Канонические формы катастроф с одной и двумя переменными состояния перечислены в табл. 2.2. Эта таблица, впервые
1) Теорема Тома исключительно глубока по содержанию, и ее доказательство стимулировало развитие ряда новых областей математики, предложенная Р. Томом, по существу является таблицей элементарных катастроф и содержит в каждой своей строке две функции: росток катастрофы $C G(l)$ и ее возмущение $\operatorname{Pert}(l, k)$. Функция катастрофы $\operatorname{Cat}(l, k)$ равна сумме этих двух функций, взятых из любой строки.
Определение.
\[
\text { Cat }(l, k)=C G(l)+\operatorname{Pert}(l, k) .
\]

Таким образом, росток катастрофы $C G(l)$ есть неморсовская функция $l$ переменных. Именно эта функция присутствует в канонической форме (2.3б), имеющей место в окрестности неморсовской критической точки $x^{0}$ (или $y^{0}$ ) при фиксированном значении $c=c^{0}$. Функция катастрофы Саt $(l, k)$ представляет собой функцию $l$ переменных (состояния) и $k$ (управляющих) параметров, которая появляется в канонической форме (2.4), имеющей место в окрестности неморсовской критической точки $x^{0}$ «вокруг» значения $c^{0}$. Функция катастрофы $\mathrm{Cat}(l, k)$ сводится к ростку катастрофы $C G(l)$ тольно тогда, когда в пространстве $\mathbb{R}^{k}$ физические $c_{\alpha}$ или математические $a_{\alpha}$ управляющие параметры соответственно равны $c_{\alpha}^{0}$ и 0 . В общем случае математические $a_{1}, \ldots, a_{k}$ и физические $c_{1}, \ldots, c_{k}$ управляющие параметры связаны посредством гладкого преобразования с невырожденным якобианом
\[
\left.\operatorname{det} \frac{\partial a_{\alpha}(c)}{\partial c_{\beta}}\right|_{c^{0}}
eq 0, \quad 1 \leqslant \alpha, \beta \leqslant k .
\]

Пример 1. Функция катастрофы, обозначенная в табл. $2.2 D_{-4}$, имеет вид
\[
D_{-4}: f\left(x, y ; a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=\left(x^{2} y-y^{3}\right)+\left(a_{1} x+a_{2} y+a_{3} y^{2}\right),
\]

где для удобства предполагается, что $x_{1}=x, x_{2}=y$.
Пример 2. Предположим, что потенциальная функция $V(x ; c)$ зависит от десяти переменных состояния $x_{1}, \ldots, x_{10}$ и трех управляющих параметров $c_{1}$, $c_{2}, c_{3}$. Пусть точка $\left(x^{0} ; c^{0}\right.$ ) – неморсовская критическая точка, в которой квадратная матрица $V_{i j}$ порядка 10 имеет два собственных значения, равные нулю (т. е. дефект 2), три отрицательных и пять положительных собственных значений. Определим локальный характер этой функции в точке ( $\left.x^{0} ; c^{0}\right)$.
Согласно формуле (2.4),
\[
V \doteq \text { Cat }(l, k)+f_{M}\left(y_{3}, \ldots y_{10}\right) .
\]

Поскольку $l=2, \quad k=3$, непосредгтвенно из табл. 2.2 находим, что Cat $(2,3)=D_{ \pm 4}$, т. e.
\[
V \doteq\left(y_{1}^{2} y_{2} \pm y_{2}^{3}\right)+\left(a_{1} y_{1}+a_{2} y_{2}+a_{3} y_{2}^{2}\right)+\sum_{j=3}^{10} \lambda_{j}(c) y_{j}^{2} .
\]

Эта каноническая форма имеет место в открытой окрестности точки $\left(x^{0} ; c^{0}\right)$ пространства $R^{n} \otimes R^{*}$, в которой $\lambda_{j}\left(c^{0}\right)=-1, j=3,4,5$ и $\lambda_{j}\left(c^{0}\right)=+1$, $j=6,7,8,9,10$.