11.3. Передача информации по каналам с допплеровским рассеянием

Рассмотрим задачу цифровой связи по каналу с допплеровским рассеянием. В первых трех пунктах рассматриваются бинарные системы. В п. 11.3.1 произведен синтез оптимального приемника для бинарной системы связи и определена его помехоустойчивость. В п. 11.3.2 выведено выражение для границы помехоустойчивости любой бинарной системы. Субоптимальные приемники рассмотрены в п. 11.3.3. В п. 11.3.4 исследованы многоальтернативные системы и, наконец, в п. 11.3.5 подведены итоги и дана сводка основных результатов.

11.3.1. Бинарные системы связи: оптимальный приемник и его помехоустойчивость

Рассмотрим бинарную систему связи, в которой сигналы, передаваемые в соответствии с двумя гипотезами, суть

Предполагается, что разность достаточно велика, так что сигнальные процессы на выходе системы имеют спектры, лежащие в неперекрывающихся полосах частот. Принимаемые сигналы можно записать в виде

Обе гипотезы равновероятны, а критерием оптимальности решения является минимальная суммарная вероятность ошибки. Оптимальный приемник состоит из двух параллельных трактов со средними частотами и Первый тракт формирует величину

где комплексные огибающие приведены к частоте Второй тракт вычисляет

где комплексные огибающие приведены к частоте . В обоих случаях функция определяется уравнением

где

Принятие гипотезы или осуществляется на основе следующего испытания:

Структурная схема приемника представлена на рис. 11.12. Заметим, что каждый тракт этого приемника есть не что иное, как простой бинарный приемник, структурная схема которого изображена на рис. 11.7. Такая простая структура получается вследствие того, что сигнальные процессы по обеим гипотезам имеют неперекрывающиеся спектры.

Другая структура получается в результате разложения функции на множители в соответствии с (36). Она показана на на рис. 11.13.

Рис. 11.12. Структурная схема оптимального приемника для бинарной системы связи с ЧМ, работающей по каналу с допплеровским рассеянием (каноническая реализация № 1).

Ввиду того, что в данном случае мы имеем дело с бинарной симметричной задачей, для оценки помехоустойчивости можно использовать границы суммарной вероятности ошибки, определяемые соотношением (3.111):

где

Здесь — собственные значения сигнального процесса ковариационная функция которого определяется выражением (73). Напомним, что функция может быть представлена и в других формах (см., например, (54) и (55)).

В связи с бинарной задачей передачи информации возникают три представляющих интерес вопроса:

1. Какова помехоустойчивость оптимальной системы, когда сигнал ковариационная функция канала и уровень шума фиксированы?

2. Если используется субоптимальный приемник, то в каком соотношении находится его помехоустойчивость с помехоустойчивостью оптимального приемника при заданных

Рис. 11.13. Структурная схема оптимального приемника бинарной системы связи по каналу с допплеровским рассеянием (реализация по схеме фильтр — квадратор — интегратор).

3. Если ковариационная функция канала Ко (0, уровень шума и энергия передаваемого сигнала фиксированы, то как следует выбрать чтобы минимизировать вероятность ошибки?

На первый вопрос можно дать ответ, вычисляя и используя (75). Конкретные методы решения задач такого типа были изложены на с. 53—63. На второй вопрос можно ответить, используя методы, рассмотренные в п. 5.1.2, и он будет рассмотрен в п. 11.3.3. Рассмотрим теперь третий вопрос.

11.3.2. Границы помехоустойчивости для оптимизированных бинарных систем

Предположим, что ковариационная функция канала -уровень шума и энергия передаваемого (излученного) сигнала фиксированы. Необходимо выбрать такую функцию при которой вероятность ошибки была бы минимальной. На практике бывает гораздо проще минимизировать а тем самым — экспоненциальный член в выражении для границы

помехоустойчивости (75). При этом процедура выбора разбивается на два этапа.

1. Сначала рассмотрим ковариационную функцию сигнального процесса и соответствующие ей собственные значения Найдем ряд собственных значений при которых минимально. На этом этапе мы не интересуемся, существует ли класс излучаемых сигналов, который мог бы дать оптимальный набор собственных значений Результатом этого этапа является выражение для границы помехоустойчивости любой бинарной системы.

2. Затем обсудим вопрос о том, как выбрать чтобы получить помехоустойчивость, близкую к границе, установленной на первом этапе.

Прежде всего заметим, что из ограничения, налагаемого на энергию излучаемого сигнала, следует ограничение на ожидаемое значение энергии сигнала на выходе канала. В соответствии с (73) математическое ожидание полной энергии принятого сигнала равно

(Напомним, что

Заметим, что это ограничение не зависит от формы сигнала. Через собственные значения выходного процесса его можно записать в виде

Выберем теперь с учетом условия (79) так, чтобы минимизировать функцию Заметим, что совсем неочевидно, что мы можем найти сигнал . который бы дал требуемый набор

Сначала определим нормированные собственные значения

Перепишем (77) в виде

где

Выражение, заключенное в фигурные скобки в соотношении (81), называется коэффициентом эффективности. (Напомним изложенное на с. 142.)

Рис. 11.14. График зависимости от [3].

Функция представлена графически на рис. 11.14, откуда видно, что она является положительной функцией, единственный максимум которой имеет место при значениии являющемся решением уравнения

Решением этого уравнения является Для всех положительных у имеем

Соотношения (84) и (85) можно использовать для отыскания границы Из (81) находим

С учетом (79) и (80) соотношение (86) приводим к виду

Итак, мы имеем границу, указывающую предельное отрицательное значение функции Этого значения можно достичь, положив

где

Этот результат означает, что первые нормированных собственных значений следует выбрать равными а остальные положить равными нулю. Используя (88) в (82), а результат — в (87), получаем

Подстановка (90) в (75) дает верхнюю границу вероятности ошибки в виде

С аналогичным результатом мы встречались в примерах, которые рассматривались ранее. В частности, в п. 4.2.3 была рассмотрена система связи с частотным разнесением, в которой требовалось, чтобы энергии принимаемых сигналов во всех каналах были одинаковыми, и было установлено, что функцию можно минимизировать, разделив энергию, которой мы располагаем, поровну между всеми каналами так, чтобы (см. (4.166))

В п. 4.2.3 мы достигли оптимальной помехоустойчивости при использовании системы с явно выраженным разнесением. В рассматриваемом здесь случае имеется лишь один канал и для достижения максимальной помехоустойчивости необходимо излучать такой сигнал, при котором ковариационная функция сигнала на входе приемника

имела бы одинаковых собственных значений. Этот случай можно представлять себе как систему с неявным разнесением.

Формула (91) выражает очень важный результат, так как она дает нам границу помехоустойчивости, которая не зависит от

формы функций допплеровского рассеяния, а следовательно, и определенный эталон, с которым можно сравнивать любую конкретную систему передачи информации. Необходимо еще раз подчеркнуть, что нет гарантии того, что этой границы можно достичь при любой функции рассеяния канала.

Далее нам следует рассмотреть конкретные функции допплеровского рассеяния и ответить на вопрос, можно ли построить сигнал, который позволяет достичь границы (90) со знаком равенства. Но сначала вернемся к примерам, которые были разобраны в п. 4.1.2.

Пример 1. Этот пример тождествен примеру 4, приведенному на с. 140. Функция допплеровского рассеивания канала имеет вид

Передаваемый (излученный) сигнал имеет прямоугольную огибающую

Предполагается, что произведение достаточно велико и можно использовать формулы для случая СПБВН. Ограничим и выберем с целью минимизации Из (4.76) оптимальное значение обозначаемое через определяется соотношением

Тогда

и указанная выше граница достигается со знаком равенства. Результат (96) предполагает соблюдение условия СПБВН. Если потребовать, чтобы

для обеспечения справедливости предположения о соблюдении условия СПБВН, то согласно (96) получим

Если условие (99) соблюдается, то оптимальной бинарной системой для канала, функция рассеяния которого определяется соотношением (94), является система, излучающая импульс прямоугольной формы длительностью (Заметим, что условие (99) является весьма жестким.)

Пример 2. Этот пример тождественен примеру 3, приведенному на с. 134. Функция рассеяния канала имеет вид

а передаваемый сигнал определяется соотношением (95). Выше для вычисления мы использовали предположение о справедливости условия СПБВН. В этом примере используем комплексные переменные состояния.

Рис. 11.15. Зависимости функции и произведения от отношения (замирания первого порядка, импульс прямоугольной формы [4]).

Уравнения состояния канала имеют вид

Вычислим используя (48а), (486), (54) и (76), а затем полученное выражение минимизируем по Результат представлен графически на рис. 11.15. Видим, что если мало, то можно передавать импульс очень малой длительности, такой что

Кратковременный импульс обусловливает существование единственного собственного значения на выходе канала, так как в этом случае на интервале, равном длительности импульса, параметры

канала можно считать постоянными. (Модель такой системы описана в гл. 9.) Когда

выполняется условие (89) и достигается граница (90). До тех пор, пока

единственное собственное значение все еще остается оптимальным, но система достигает границы (90) только тогда, когда соблюдается условие (106). По мере дальнейшего увеличения отношения оптимальное значение возрастает. При

результаты совпадают с результатами для случая СПБВН в примере 3 на с. 134:

Соотношение (110) показывает, что импульс прямоугольной формы не может обеспечить распределение собственных значений, необходимое для достижения верхней границы (90) помехоустойчивости.

В следующем примере рассмотрим более сложный сигнал, поставив целью достигнуть границы (90) для канала, функция рассеяния которого определяется соотношением (100).

Пример 3. Функция рассеяния канала определяется соотношением (100). Для обоснования выбора сигнала напомним, что кратковременный импульс дает единственное собственное значение. Излучая последовательность импульсов, отстоящих друг от друга на интервалы времени, много большие времени корреляции канала, можно получить требуемое число одинаковых собственных значений сигнала на его выходе.

Такой сигнал представлен на рис. 11.16. Это последовательность импульсов прямоугольной формы с длительностью и периодом Число импульсов

Амплитуда каждого импульса выбирается такой, чтобы средняя энергия принимаемого сигнала в расчете на импульс была равной

Огибающую сигнала можно записать в виде

где

с — нормирующий коэффициент, приводящий сигнал к единичной энергии. Ковариационная функция сигнального процесса на выходе канала равна

Рис. 11.16. Огибающая излучаемого сигнала (пример 3).

Мы можем вычислить помехоустойчивость при любых заданных Оптимальный случай получается как предельный, если положить

При этом ковариационная функция становится разложимой функцией:

и в результате мы имеем одинаковых собственных значений, абсолютные значения которых удовлетворяют условию (88). Следовательно, в данном случае помехоустойчивость определяется верхней границей (90).

Предельный случай практически не реализуем, но часто можно получить хорошее приближение к нему. Для этого необходимо, чтобы длительность импульса была значительно меньше времени корреляции процесса Тогда амплитуда каждого эхо-импульса будет приближенно постоянной. Необходимо также, чтобы период следования импульсов был значительно больше времени корреляции процесса с тем, чтобы амплитуды различных импульсов были статистически независимыми. В результате получим приближение к системе с оптимальным разнесением. Отметим, что оптимальный приемник в данном случае сводится к двум параллельным трактам, аналогичным представленному на рис. 4.16.

Укажем ограничения, которые могут сделать невозможным использование приведенного решения.

1. Если имеется ограничение пиковой мощности, то может оказаться невозможным обеспечение достаточной мощности каждого импульса.

2. Если имеется ограничение полосы частот, то может оказаться невозможным сделать достаточно малым, чтобы обеспечить постоянство амплитуды в пределах каждого эхо-импульса.

3. Если имеется ограничение по периоду передачи, то может оказаться невозможным сделать достаточно большим, чтобы получить статистически независимые амплитуды импульсов.

Исследование этих вопросов вынесено в задачи 11.3.6 и 11.3.7.

Прежде чем закончить рассмотрение данного примера, следует отметить, что цифровая система связи, в которой используется сигнал, представленный на рис. 11.16, по-видимому, может работать в режиме многоканальной передачи с временным разделением каналов (см. § 9.11 второго тома); при этом сигналы от других источников сообщений могут, перемежаясь, следовать в интервалах между импульсами. Необходимо также заметить, что полученные в данном примере результаты не зависят от конкретной формы функции рассеяния канала

В этом параграфе рассмотрена задача цифровой передачи информации по каналу с время-селективными замираниями при использовании двоичных ортогональных сигналов. Вывод алгоритма и основной структурной схемы приемника и анализ его помехоустойчивости явились прямым развитием результатов § 11.2.

Первым важным результатом данного параграфа является формула для границы помехоустойчивости (предельной помехоустойчивости). Для любой функции рассеяния канала

Для достижения этой границы необходимо, чтобы излучаемый сигнал создавал в сигнальном процессе на выходе канала определенное число одинаковых собственных значений.

Второй важный результат состоит в том, что указанную границу практически можно достичь при различных функциях рассеяния каналов, используя простые сигналы.

Осталось рассмотреть два вопроса проблемы цифровой связи. В п. 11.3.3 рассматриваются вопросы построения субоптимальных приемников. В п. 11.3.4 кратко обсуждается многоальтернативная задача цифровой передачи.

11.3.3. Субоптимальные приемники

Для большого числа физических ситуаций мы можем определить оптимальный приемник и вычислить характеристики его помехоустойчивости. Однако часто оптимальный приемник оказывается

труднореализуемым, и поэтому возникает необходимость рассмотрения различных субоптимальных схем приемника. В этом подпараграфе мы логически определим две структуры субоптимального приемника и проведем анализ их помехоустойчивости.

Чтобы получить первую структурную схему, рассмотрим типичную выборочную функцию которая представлена на рис. 11.17, а. Для простоты предположим, что спектр процесса ограничен полосой Гц. Функцию можно аппроксимировать ступенчатой функцией, как показано на рис. 11.17, б. Длина отрезков прямых (ступенек) выбрана здесь равной величине, обратной ширине полосы.

Аппроксимация более общего вида показана на рис. 11.17, в. Здесь длительность элементов сигнала оставлена в качестве параметра. Чтобы данная аппроксимация была справедливой, будем считать, что меньше величины, обратной ширине полосы замираний.

Рис. 11.17. Канальный процесс и его аппроксимации.

Чтобы синтезировать первый субоптимальный приемник, предположим, что функция, представленная на рис. 11.17, в, является достаточно точной аппроксимацией и что значения этой функции на разных элементарных интервалах статистически независимы. Отметим, что эти два предположения несколько противоречивы. По мере уменьшения данная аппроксимация становится более точной, но статистическая связь значений функции усиливается. При увеличении наблюдается обратное явление. В том, что эти предположения не вполне справедливы, и заключается причина того, что получающийся приемник является субоптимальным.

При сделанных предположениях можно записать, что

где единичный импульс, определяемый соотношением (1136). С учетом (119) из (20) получим

Ковариационная функция в форме (120) является разложимой, и поэтому получающаяся в результате структура приемника оказывается довольно простой.

Структурная схема тракта, формирующего представлена на рис. 11.18. Аналогичный тракт формирует

Рис. 11.18. Структурная схема субоптимального приемника № 1 (тракт формирования величины

Различные весовые коэффициенты в каждой из ветвей появляются вследствие того, что значение

обычно зависит от и поэтому собственные значения оказываются неодинаковыми. Из задачи 11.2.1 следует, что

Структурную схему приемника, показанную на рис. 11.18, логически легко понять, но она представляется несколько более

сложной, чем необходимо. В самом деле, в каждой ветви, по существу, выполняется стробирование и выборка значений процесса на концах последовательных отрезков длительностью Поэтому, если предусмотреть операцию стробирования и съема выборочных отсчетов в соответствующие моменты времени, то необходима будет только одна ветвь. Этот вариант структуры приемника показан на рис. 11.19. Особенно простой схема приемника получается в том случае, когда функция постоянна на всем интервале обработки. Тогда в весовых коэффициентах нет необходимости и структурная схема приемника приобретает вид, показанный на рис. 11.20. Здесь операция корреляционной обработки заменена операцией согласованной фильтрации с тем, чтобы подчеркнуть их взаимозаменяемость.

На этом завершается рассмотрение первого варианта структурной схемы субоптимального приемника. Будем называть его приемником по схеме дискретизатор—фильтр — квадратор—сумматор (ДФКС). Прежде чем приступить к анализу его помехоустойчивости, рассмотрим вторую структурную схему субоптимального приемника.

При рассмотрении второго субоптимального приемника ограничимся случаем канальных процессов с конечномерными представлениями состояний. Вторая структурная схема субоптимального приемника следует из структуры оптимального приемника, которая получается, когда справедливы предположения о соблюдении условий КСМЭ и БВН. Структурная схема этого приемника представлена на рис. 11.21. (Это структурная схема приемника рис. 11.11, перечерченная с учетом представления в переменных состояния при Заметим, что часть приемника, представленная в переменных состояния, точно соответствует системе, используемой для формирования

Сохраним основную структуру рис. 11.21. Для достижения большей гибкости при синтезе приемника мы не требуем, чтобы матрицы операций фильтрации могли генерировать , но обязательно налагаем условие, чтобы они были инвариантными во времени. Получающаяся структура приемника показана на рис. 11.22. Приемник такого типа был предложен в работе Уравнения этого приемника можно записать в виде:

Они определяют структуру второго субоптимального приемника; мы будем называть его приемником по схеме фильтр — квадратор — интегратор (ФКИ). Для того чтобы максимизировать его

(кликните для просмотра скана)

помехоустойчивость, необходимо определенным образом задать матрицы

Далее будем придерживаться следующего плана.

1. Выведем выражение для границы помехоустойчивости субоптимальных приемников. Этот вывод представляет собой прямое распространение границы, установленной в п. 5.1.2, на случай комплексных процессов. Эта граница справедлива для обеих структурных схем.

2. Выведем выражения для величин и функций, входящих в формулу предельной помехоустойчивости для обоих приемников.

3. Оптимизируем каждый приемник и сравним его помехоустойчивость с помехоустойчивостью оптимального приемника.

Все указанные задачи просты по своей идее, но довольно сложны в выкладках. Многие читатели, по-видимому, предпочтут ограничиться рассмотрением окончательных результатов, представленных на графиках рис. 11.23, и сопровождающих их комментариев.

Границы помехоустойчивости для субоптимальных приемников. Так как в данном случае рассматривается бинарная симметричная система с ортогональными сигналами, необходимо модифицировать результаты решения задачи 5.1.16. (Первоначально эти границы были получены в работе Окончательно имеем

где

Теперь нужно вычислить для двух приемников.

Вычисление для субоптимального приемника № 1. В этом случае являются конечными квадратичными формами и вычисление не вызывает принципиальных затруднений (см. задачу 11.3.9; первоначально интересующий нас результат был получен в работе [4]):

где

Заметим, что при анализе помехоустойчивости мы учли статистическую связь между значениями сигнала на различных интервалах длительностью С учетом (131)-(135) формула (127) позволяет вычислить границу помехоустойчивости для любой конкретной системы.

Рис. 11.23. Характеристики помехоустойчивости оптимального и субоптимальных приемников: канал с допплеровским рассеянием и замираниями первого порядка; и 20 [4].

Вычисление для субоптимального приемника № 2. В этом случае можно записать как детерминанты Фредгольма:

Здесь упорядоченные собственные значения процесса когда истинна гипотеза Заметим, что это процесс на входе квадратора в тракте обработки. Аналогично

где упорядоченные собственные значения процесса когда истинна гипотеза

Проиллюстрируем теперь, как вычислять определитель используя метод переменных состояния. Для этого необходимо записать в предположении, что верна гипотеза как процесс на выходе линейной динамической системы, на вход которой воздействует белый шум. Предполагается, что соблюдаются соотношения:

Требуется определить

По гипотезе процесс генерируется так, как показано на рис. 11.24. Необходимо выразить эту систему в форме (127)- (130). Сделаем это путем присоединения векторов состояния в результате получим

Матрицы получаемой в результате этого системы имеют вид

Рис. 11.24. Структурная схема формирования

Коль скоро процесс представлен таким образом, то, как нам известно,

где

Соотношения (143)-(151) полностью выражают первый определитель Фредгольма. Фактическое вычисление можно выполнить численными методами. Аналогично можно вычислить второй определитель Фредгольма. В итоге мы сформулировали задачу так, что можем исследовать любую систему фильтровых матриц.

Пример [4]. Рассмотрим случай передачи сигнала с постоянной огибающей по каналу, спектр замираний в котором является спектром Баттерворта первого порядка. При этом функция рассеяния канала имеет вид

а огибающая

Средняя энергия принимаемой сигнальной компоненты равна

Чтобы определить помехоустойчивость приемника № 1, вычислим используя (128) и Затем минимизируем полученное выражение по чтобы найти точную границу в (127). Наконец, минимизируем это выражение по длительности элемента, чтобы получить формулу, характеризующую помехоустойчивость наилучшего субоптимального приемника. Этот результат выражается функцией

являющейся мерой помехоустойчивости приемника № 1.

В приемнике № 2 используем фильтр первого порядка. Поэтому

Для простоты предполагается, что

Выразим как функцию величины Для каждого значения найдем

и используем в показателе экспоненциальной функции (127). Затем выберем значение которое минимизирует выражение (158). Полученное в результате значение

является мерой помехоустойчивости приемника №2. На рис. 11.23 величины (155) и (159) представлены графически для случаев, когда отношение равно 5 и 20 соответственно. Здесь же нанесены соответствующие кривые для оптимального приемника. По оси абсцисс отложены значения а число в скобках, указанное на кривой приемника № 1, равно отношению т. е. числу используемых элементарных интервалов. В обоих случаях помехоустойчивость приемника № 1 приближается к помехоустойчивости оптимального приемника при а помехоустойчивость приемника № 2 приближается к помехоустойчивости оптимального приемника при увеличении Этого и следовало ожидать. Можно также заметить, что помехоустойчивость одного из приемников отличается от помехоустойчивости оптимального приемника не

более чем на 0,01 в пределах всей области изменения величины Таким образом, в данном примере простота реализации, допускаемая субоптимальными схемами приемника, достигается за счет незначительного снижения помехоустойчивости.

Следует отметить, что из приведенного примера нельзя сделать вывод о том, что рассмотренные субоптимальные приемники будут удовлетворительными во всех случаях. Однако предложенный здесь метод позволяет решить сформулированную выше задачу при любом сигнале Из других работ, посвященных анализу субоптимальных приемников, укажем [21 и 22].

11.3.4. Многоальтернативные системы

Рассмотрим многоальтернативную гипотезами) систему, в которой передаваемый сигнал по гипотезе аналитически можно записать в виде

Предполагается, что частоты выбираются так, что спектры сигнальных процессов, связанных с различными гипотезами, на выходе канала занимают неперекрывающиеся полосы частот. Принятое по гипотезе колебание записывается в виде

Все гипотезы равновероятны и критерием оптимальности является минимальная суммарная вероятность ошибки.

Оптимальный приемник для этого случая является очевидным обобщением двоичного приемника, представленного на рис. 11.12 и 11.13. Для определения его помехоустойчивости распространим (5.22) на случай нестационарных комплексных процессов. В результате получим:

где

есть собственные значения комплексной ковариационной функции (20). Затем минимизируем полученное выражение по как это делалось при выводе (5.29)-(5.35), чтобы найти функцию Следующий шаг — найти распределение собственных значений, которое минимизирует функцию Результат такой минимизации приведен в работе [3]. И на этот раз минимум получается

при использовании определенного числа одинаковых собственных значений. Оптимальное их число зависит от отношения и скорости передачи Последний шаг — попытаться найти сигналы, дающие надлежащее распределение собственных значений. Методы, примененные нами ранее для бинарного случая, переносятся непосредственно и на эту задачу.

Этим и завершается рассмотрение многоальтернативной задачи с ортогональными сигналами. Исчерпывающее изложение этой задачи интересующийся читатель может найти в работе [3].

11.3.5. Краткие итоги рассмотрения задачи передачи информации по каналам с допплеровским рассеянием

В этом параграфе была рассмотрена задача цифровой передачи информации (цифровой связи) по каналам с допплеровским рассеянием. Некоторые полученные здесь существенные результаты необходимо подчеркнуть еще раз.

1. Оптимальный приемник можно практически реализовать только в том случае, когда канальный процесс имеет представление в переменных состояния.

2. Точные границы суммарной вероятности ошибок определяются выражением (75). Их можно вычислить при любом сигнале если (0 имеет представление в переменных состояния.

3. Существует верхняя граница суммарной вероятности ошибок при любом сигнале которая не зависит от . Для любой бинарной системы она имеет вид

4. Во многих случаях можно вйбрать сигналы, которые обеспечивают помехоустойчивость, близкую к границе (164).

5. В п. 11.3.3 найдены две структурные схемы субоптимального приемника, которые гораздо проще в реализации, чем оптимальный приемник, и показано, что во многих случаях они будут работать почти так же хорошо, как оптимальный приемник.

6. Основные результаты, полученные в § 11.3, можно распространить на системы связи, в которых используется ортогональных сигналов.

Читателю может показаться странным, почему мы включили подробное рассмотрение цифровой связи в главу, посвященную радио- и гидролокации. Первой очевидной причиной является то, что эта проблема имеет большое значение и именно здесь мы располагаем необходимыми исходными данными для ее обсуждения. Кроме того, бинарная симметричная задача значительно легче для анализа, чем задача радиолокационного обнаружения, так как благодаря свойству симметрии величина в данном случае

приобретает конкретный смысл. В рамках радиолокационной задачи, если не выбран конкретный порог приходится оперировать с функцией Это означает, что все идей построения сигналов и оптимальные распределения собственных значений сформулировать первоначально для несимметричных задач радио- и гидролокации было бы значительно труднее. Теперь же, когда мы сформулировали их для случая симметричной задачи передачи информации, можно распространить их и на несимметричную задачу. Количественные результаты при этом, естественно, будут другие, но основные идеи остаются такими же.