Аэродинамика – это инженерная наука, для которой предположения о статическом поведении, пригодные для других инженерных приложений, оказываются явно неприемлемыми, так как самолет в полете не является статическим объектом. Виражи, развороты, пике, вращения и горки – все это внутренние элементы динамики, которые, как правило, взаимосвязаны между собой посредством сложных нелинейных механизмов.

Уравнения, описывающие движение летательного аппарата, сложны, нелинейны и образуют систему уравнений первого порядка. Прежде чем приступить к подробному изучению уравнений движения какого-то конкретного летательного аппарата, целесообразно сначала остановиться на общих свойствах систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Семейство таких уравнений имеет вид
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=F_{i}(x ; c), \quad x \in \mathbb{R}^{n}, \quad c \in \mathbb{R}^{k} .
\]

Қак обычно, будем рассматривать $n$-мерный $x$ как систему переменных, характеризующих ссстояние, а $k$-мерный $c$-как систему управляющих параметров.

Одна из задач аэродинамики состоит в определении зависимости решения $x(t) \in \mathbb{R}^{n}$ от управляющих параметров $c \in \mathbb{R}^{k}$. Предметом же изучения теории катастроф является, вообще говоря, определение числа, типов и свойств устойчивости решений системы (12.1), нахождение бифуркационного множества $\mathscr{J}_{B} \subset \mathbb{R}^{k}$, в котором эти числа и типы решений изменяются, а также исследование свойств фазовых переходов, т. е. переходов системы из одного стационарного состояния в другое.

Существует несколько подходов к решению этой проблемы. Если имеется доступ к большой ЭВМ с недорогим машинным временем и эффективным алгоритмом Рунге – Кутта для интегрирования уравнений вида (12.1), то необходимо лишь запрограммировать эти уравнения и предоставить машине сделать остальное. Хотя такой подход чрезвычайно экономичен по времени (после отладки программы), может дать значительную информацию и позволяет «почувствовать», каким образом решения ведут себя как функции управляющих параметров, он не может обеспечить фундаментального изучения свойств решений. Кроме того, асимптотическое стационарное состояние (если оно существует) может зависеть от начальных условий и (или) управляющих параметров разрывным образом (рис. 12.1). К тому же численный подход позволяет определить положения сепаратрис, отвечающих разрывам, только путем детального численного отображения множеств начальных условий и управляющих параметров в произведении пространств $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{k}$, что оказывается довольно дорогим удовольствием даже для «свободного» компьютера.

Другим возможным подходом к изучению поведения катастроф динамической системы (12.1) является предварительное исследование ее стационарных решений $d x_{i} / d t=\dot{x}_{i}=0$. (Мы особо подчеркиваем различие между стационарными и равновесными условиями. Летательный аппарат может находиться в стационарных условиях, совершая полет на высоте 13000 м. Летательный аппарат находится в равновесии, когда он покоится на земле.) Этот подход дополняет ранее рассмотренный, но и он не лишен недостатков. Например, система (12.1) может вообще не иметь стационарных (устойчивых) решений, не говоря уже о том, что решение системы $n$ уравнений $F_{i}(x ; c)=0$ может оказаться совсем не простой задачей.

В ряде ситуаций, представляющих особый интерес, обе эти трудности могут отсутствовать. В одном полезном частном случае все, кроме одной, переменные состояния $x=x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ могут быть исключены из уравнений $F_{i}=0$. В результате имеем

Рис. 12.1. Конечное значение переменной состояния $x$ может разрывным образом зависеть от своего начального значения или от значения управляющего параметра $b$.

единственное уравнение вида
\[
\Phi^{\prime}(x ; c)=0, x \in \mathbb{R}^{1}, \quad c \in \mathbb{R}^{k} .
\]

Тогда можно положить
\[
\Phi(x ; c)=-\int^{x} \Phi^{\prime}(y ; c) d y, \quad \Phi^{\prime}(x ; c)=-\frac{d}{d x} \Phi(x ; c) .
\]

В этом случае стационарные состояния (12.1) могут быть идентифицированы с критическими точками функции $\Phi(x ; c)$, называемой функцией Ляпунова. Эта функция для стационарных систем играет ту же роль, что и потенциальная функция для равновесных систем.

Если для динамической системы можно ввести функцию Ляпунова, то бифуркационные свойства и катастрофы динамической системы могут быть частично связаны с катастрофами $\Phi(x ; c)$. В этом случае катастрофы, которые могут произойти (для Ф), относятся к катастрофам типа $A_{k}$. Такая идентификация стационарных состояний динамической системы с элементарными катастрофами дает информацию об адекватности полиномиальной аппроксимации $\Phi(x ; c)$. И наоборот, если Ф есть полином степени $n$, то для реализации любого желаемого возмущения стационарного состояния системы требуется
в точности $n-2$ управляющих параметра. Если $k>n-2$, то число управляющих параметров окажется избыточным, а если же $k<n-2$, то недостаточным.

Значительный успех в понимании свойств динамической системы может быть достигнут, если реализовать оба вышеописанных подхода – как численный, так и аналитический: аналитический подход дает возможность определить уравнения гиперповерхности стационарных состояний динамической системы в произведении пространств $\mathbb{R}^{n} \otimes \mathbb{R}^{n}$, а метод численного интегрирования позволяет установить, каким образом динамическая система реально достигает многообразия стационарных состояний в зависимости от (1) значений управляющих параметров, (2) начальных условий и (3) времени.