Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Когда конструкция находится вблизи «точки разрушения» типа, описанного в данной главе, частота одной из разрушающих мод становится очень малой. Для того чтобы показать это, рассмотрим энергию системы, совершающей малые колебания вблизи морсовской критической точки:
\[
\xi=\frac{1}{2} M_{i j} \dot{x}_{i} \dot{x}_{j}+\frac{1}{2} V_{i j}(F) x_{i} x_{j} .
\]
В этом случае линеаризованным уравнением движения будет
\[
M_{i j} \ddot{x}_{j}+V_{i j} x_{j}=0 .
\]
Соответствующее уравнение для собственных значений имеет вид
\[
\operatorname{det}\left|V_{i j}-\omega^{2} M_{i j}\right|=0 .
\]
На бифуркационном множестве $\operatorname{det} V_{i j}=0$, так что по крайней мере одно собственное значение $\omega=0$ на бифуркационном мно-
Рис. 11.20. Частота колебаний разрушающей моды убывает при приближении к критической нагрузке.
На основе зависимости ${ }^{p}$ от $F$ можно не только приближенно оценить разрушающую нагрузку (при помощи экстраполяцин), но определить также тип катастрофы (посредством $p$ ).
жестве, и в силу соображений непрерывности оно мало вблизи бифуркационного множества. Это уменьшение частоты колебаний нормальной моды при приближении к критической точке называют смягчением моды.
Смягчение моды может быть использовано для получения количественной характеристикг как типа происходящей катастрофы, так и критической нагрузки. Например, если $V \sim x^{3}$, когда $F=F_{c}$, то
\[
\omega^{2} \sim\left(F_{c}-F\right)^{1 / 2}
\]
при условии, что $F \uparrow F_{e}$. Вместе с тем если $V \sim x^{4}$, когда $F=F_{c}$, то $\omega^{2} \sim\left(F_{c}-F\right)$ при условии, что $F \uparrow F_{c}$. На рис. 11.20 показано, каким образом может быть использована зависимость $\omega$ от $F$ для определения критической точки системы.
$\diamond \diamond \diamond$ При приближении к бифуркационному множеству потенциальная функция становится солее плоской и, кроме того, значительно отклоняется от формы функции, описывающей гармонический осциллятор. Первое обусловлено смягчением моды; второе – присутствием нелинейных колебаний, которые содержат примесь более высоких гармоник. Амплитуды таких гармоник возрастают при $F \uparrow F_{c}$. Подобные нелинейные колебания могут быть описаны с помощью эллиптических функций и могут быть использованы в качестве еще одного способа диагностики катастроф.
