Определение. Критические точки функции $V\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$, в которых $\operatorname{det} V_{i j}=0$, являются неизолированными, вырожденными или неморсовскими критическими точками.

Если потенциальная функция зависит от одного или более управляющих параметров $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}$, то матрица устойчивости $V_{i j}$ и ее собственные значения также зависят от этих параметров. В этом случае вполне возможно, что при некоторых значениях управляющих параметров одно (или несколько) собственное значение матрицы устойчивости может (могут) обратиться в нуль. Если это так, то $\operatorname{det} V_{i l}=0$ и, следовательно, условия, необходимые для применимости леммы Mорса ( $
abla V=0$, det $V_{i j}
eq 0$ ), не выполняются, и в точке равновесия потенциальная функция не может быть представлена в канонической форме (2.2). Однако можно найти каноническую форму потенциальной функции в неморсовской критической точке. Пусть только $l$ собственных значений $\lambda_{1}(c), \ldots, \lambda_{l}(c)$ обращаются в нуль в точке $c=c^{0}$, тогда для расщепления потенциальной функции на неморсовскую и морсовскую составляющие можно использовать лемму расщепления Тома:
\[
V(x ; c) \doteq f_{N M}\left(y_{1}(x ; c), \ldots, y_{l}(x ; c) ; c\right)+\sum_{i=l+1}^{n} \lambda_{l}(c)\left(y_{l}(x)\right)^{2}
\]

В таком представлении $l$ «плохих» координат $y_{1}(x ; c), \ldots, y_{l}(x ; c)$, соответствующих $l$ обращающимся в нуль собственным значениям $\lambda_{1}(c), \ldots, \lambda_{l}(c)$, являются гладкими функциями как $n$ переменных состояния, так и $k$ управляющих параметров $c_{1}, \ldots$ $\ldots, c_{k}$. Что касается «хороших» координат $y_{l+1}(x), \ldots, y_{n}(x)$, которые соответствуют отличным от нуля собственным значениям $\lambda_{l+1}(c), \ldots, \lambda_{n}(c)$, то они являются гладкими функциями исключительно исходных переменных состояния $x$. В точке ( $\left.x^{0} ; c^{0}\right)$ матрица устойчивости $\partial^{2} f_{N M} / \partial y_{i} \partial y_{j}(1 \leqslant i, j \leqslant l)$ обращается в нуль (все элементы матрицы — нули), в то время как матрица устойчивости морсовской функции в представлении (2.3a) не вырождена. При соответствующих условиях $[k \leqslant 5$ и нет особых или симметричных ограничений на семейство потенциальных функций $V\left(x_{1}, \ldots, x_{n} ; c_{1}, \ldots, c_{k}\right)$ ] теорема Тома [4] гарантирует существование гладкой дамены переменных, такой, что потенциальная функция может быть записана в канонической форме
\[
V \doteq C G(l)+\sum_{j=l+1}^{n} \lambda_{j} y_{j}^{2}
\]

Функцию $C G(l)$ называют ростком катастрофы. Все канонические ростки катастроф при $k \leqslant 5$ перечислены в табл. 2.2. Они соответствуют лишь одному $(l=1)$ или двум $(l=2)$ нулевым собственным значениям матрицы устойчивости.

Таблица 2.2. Элементарные катастрофы Тома