2.1. Форма теоремы о неявной функции
Рассмотрим возмущение в некритической точке. В окрестности такой точки функция $f(x)$ имеет каноническую форму $f(x)=x_{1}$, так что возмущенная функция имеет вид
\[
F=f+p=x_{1}+p .
\]
В общем случае $
abla F
eq 0$ в толке $x=0$ и теорема о неявной функции применима к функции $F(x)$ с таким же успехом, как
Рис. 4.1. Возмущение функции в некрнтической точке.
Значение функции и ее градиента слегка изменяется; локальных качественных измененяй не наблюдается.
и к функции $f(x)$. Это означает, что возмущенная функция $F(x)$ может быть приведена к канонической форме $F(x) \doteq x_{1}$ с помощью процедуры, описанной в гл. 3.
Действие возмущения на функцию $f$ в точке, где $
abla f
eq 0$, двояко (рис. 4.1): с одной стороны, значение возмущенной функции слегка изменяется [на $\mathcal{O}(p(0 ; c))]$, а с другой стороны, градиент $
abla(f+p)$ также слегка изменяется [на $O\left(p_{i}\right)$ ]. В результате возмущение функции $f(x)$ в некритической точке не вызывает качественных изменений в поведении $f(x)$ в окрестности этой точки.
2.2. Морсовские формы
Рассмотрим, что происходит с функцией, если возмущение наблюдается в окрестности морсовской критической точки. В качестве основной канонической формы функции $f$ в окрестности изолированной критической точки $x=0$ выберем форму (2.2a). Тогда для возмущенной функции $F=f+p$ имеем следующее разложение в ряд Тейлора:
\[
\begin{aligned}
F= & p(0 ; c)+p_{i} x_{i}+ \\
& +\left(\lambda_{i} \delta_{i j}+p_{i j}\right) x_{i} x_{j}+\text { Члены третьей степени }+\ldots .
\end{aligned}
\]
В общем случае в точке $x=0$ градиент $
abla F=
abla(f+p)=$ $=
abla p
eq 0$, так что на первый взгляд кажется, что возмущение влияет на поведение функции $f(x)$ – равновесное состояние сменяется неравновесным в точке $x=0$.
Попытаемся, однако, проанализировать действие возмущения на поведение функции $f(x)$ под другим углом зрения. Предположим, что мы имеем дело с функцией единственной переменной состояния $(n=1)$. В этом случае разложение $F(x)$ в ряд Тейлора (4.4) будет иметь вид $(\lambda
eq 0)$
\[
F(x)=p(0 ; c)+p_{1} x+\left(\lambda+p_{2}\right) x^{2}+p_{3} x^{3}+\ldots,
\]
где все коэффициенты возмущения $p_{j}$ можно считать достаточно малыми. Поскольку $p_{1}
eq 0$, можно ввести новую независнмую переменную $y$ (гл. 3):
\[
y=p_{1} x+\left(\lambda+p_{2}\right) x^{2}+p_{3} x^{3}+\ldots .
\]
Обратное преобразование существует и может быть записано в виде
\[
x=A_{1} y+A_{2} y^{2}+A_{3} y^{3}+\ldots .
\]
Производя подстановку (4.6) в (4.7) и принимая во внимание тождество $x=x$, легко найти коэффициенты $A_{1}, A_{2}, \ldots$. Для этого приравниваем коэффициенты при членах, содержащих $x$ в одинаковой степени в обеих частях уравнения, и получаем следующую последовательность уравнений со все возрастающим числом коэффициентов $A_{i}$ :
\[
\begin{array}{l}
x^{1}: \quad 1=A_{1} p_{1}, \\
x^{2}: \quad 0=A_{1}\left(\lambda+p_{2}\right)+A_{2} p_{1}^{2}, \\
x^{3}: \quad 0=A_{1} p_{3}+2 A_{2} p_{1}\left(\lambda+p_{2}\right)+A_{3} p_{1}^{3},
\end{array}
\]
Отсюда можно однозначно определить коэффициенты
\[
\begin{aligned}
A_{1} & =1 / p_{1}, \\
A_{2} & =-\left(\lambda+p_{2}\right) / p_{1}^{3}, \\
A_{3} & =2\left(\lambda+p_{2}\right)^{2} p_{1}^{-5}-p_{3} p_{1}^{-4}, \\
& \quad:
\end{aligned}
\]
И тем не менее данный подход неприемлем, так как чрезвычайно трудно построить обратное преобразование $x(y)$ (4.7) даже при малом возмущении. Более того, обратхое преобразование (4.7) разрывно в окрестности точки $p_{1}=0$. Поскольку все трудности проистекают из-за того, что при поиске преобразования, позволяющего исключить квадратичные члены и члены более высокой степени, коэффициент $p_{1}$ входит в знаменатель формул (4.9), необходимо найти преобразование, обладающее обратным преобразованием, нелрерывным при $p_{1} \rightarrow 0$, и позволяющее исключить все члены разложения, начиная с кубических.
Для того чтобы выяснить, так ли это на самом деле, рассмотрим преобразование вида (3.3nl)
\[
x=y+B_{2} y^{2}+B_{3} y^{3}+\ldots,
\]
в результате которого исключаются члены выше второй степени из разложения (4.5) функции $F(x)$. Сделав подстановку (4.10) в (4.5) и приравняв коэффициенты $y^{3}, y^{4}, \ldots$ нулю, получим следующую систему уравнений:
\[
\begin{array}{rlrl}
y^{1}: & \text { Произвольная константа } & =p_{1}, \\
y^{2}: & \text { Произвольная константа } & =p_{1} B_{2}+\left(\lambda+p_{2}\right), \\
y^{3}: & 0 & = & p_{1} B_{3}+\left(\lambda+p_{2}\right) \cdot 2 B_{2}+p_{3}, \\
y^{4}: & 0 & = & p_{1} B_{4}+\left(\lambda+p_{2}\right) \cdot\left(2 B_{3}+B_{2}^{2}\right)+ \\
& +p_{3} \cdot 3 B_{2}+p_{4} .
\end{array}
\]
Если $p_{1}=0$, то система уравнєний, определяемая коэффициентами при членах выше второй степени $y^{3}, y^{4}, \ldots$, является линейной и может быть легко решена:
\[
\begin{array}{l}
B_{2}=-\frac{p_{3}}{2\left(\lambda+p_{2}\right)}, \\
B_{3}=\frac{5 p_{3}^{2}}{8\left(\lambda+p_{2}\right)^{2}}-\frac{p_{4}}{2\left(\lambda+p_{2}\right)} .
\end{array}
\]
В этом случае все коэффициенты $B_{2}, B_{3}, \ldots$ определены корректно, так как единственный множитель, который встречается в знаменателях, – это отличная от нуля сумма $\left(\lambda+p_{2}\right)$. Если же $p_{1}
eq 0$, система уравнений иожет быть также разрешена и коэффициенты $B_{2}\left(p_{1}\right), B_{3}\left(p_{1}\right), \ldots$ зависят от $p_{1}$ непрерывным образом (степенные ряды). Суцественным моментом является то, что, если $\lambda_{1}
eq 0$ (4.5), всегда может быть найдено гладкое обратимое преобразование (4.10), удаляющее все члены выше второй степени.
$\diamond \diamond \diamond$ Это соображение может быть распространено на более общие случаи. Если первый член с отличным от нуля коэффициентом разложения в ряд Тейлора функции $f(x)$ равен $x^{n}$, то возмущение $x^{n}$ будет иметь следующий вид:
\[
\begin{aligned}
F(x)= & f+p=p_{1} x+\ldots+p_{n-1} x^{n-1}+ \\
& +\left(1+p_{n}\right) x^{n}+p_{n+1} x^{n+1}+\ldots .
\end{aligned}
\]
Если принять во внимание знаменатели дробей в формулах (4.9), (4.12), то становится очевидным, что всегда может быть найдена гладкая замена переменных (4.10), позволяющая исключить члены степени больше $n$. Эти же соображения распространяются и на случай $n$ переменных состояния. Все члены более высокой степени, которые исключаются вследствие гладкой замены переменных, приводящей функцию $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ к некоторой канонической форме, также могут быть удалены и в возмущенной функции $F=f+p$. Это преобразование является гладкой обратимой функцией коэффициентов ряда Тейлора, задаваемых разложением (4.4).
Вернемся к возмущенной функции $F(x)=\lambda x^{2}+p(x)$, задаваемой формулой (4.5). В новой системе координат $0 y$, связанной с системой координат $0 x$ посредством преобразования (4.10), $F(y)$ записывается как
\[
\begin{aligned}
F[x(y)] & =p(0 ; c)+p_{1} y+\left\{\left(\lambda+p_{2}\right)+p_{1} B_{2}\right\} y^{2}= \\
& =p(0 ; c)+p_{1} y+\lambda^{\prime} y^{2} .
\end{aligned}
\]
По координате $y$ можно ввести новый масштаб $\left(y \rightarrow \tilde{y}=\left|\lambda^{\prime}\right|^{1 / 2} y\right.$ ) и в результате получить квадратичный член $\tilde{y}^{2}$ с каноническим коэффициентом $\pm 1$. Кроме того, можно перенести начало координат ( $y^{\prime}=y+p_{1} / 2 \lambda^{\prime}$ ), что даст каноническую форму
\[
F\left(y^{\prime}\right)=\left\{p(0 ; c)-\frac{p_{1}^{2}}{4 \lambda^{\prime}}\right\}+\lambda^{\prime} y^{\prime 2} .
\]
Таким образом, возмущение функции одной переменной в морсовской критической точке не влияет на качественную природу этой функции, и хотя при этом критическая точка сдвигается на $\mathcal{O}\left(p_{1}\right)$, а значение функции в критической точке изменяется на $\mathcal{O}(p(0 ; c))$, тип критической точки остается без изменений.
Теперь проанализируем, ках влияет возмущение на функцию с морсовской критической точкой в $0 \in \mathbb{R}^{n}$. Разложение в ряд Тейлора такой функции имеет вид (4.4). Проведем подобный анализ с (1) научной (или инженерной) и с (2) чисто математической точки зрения.
1. Если необходимо определить свойства функции (4.4) в окрестности начала координат, то следует учесть, что все $x_{i}$ малы. Тогда могут быть выполнены следующие операции:
– усечение рядов до членов второй степени, так что
\[
F \simeq p(0 ; c)+p_{i} x_{i}+\left(\lambda_{i} \delta_{i j}+p_{i j}\right) x_{i} x_{j} ;
\]
– приведение квадратичных членов к диагональному виду
\[
F \simeq p(0, c)+p_{i}^{\prime} x_{i}^{\prime}+\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{\prime} x_{i}^{\prime 2}
\]
– перенос начала координат $\left(x_{i}^{\prime} \rightarrow x_{i}^{\prime \prime}=x_{i}^{\prime}+\left(p_{i} / 2 \lambda_{i}^{\prime}\right)\right)$, что приводит к
\[
F \simeq\left\{p(0 ; c)-\sum_{i=1}^{n} \frac{p_{i}^{\prime 2}}{4 \lambda_{i}^{\prime}}\right\}+\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{\prime} x_{i}^{\prime \prime 2} .
\]
2. В этом случае можно
– привести квадратичные члены в формуле (4.4) к диагональному виду посредством однородного линейного преобразования типа (3.3hl)
\[
\begin{aligned}
F^{\prime}= & p(0 ; c)+p_{i}^{\prime} x_{i}^{\prime}+\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{\prime \prime} x_{i}^{\prime 2}+ \\
& + \text { Члены третьей степени }+\ldots ;
\end{aligned}
\]
– исключить члены третьей степени и выше путем нелинейного преобразования типа (3.3nl), найденного с помощью процедур, описанных в гл. 3, принимая во внимание соображения непрерывности:
\[
F^{\prime \prime}=p(0 ; c)+p_{i}^{\prime} x_{i}^{\prime \prime}+\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{\prime \prime \prime} x_{i}^{\prime \prime 2} ;
\]
– удалить линейные члены посредством переноса начала координат в соответствии с преобразованием $x_{i}^{\prime \prime} \rightarrow x_{i}^{\prime \prime \prime}=x_{i}^{\prime \prime}+$ $+p_{i}^{\prime} / 2 \lambda_{i}^{\prime \prime \prime}$.В результате этих преобразований получаем следующую каноническую форму:
\[
F^{\prime \prime \prime}=\left\{p(0 ; c)-\sum_{i=1}^{n} \frac{p_{i}^{\prime 2}}{4 \lambda_{i}^{\prime \prime \prime}}\right\}+\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{\prime \prime \prime} x_{i}^{\prime \prime \prime 2} .
\]
Так как собственные значения $\lambda_{i}^{\prime \prime \prime}$ непрерывно зависят от коэффициентов ряда Тейлора $p_{i}, p_{i j}, \ldots$, присутствующих в разложении (4.2), то возмущенная функция $F=f+p$ имеет морсовское $i$-седло вблизи $0 \in \mathbb{R}^{n}$, если исходная функция имеет $i$-седло в точке $0 \in \mathbb{R}^{n}$.
$\diamond \diamond \diamond$ Внимательный читатель не мог не заметить, что и интуитивный (4.16), и формальный (4.17) подходы предусматривают сходный процесс рассуждений, приводящий в конечном счете к одной и той же канонической форме. Естественно, возникает вопрос: нужны ли оба подхода, если вполне достаточно только интуитивного? Однако несмотря на все достоинства интуитивного подхода, он при помощи ряда преобразований, даваемых (4.17a), (4.17б) и (4.17в), в отличие от формального не позволяет прямо привести возмущение любых ростков катастроф, рассмотренных в гл. 3, к канонической форме. Кроме того, последовательность координатных преобразований (3.3), выполняемых при интуитивном подходе, такова, что за (3.3nl) следует (3.3h1) и далее следует (3.3ih), а п’ри формальном подходе за (3.3hl) следует (3.3nl) и далее следует (3.3h).
$\diamond \diamond \diamond$ На основе идентичности канонических форм (4.16в) и (4.17в) можно предположить, что последовательность выполняемых преобразований не столь уже существенна, если не принимать во внимание целей вычислений. Действительно, коэффициенты $p_{i}, p_{i j}, \ldots$ в выражении (4.2) достаточно малы, и, следовательно, необходимые прєобразования (3.3) будут близки к тождественным. Это по существу и означает, что последовательность выполняемых преобразований не играет существенной роли. Суперпозиция этих преобразований в любой последовательности вызывает в целом совершенно одинаковые преобразования коэффициентов возмущения $p_{i}, p_{i j}, \ldots$ меньших степеней. Если $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$ – собственные значения канонической формы для $f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, то
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{i}^{\prime}=\lambda_{i}+p_{i i}+O\left(p^{2}\right) \quad \text { в } \quad(4.16 \mathrm{~B}), \\
\lambda_{i}^{\prime \prime \prime}=\lambda_{i}+p_{i i}+O\left(p^{2}\right) \quad \text { в } \quad(4.17 \mathrm{~B}), \\
\lambda_{i}^{\prime \prime \prime}-\lambda_{i}^{\prime}=O\left(p^{2}\right) .
\end{array}
\]
Этот результат непосредственно следует из формулы (4.14).
Таким образом, в результате возмущения функции $f$ в точке, где $
abla f=0$, а $\operatorname{det} f_{i j}
eq 0$ (рис. 4.2), слегка изменяются, во-первых, локализация точки равновесия $\left[\right.$ на $\left.\mathcal{O}^{\prime}\left(p_{i}\right)\right]$, во-вторых, значение возмущенной функции в новой точке равновесия, если $p(0 ; c)=0\left[\right.$ на $\left.O\left(p_{i}^{2}\right)\right]$, и, в-третьих, собственные значения [на $\left.O^{\prime}\left(p_{i i}\right)\right]$, однако тип морсовской критической точки остается тем же.
Возмущение функции $f(x)$ в морсовской критической точке не влияет на качественный характер поведения этой функции в окрестности этой точки.
Рис. 4.2. Возмущение функции в морсовской критической точке.
Местонахождение критической точки, критическое и собственные значения фуякции слегка изменяются; локальных качественных изменений не наблюдается.
2.3. Формы леммы расщепления
Рассмотрим, что происходит, если возмущение действует в окрестности неморсовской критической точки. Из леммы расщепления (2.3a) следует, что невозмущенная функция имеет вид
\[
f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=f_{N M}\left(x_{1}, \ldots, x_{i}\right)+\sum_{i=l+1}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{2},
\]
где $\lambda_{i}
eq 0(l+1 \leqslant i \leqslant n)$, а функция $f_{N M}$ от $l$ «плохих» переменных не имеет линейных и квадратичных членов в своем разложении в ряд Тейлора в скрестности вырожденной критической точки $x=0 \in \mathbb{R}^{n}$. Самое общее возмущение функции $f$ задается формулой (4.1), так что, полагая $p(0 ; c)=0$, для возмущенной функции $F=f+p$ имеем следующее разложение в ряд Тейлора:
\[
\begin{aligned}
F= & f+p=(2.3 \mathrm{a})+(4.1)= \\
& =p_{i} x_{i}+\left(\lambda_{i} \delta_{i j}+p_{i j}\right) x_{i} x_{j}+f_{N M}\left(x_{1}, \ldots, x_{l}\right)+ \\
& + \text { Члены третьей степени и выше }
\end{aligned}
\]
(здесь $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\ldots=\lambda_{l}=0$ ). Теперь найдем каноническую форму для возмущенной функции (4.20).
Сначала с помощью однородного линейного преобразования приведем квадратичные члены функции (4.20) к диагональному виду. В новой координатной системе имеем
$F^{\prime}=p_{i}^{\prime} x_{i}^{\prime}+\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}^{\prime} x_{i}^{\prime 2}+f_{N M}^{\prime}+$ Члены третьей степени и выше. (4.21)
Разности собственных значений $\lambda_{i}^{\prime}-\lambda_{i}$ малы. Отсюда следует, что $\lambda_{l}^{\prime}, \ldots, \lambda_{l}^{\prime}$ также малы, а $\lambda_{l+1}^{\prime}, \ldots, \lambda_{n}^{\prime}$ нет. Однородное линейное преобразование типа (3.3hl) переводит члены третьей степени в члены третьей степени и, в более общем виде, члены $n$-й степени в члены $n$-й степени, что является следствием однородности и линейности преобразования.
Попытаемся путем осесохраняющего нелинейного преобразования типа (3.3hl) исключить члены более высокой степени. В силу соображений непрерывности нельзя исключить все члены выше линейных, поскольку все линейные коэффициенты малы. Аналогично с помощью непрерывного преобразования $x_{i}^{\prime} \rightarrow x_{i}^{\prime \prime}$ $(i=1,2, \ldots, l$ ) невозможно исключить члены степени $>2$, так как коэффициенты при $x_{i}^{2}$ малы. Однако *оэффициенты при $x_{j}^{\prime 2}(j=l+1, \ldots, n)$ уже не являются малыми, и поэтому для $n-l$ переменных можно найти осесохраняющее непрерывное нелинейное преобразование типа (3.3nl). Можно попытаться уточнить, какие именно члены степени $>2$ могут быть исключены в результате таких преобразований. Как можно видеть, линейные члены вносят в рассматриваемую алгебру беспорядок. Если опустить детали вычислений, то получим результаты, неявно описанные в гл. 3:
– все члены вида $x_{1}^{r_{1}} \ldots x_{n}^{r_{n}}$, у которых $r_{1}+r_{2}+\ldots+r_{n} \geqslant$ $\geqslant 3$, за исключением тех, у которых $r_{l+1}^{\prime}=\ldots=r_{n}=0$, могут быть удалены из разложения посредством нелинейного преобразования «хороших» переменных. Это означает, что в разложении в ряд Тейлора (4.21) все члены третьей степени и выше, включая перекрестные произведения между $l$ «плохими» переменными $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{l}^{\prime}$ и $n-l$ «хорошими» переменными $x_{l+1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}$, могут быть удалены посредством непрерывного нелинейного преобразования типа (3.2);
– все члены выше второй степени, включающие лишь «хорошие» переменные, также могут быть удалены путем такого преобразования.
Следовательно, в результате ряда таких преобразований возмущенная функция $F$ (4.20) может быть представлена в виде суммы двух функций
\[
\begin{array}{l}
F \doteq F_{N M}+F_{M}, \\
F_{N M}=f_{N M}\left(x_{1}^{\prime \prime}, \ldots, x_{l}^{\prime \prime}\right)+p\left(x_{1}^{\prime \prime}, \ldots, x_{l}^{\prime \prime}\right) \\
p=p_{i}^{\prime \prime} x_{i}^{\prime \prime}+p_{i j}^{\prime \prime} x_{i}^{\prime \prime} x_{i}^{\prime \prime}+\ldots, \quad 1 \leqslant i, j, \ldots \leqslant l
\end{array}
\]
\[
F_{M}=\sum_{i=l+1}^{n} p_{i}^{\prime \prime} x_{i}^{\prime \prime}+\sum_{i=l+1}^{n} \lambda_{i}^{\prime \prime} x_{i}^{\prime \prime 2}
\]
2.4. Возмущение $\pm x^{n}$
Важность вывода, следующего из принципиального результата (4.22), трудно переоценить:
– если в семействе функций $f(x ; c)$ встречается функция $f\left(x ; c^{0}\right)$, имеющая неморсовскую критическую точку в $x_{0}$, то, согласно (4.22), для любой другой функции $f(x ; c) \quad\left(c
eq c^{0}\right)$, близкой к $f\left(x ; c^{0}\right)$, можно найти такую координатную систему, что возмущенная функция $f(x ; c)=f\left(x ; c^{0}\right)+p(x)$ может быть получена отдельным возмущением морсовской $\sum_{i=l+1}^{n} \lambda_{i} x_{i}^{2}$ и неморсовской $f_{N M}$ частей функции $f$. Заметим, что возмущение морсовской части в отличие от возмущения неморсовской части не вызывает качественных изменений в поведении этой функции, как возмущение $f_{N M}$.
Начнем исследование канонических форм неморсовских функций с изучения возмущений ростков катастроф от одной переменной: $\pm x^{n}$. Из формулы (4.22) и (4.1) следует, что наиболее общее возмущение $\pm x^{n}$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
F(x)= & p(0 ; c)+p_{1} x+\ldots+p_{n-1} x^{n+1}+ \\
& +\left( \pm 1+p_{n}\right) x^{n}+p_{n+1} x^{n+1}+\ldots .
\end{aligned}
\]
Из соображений непрерывности следует, что невозможно найти непрерывное преобразование, в результате которого исключаются все члены степени больше $j$ при $j=1,2, \ldots, n-1$, так как соответствующие коэффициенты при $x^{j}$ малы. Однако коэффициент при $x^{n}$ уже не является малым и поэтому возможно удалить члены степени больше $n$. Это можно сделать с помощью нелинейного преобразования типа (3.3nl). Однородное линейное преобразование типа (3.3hl) может быть использовано для введения нового масштаба по переменной $x$ и приведения коэффициента при $x^{n}$ к каноническому виду.
После преобразований (3.3nl) и (3.3hl) будем иметь
\[
F^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime}\right)=p_{1}^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\ldots+p_{n-1}^{\prime \prime} x^{\prime \prime n-1} \pm x^{\prime \prime n} .
\]
Если выполнить еще и неоднородное линейное преобразование $x^{\prime \prime} \rightarrow x^{\prime \prime \prime}=x^{\prime \prime}-s$ (3.3і ), то в результате получим
\[
\begin{aligned}
F^{\prime \prime \prime}\left(x^{\prime \prime \prime}\right)= & p_{1}^{\prime \prime}\left(s+x^{\prime \prime \prime}\right)+p_{2}^{\prime \prime}\left(s^{2}+2 s x^{\prime \prime \prime}+x^{\prime \prime 2}\right)+\ldots \\
\ldots & +p_{n-1}^{\prime \prime}\left(s^{n-1}+\ldots+x^{\prime \prime \prime n-1}\right) \pm \\
& \pm\left(s^{n}+\ldots+n s x^{\prime \prime \prime n-1}+x^{\prime \prime \prime}\right) .
\end{aligned}
\]
Теперь призедем подобные члены и выберем величину (сдвиг) $s$ так, чтобы исключить $x$ какой-либо степени. Целесообразно исключить $x$ в степени ( $n-1$ ), так как коэффициент при этом члене наиболее прост и опреде.яется как $p_{n-1}^{\prime \prime} \pm n s$. Он будет равен нулю, если $s=\mp p_{n-1}^{\prime \prime} / n$. Каноническая форма возмущенной функции будет иметь вид
\[
F^{\prime \prime \prime}\left(x^{\prime \prime \prime}\right)=p_{1}^{\prime \prime \prime} x^{\prime \prime \prime}+\ldots+p_{n-2}^{\prime \prime \prime} x^{\prime \prime \prime n-2} \pm x^{\prime \prime \prime} \text {. }
\]
Удалив штрихи и приравняв преобразованные коэффициенты ряда Тейлора $p_{j}^{\prime \prime \prime}(4.24)$ к каноническим возмущающим параметрам $a_{i}$, получим
\[
\pm x^{n}+\text { Произвольное возмущение } \doteq \pm x^{n}+\sum_{\alpha=1}^{n-2} a_{\alpha} x^{a} .
\]
Таким образом, в общем $k$-параметрическом семействе функщий с одной «плохой» переменной каноничеєкая форма для самой «плохой» неморсовской критической точки, с которой мы можем встретиться, имеет вид $\pm x^{k+2}$, а канонической формой для любой функции, близкой к этой функции, является $\pm x^{k+2}+$ $+\sum_{\alpha=1}^{k} a_{\alpha} x^{\alpha}$.
$\diamond \diamond \diamond$ Все $k$ канонических коэффициентов $a_{a}$ являются одновременно функциями всех коэффициентов ряда Тейлора $p_{i}, p_{i j}, \ldots$ возмущенной функции и функциями физических управляющих параметров $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{k}$. Можно использовать как канонические математические коэффициенты, так и физические управляющие параметры $c_{\beta}$, так как они связаны между собой невырожденным преобразованием. В общем случае это так, и условие (2.6) удовлетворяется.
Пример. В 1-параметрическом семействе функций в общем случае можно встретить лишь одну «плохую» переменную в неморсовской критической точке (3.28). В подходящей системе координат «хорошие» и «плохие» перемениые можно расщепить (3.27) Неморсовская функция «плохой» переменной $x$ имеет каноническую форму $x^{3}$ :
\[
f_{N M}(x)=x^{3} .
\]
Возмущения исходной функции, такие, как изменения значений управляющих параметров, возмущают раздельно морсовскую и неморсовскую части исходной функция в специально подобранной системе координат (4.22). Согласно (4.26), возмущение неморсовской функции может быть усечено сверху до членов третьей степени с помощью соответствующего нелинейного преоб. разования. В действительности возмущение может быть усечено до членов второй степени, так как для возмущения кубического члена можно ввести новую шкалу перенормализации $x$. Следовательно,
\[
f_{N M}(x)+\text { Возмущение }=p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+x^{3} .
\]
Сдвиг начала координат ( $x=x^{\prime}+s$ ) дает
\[
\begin{array}{l}
f_{N M}\left(x^{\prime}\right)+p\left(x^{\prime}\right)=a_{0}+a_{1} x^{\prime}+a_{2} x^{\prime 2}+x^{\prime 3} \\
a_{0}=p_{0}+p_{1} s+p_{2} s^{2}+s^{3}, \\
a_{1}=p_{1}+2 p_{2} s+3 s^{2}, \\
a_{2}=p_{2}+3 s .
\end{array}
\]
В этом выражении постоянный член не существен и можно считать его равным 0 . Коэффициент $a_{2}$ всегда можно сделать равным нулю с помощью соответствующего выбора величины $s$, однако к коэффициенту $a_{1}$ это уже не относится, если только $p_{2}^{2}-3 p_{1}<0$. Так как желательно иметь одинаковую каноническую форму для всех возмушений, то можно взять
\[
x^{3} \xrightarrow{\substack{\text { Каноническое } \\ \text { возмущение }}} x^{3}+a_{1} x .
\]
Проанализируем свойства этого 1-параметрического семейства функций $F\left(x ; a_{1}\right)$ (рис. 4.3$)$ :
Рис. 4.3. 1-параметрическое семейство функций $F(x ; a)=x^{3}+a_{1} x$, содержащее функции с двумя изолированными критическими точками и без критических точек. Функции этого семейства разделяются функцией $F(x ; 0)$, имеющей дважды вырожденную критическую точку.
– при $a_{1}=0 F(x ; 0)$ имеет вырэжденную критическую точку в $x=0$;
– при $a_{1}<0 F\left(x ; a_{1}\right)$ имеет в точности две изолированные морсовские критические точки. При возрастании $a_{1}$ эти две критические точки стремятся друг к другу и становятся вырожденной точкой при $a_{1}=0$;
– при $a_{1}>0 F\left(x ; a_{1}\right)$ не имеет коитических точек.
В общем случае возмущение ростка катастрофы, имеющего вырожденную критическую точку, вызывает расщепление вырожденной точки на ряд невырожденных критических точек («морсификация»). (Максимальное число изолированных критических точек, получаемых при возмущении ростка катастрофы, указывается в нижнем индексе ростка.) Можно показать,
что для катастроф от одной переменной состояния $A_{k}: x^{k+1}$, так как
\[
\frac{d}{d x}\left(x^{k+1}+\sum_{j=1}^{k-1} a_{j} x^{j}\right)=0
\]
является полиномиальным уравнением степени $k$, которое может иметь самое большее $k$ вецественных корней.
Следовательно, в результате возмущения функции $f$ в точке, где $
abla f=0$ и $\operatorname{det} f_{i j}=0$ (рис. 4.3 ), изменяется:
– число точек равновесия. Вырожденная критическая точка кратности $k$ расщепляется на не более чем $k$ изолированных критических точек;
– локализация критических точек;
– значение функции в критических точках (критические значения), причем типы морсовских седел изолированных точек равновесия связаны между собой способом, характеристическим для рассматриваемой катастрофы.
Возмущение функции $f(x)$ в неморсовской критической точке вызывает качественное изменение в поведении $f(x)$ в окрестности критической точки. Число критических точек, их локализация и критические значения зависят от коэффициентов возмущения $p_{i}, p_{i j}, \ldots$ значительно более сложным образом, чем соответствующие зависимости формы теоремы о неявной функции (разд. 2) или морсовских форм (разд. 3).
2.5. Возмущение $x^{2} y \pm y^{k}$
Рассмотрим возмущение ростков $D_{ \pm(k+1)}$ катастроф (табл. 2.2). Наиболее общее возмущение этих ростков имеет вид (пренебрегая постоянным членом)
\[
p(x, y)=\sum_{i+s \geqslant 1} p_{r s} x^{r} y^{s} .
\]
Для простоты вначале изучим росток
\[
D_{4}(x, y)=x^{2} y+y^{3} .
\]
Наиболее общее возмущение $D_{4}(x, y)$ имеет вид
$F=(4.32)+(4.31)=$ Линейные члены + Квадратичные члены +
\[
+p_{30} x^{3}+\left(1+p_{21}\right) x^{2} y+p_{12} x y^{2}+\left(1+p_{03}\right) y^{3}+
\]
+ Члены четвертой степени $+\ldots$.
В силу соображений непрерывности (разд. 3) можно ограничиться двумя членами ростка $D_{4}$, которые будем считать «центральными», и попытаться удалить окружающие их члены более высокой степени с помощью однородного нелинейного преобразования типа (3.2). Это действительно возможно, поскольку лишь при $x^{2} y$ и $y^{3}$ в формуле (4.33) стоят большие коэффициенты.
Как было показано (гл. 3, разд. 6), кубические члены ростка можно привести к канонической форме $D_{+4}$ путем однородного линейного преобразования. Тогда
$F^{\prime}=(\text { Линейные члены })^{\prime}+(\text { Қвадратичные члены })^{\prime}+$
\[
+\left(x^{2} y+y^{3}\right)^{\prime}+(\text { Члены четвертой степени })^{\prime}+\ldots .
\]
Кроме того, для удаления всех членов четвертой степени и выше можно использовать нелинейное преобразование типа (3.3n1). В данном случае вычисления оказываются более сложными, так как приходится учитывать вклад линейных и квадратичных членов. Однако можно удалить все члены четвертой степени и выше, оставляя при этом кубические члены в канонической форме (4.32), если применить однородное нелинейное преобразование типа (3.2) к формуле (4.33) либо к формуле (4.34). Приведем лишь конечные результаты. Опуская штрихи, получим
\[
\begin{aligned}
F \doteq & (\text { Линейные члены })+(\text { Қвадратичные члены })+ \\
& +\left(x^{2} y+y^{3}\right) .
\end{aligned}
\]
Наконец, при помощи неоднородного преобразования типа (3.3ih) $x^{\prime}=x+s_{1}, y^{\prime}=y+s_{2}$ можно перенести начало координат. Тогда в случае квадратичных членов вида
\[
p_{20} x^{2}+p_{11} x y+p_{02} y^{2}
\]
путем соответствующего выбора коэффициентов $\left(p_{11} / 2, p_{20}\right.$ ) или $\left(p_{11} / 2, p_{02} / 3\right)$ можно добиться равенства нулю соответственно коэффициентов при $x^{2}$ и $x y$ либо при $x y$ и $y^{2}$. Для наших целей удобно удалить члены $x^{2}$ и $x y$. Поэтому общее возмущение $D_{4}(x, y)$ и наиболее общее возмущение ростка катастроф $D_{k+1}(x, y)=x^{2} y+y^{k}$ будут иметь следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
D_{4}(x, y)+\text { Произвольное возмущение } \doteq \\
\doteq x^{2} y+y^{3}+a_{1} x+a_{2} y+a_{3} y^{2} \text {, } \\
\end{array}
\]
$F \doteq$ Линейные члены + Квадратичные члены +
\[
+\left(1+p_{21}\right) x^{2} y+\ldots+\left(1+p_{0 k}\right) y^{k}+\ldots .
\]
Все члены, которые не присугствуют явно, являются малыми величинами. При помощи линейного преобразования кубические члены могут быть приведены к каноническому виду
\[
x^{2} y+b y^{3} \text {, }
\]
где коэффициент $b$ мал при малых возмущениях, так как при отсутствии возмущения $b=0 \quad(k>3)$. В силу соображений непрерывности (разд. 3) должно существовать непрерывное преобразование, позволяющее исключить только те члены, которые могут быть получены из одночленов (4.38), имеющих большие коэффициенты, а именно $x^{2} y$ и $y^{k}$. Следуя стандартным алгоритмам и проводя вычисления, подобные вычислениям, выполненным в разд. 6, найдем, что
\[
\begin{aligned}
F= & \text { Линейные члены }+ \text { Квадратичные члены }+ \\
& +x^{2} y+p_{03} y^{3}+\ldots+p_{0, k-1} y^{k-1}+y^{k} .
\end{aligned}
\]
Если полученные квадратичные члены такие же, как в выражении (4.36), то перенос начала координат на $\left(s_{1}, s_{2}\right)=\left(p_{11} / 2 ; p_{20}\right)$ может быть использован для того, чтобы избавиться от членов $x^{2}$ и $x y$. При этом получим следующую каноническую форму для функции, близкой $D_{k+1}(x, y)$ :
\[
F \doteq\left(x^{2} y+y^{k}\right)+a_{1} x+\sum_{i=2}^{k} a_{j} y^{i-1} .
\]
Қанонический вид возмущений ростков $D_{-(k+1)}$ в точности таков же, как и в случае возмущений $D_{+(k+1)}$.
2.6. Возмущение $x^{3} \pm y^{4}$
Анализ влияния возмущения данного вида на функцию предусматривает выполнение операций, которые уже, наверно, набили оскомину у читателя. Поэтому постараемся сократить ход наших рассуждений, срезая где можно углы, и тем самым избежать монотонности и повторяемости изложения, навевающих на читателя скуку. При этом, однако, следует иметь в виду, что подобные «углосрезающие» рассуждения основываются на строгих математических положениях, и, следовательно, эти «интуитивные» представления в действительности являются полностью обоснованными. Схематически общее возмущение ростка функции двух переменных состояния можно представлять так, как показано на рис. 4.4. Необходимо только каждому одночлену (например, с $x y^{2}$ ) поставить в соответствие определенный коэффициент ряда Тейлора $\left(p_{12}\right.$ ). Так как все коэффициенты ряда Тейлора малы, то, естественно, возникает вопрос, какие из этих коэффициентов могут быть обращены в нуль посредством преобразования типа (3.2), лежащего вблизи тождественного преобразования
\[
x \rightarrow x^{\prime}=x+\Delta_{1}, \quad y \rightarrow y^{\prime}=y+\Delta_{2} .
\]
Здесь $\Delta_{i}$ получены с помощью замены конечных коэффициентов $A$, присутствующих в (3.2) в виде инфинитезимальных коэффициентов $\delta A$. В случае ростка $x^{3}+y^{4}$ это преобразование дает
\[
\begin{array}{c}
\left(x^{\prime}\right)^{3}+\left(y^{\prime}\right)^{4}=x^{3}+y^{4}+(4.1), \\
\downarrow \\
x^{3}+3 x^{3} \Delta_{1}+3 x \Delta_{1}^{2}+\Delta_{1}^{3}+y^{4}+4 y^{3} \Delta_{2}+6 y^{2} \Delta_{2}^{2}+4 y \Delta_{2}^{3}+\Delta_{2}^{4} .
\end{array}
\]
Так как $\Delta_{1}$ и $\Delta_{2}$ являются «инфинитезимальными» величинами, то представление (4.43) можно «линеаризовать». Однако путем замены переменных (4.42) из этого представления могут быть
Рис. 4.4. Представление общего возмущения функции двух переменных с помощью вектора линейного векторного пространства, базисные векторы $x^{p} y^{q}$ которого могут быть представлены в виде треугольника Паскаля.
удалены только члены вида $3 x^{2} \Delta_{1}$ и $4 y^{3} \Delta_{2}$. (Эти члены показаны в заштрихованных областях рис. 4.4; по существу все члены, находящиеся в этих заштрихованных областях, могут быть удалены.) Единственные члены, которые не могут быть удалены из возмущения $p(x, y)$ в (4.43), следующие: $x, y, x y, y^{2}, x y^{2}$. Следовательно, для канонического вида любого возмущения ростка $x^{3}+y^{4}$ имеем
\[
\left(x^{3}+y^{4}\right)+\left(a_{1} x+a_{2} y+a_{3} x y+a_{4} y^{2}+a_{5} x y^{2}\right) .
\]
Канонические возмущения ростка $E_{-6}=x^{3}-y^{4}$ в точности таковы, как и возмущения ростка $E_{+6}=x^{3}+y^{4}$.
