4.2.3. Разнесение по частоте

Очевидная дуальная (по отношению к задаче временного разне сения) задача возникает при передаче К импульсов на различных частотах, но в одно и то же время. Типичным приложением этого случая может служить система связи с применением разнесения по частоте, работающая по К нефлуктуирующим релеевским каналам. По гипотезе передается К сигналов в неперекрывающихся полосах частот

По гипотезе также передается К сигналов, но в другом наборе неперекрывающихся полос частот:

Каждый из К передаваемых сигналов проходит по релеевскому каналу. На выходе канала имеем

Частоты и выбираются так, чтобы колебания на выходе канала, обусловленные сигналами, были ортогональными. Будем полагать, что замирания в различных релеевских каналах статистически независимы и что каждый канал имеет одинаковые статистические характеристики. Средняя энергия принимаемого сигнала в каждом канале равна

Нетрудно заметить, что данная задача — это просто двоичный симметричный вариант задачи, отмеченной в п. 4.2.2. Структурная схема оптимального приемника для этого случая показана на рис. 4.20. Чтобы определить ее помехоустойчивость, отметим, что этот случай математически тождествен примеру 3А, приведенному на с. 136 — 138 первого тома, если положить

Тогда в соответствии с (2.510) из первого тома выражение для получим в виде

Результат (110) можно также получить, используя табл. 4.3 и формулу (101). Выражение для границы вероятности ошибок следует из (I — 2.473) и (110) в виде

Приближенную формулу для суммарной вероятности ошибок получим из (I — 2.516) и (110):

Часто полная энергия передатчика является величиной фиксированной. Желательно распределить ее по различным ветвям разнесения так, чтобы вероятность ошибок была минимальной. Если затухания в каналах одинаковы, то оптимальное распределение энергии по каналам можно легко рассчитать, используя приближенную или точную формулу для вероятности ошибок Проще всего ввести в рассмотрение коэффициент эффективности для системы разнесения

где

Нетрудно заметить, что совпадает с в примере 4, приведенном нас. 140. Следовательно, эта функция имеет максимум при

а суммарная вероятность ошибок определяется формулой (78).

Рис. 4.20. Структурная схема приемника с разнесением по частоте.

Соотношение (116) показывает, что оптимальным будет такое распределение энергии передатчика по каналам, при котором отношение средней энергии к спектральной плотности шума в каждом релеевском канале равно 3,07.

Интересно сравнить два этих результата. В рассматриваемом случае мы оптимизировали помехоустойчивость путем соответствующего выбора условия разнесения. Ранее с той же целью мы надлежащим образом выбирали отношение сигнал/шум в полосе частот сигнального процесса. Связь между этими двумя задачами станет очевидной, если их интерпретировать в терминах собственных значений. В случае ограниченного по ширине спектра имеется равных собственных значений (при , а в системе разнесения существует равных собственных значений.