Когда конструкция находится вблизи «точки разрушения» типа, описанного в данной главе, частота одной из разрушающих мод становится очень малой. Для того чтобы показать это, рассмотрим энергию системы, совершающей малые колебания вблизи морсовской критической точки:
\[
\xi=\frac{1}{2} M_{i j} \dot{x}_{i} \dot{x}_{j}+\frac{1}{2} V_{i j}(F) x_{i} x_{j} .
\]

В этом случае линеаризованным уравнением движения будет
\[
M_{i j} \ddot{x}_{j}+V_{i j} x_{j}=0 .
\]

Соответствующее уравнение для собственных значений имеет вид
\[
\operatorname{det}\left|V_{i j}-\omega^{2} M_{i j}\right|=0 .
\]

На бифуркационном множестве $\operatorname{det} V_{i j}=0$, так что по крайней мере одно собственное значение $\omega=0$ на бифуркационном мно-

Рис. 11.20. Частота колебаний разрушающей моды убывает при приближении к критической нагрузке.
На основе зависимости ${ }^{p}$ от $F$ можно не только приближенно оценить разрушающую нагрузку (при помощи экстраполяцин), но определить также тип катастрофы (посредством $p$ ).

жестве, и в силу соображений непрерывности оно мало вблизи бифуркационного множества. Это уменьшение частоты колебаний нормальной моды при приближении к критической точке называют смягчением моды.

Смягчение моды может быть использовано для получения количественной характеристикг как типа происходящей катастрофы, так и критической нагрузки. Например, если $V \sim x^{3}$, когда $F=F_{c}$, то
\[
\omega^{2} \sim\left(F_{c}-F\right)^{1 / 2}
\]

при условии, что $F \uparrow F_{e}$. Вместе с тем если $V \sim x^{4}$, когда $F=F_{c}$, то $\omega^{2} \sim\left(F_{c}-F\right)$ при условии, что $F \uparrow F_{c}$. На рис. 11.20 показано, каким образом может быть использована зависимость $\omega$ от $F$ для определения критической точки системы.
$\diamond \diamond \diamond$ При приближении к бифуркационному множеству потенциальная функция становится солее плоской и, кроме того, значительно отклоняется от формы функции, описывающей гармонический осциллятор. Первое обусловлено смягчением моды; второе — присутствием нелинейных колебаний, которые содержат примесь более высоких гармоник. Амплитуды таких гармоник возрастают при $F \uparrow F_{c}$. Подобные нелинейные колебания могут быть описаны с помощью эллиптических функций и могут быть использованы в качестве еще одного способа диагностики катастроф.