13.3.5. Родственные вопросы теории обнаружения

Здесь мы кратко рассмотрим три вопроса. В п. 13.3.5.А речь пойдет об эквивалентных каналах. В п. 13.3.5.Б будут рассмотрены многоальтернативные системы связи по каналам с рассеянием по

двум параметрам. В п. 13.3.5.В будет пересмотрена реверберционная задача, изложенная в § 13.2.

13.3.5.А. Эквивалентные каналы и системы. Понятие об эквивалентном канале введено Кеннеди [37]; оно является обобщением понятий о дуальных каналах, введенных в § 12.3. Необходимость изложения теории дуальности мотивировалась тем, что, опираясь на нее, можно упростить построение и анализ систем. Часто бывает проще анализировать дуальную, а не реальную систему. Такими же соображениями объясняется необходимость рассмотрения эквивалентных систем. Во многих случаях легче анализировать эквивалентную, а не реальную систему. Кроме того, возможность отыскания и выявления эквивалентных систем способствует пониманию общей задачи.

Определение 1. Эквивалентные процессы. Рассмотрим два процесса определенные на интервале Если собственные значения процесса равны собственным значениям процесса , то эти процессы эквивалентны на интервале

Для простоты ограничимся рассмотрением простой двоичной задачи обнаружения. Комплексные огибающие принимаемых колебаний по двум гипотезам представляются в виде

Аддитивный шум представляется выборочной функцией комплексного белого гауссова шумового процесса с нулевым средним значением и спектральной плотностью Сигнал представляется выборочной функцией комплексного гауссова процесса с нулевым средним значением и ковариационной функцией Из изложенного материала известно, что помехоустойчивость системы полностью определяется собственными значениями функции Заметим, что структура приемника зависит от собственных функций и собственных значений, но собственные функции на помехоустойчивость не влияют. Это замечание предполагает справедливость следующего определения.

Определение 2. Эквивалентные задачи обнаружения. Все простые двоичные задачи обнаружения, в которых сигналы являются эквивалентными процессами, эквивалентны.

Это определение является обобщением определения 5, приведенного на с. 461.

Следующее полезное понятие — это понятие об эквивалентных каналах. Ковариационная функция сигнального процесса на выходе канала с рассеянием по двум параметрам имеет вид

Теперь рассмотрим ковариационную функцию на выходе второго канала,

После этого Можно дать определение эквивалентных каналов.

Определение 3. Эквивалентные каналы. Канал 2 эквивалентен каналу 1, если для каждого сигнала конечной энергии существует сигнал конечной энергии, такой, что собственные значения ковариационной функции равны собственным значениям ковариационной функции

Это определение полезно тем, что часто легче анализировать эквивалентный канал вместо реального.

Некоторые типичные эквивалентные каналы перечислены в табл. 13.2. В первом и третьем столбцах показано соотношение между функциями рассеяния двух каналов. Отметим, что произвольная функция рассеяния. Комплексная огибающая сигнала, передаваемого в канале 1, есть . В четвертом столбце даны комплексные огибающие, которые должны передаваться в канале 2, чтобы создать эквивалентные выходные сигнальные процессы. Для простоты предполагается, что интервал наблюдения бесконечен.

Таблица 13.2. Типичные эквивалентные каналы

Другие эквивалентные каналы и системы рассматриваются в задачах вне основного текста. Еще раз отметим, что понятие эквивалетных каналов и систем является логическим развитием теории дуальности, изложенной в § 12.3, и что оно полезно как с точки

зрения экономии труда при решении задач, так и с точки зрения Облегчения понимания принципиальных ограничений той или иной системы.

13.3.5.Б. Многоальтернативные системы связи по каналам с рассеянием по двум параметрам. В п. 11.3.4 была рассмотрена задача связи по каналам с рассеянием по допплеровскому параметру при использовании ортогональных сигналов. Многие из/полученных там результатов основывались на собственных значениях выходных процессов. Все эти результаты применимы также к Додели канала с рассеянием по двум параметрам. В частности, сохраняет силу идея оптимального распределения собственных значений. При анализе помехоустойчивости конкретной системы необходимо применять новые методы, изложенные в этой главе. Модификация результатов двоичного случая применительно к многоальтернативному случаю не встречает затруднений. Для полного рассмотрения многоальтернативной задачи читателю следует обратиться к работе [37].

13.3.5.В. Реверберация. В § 13.2 изучалась проблема обнаружения точечной цели при наличии мешающего отражателя с рассеянием по двум параметрам. Одной из рассмотренных там задач было построение оптимального приемника и анализ его помехоустойчивости; результатами рассмотрения явились уравнения (116)-(1216). Было указано, что их решение будет рассмотрено в § 13.3. Теперь можно заключить, что все, что было сказано в п. 13.3.2, непосредственно применимо к данной задаче. Различие состоит в том, что в одном случае требуется оценить реверберационный эхо-сигнал а в другом — отраженный сигнальный процесс. Все методы в полной мере переносятся с одного случая на другой.