтра-квадратора, показанная на рис. 3.6.

Следующая интересующая нас задача—исследование помехоустойчивости приемника.