Было показано, что для катастрофы $A_{k+1}$ существуют одномерные кривые катастроф типа $A_{k}$, исходящие из начала координат пространства управляющих параметров $\mathrm{R}^{k}$, а для катастрофы $D_{k+1}$ существуют 1-мерные кривые катастроф типа $D_{k}$ $(k \geqslant 4)$ и типа $A_{k}$, исходящие из начала координат пространства управляющих параметров $\mathrm{R}^{k}$. Про эти катастрофы меньшей размерности говорят, что они примыкают к катастрофам высшей размерности.

Теперь можно попытаться ответить на вопрос: какие катастрофы с пространством управляющих параметров размерности $k$ – 1 могут примыкать к данной элементарной катастрофе размерности $k$ ? Для того чтобы проиллюстрировать, как на этот вопрос можно отвечать, используя диаграммное представление исходной катастрофы, и какое количество информации может быть выжато из диаграммного метода, рассмотрим, какие катастрофы примыкают к $E_{8}$.

В пространстве управляющих параметров $\mathbb{R}^{7}$ катастрофы $E_{8}$ существуют многочисленные открытые множества, описывающие структурно устойчивые функции с четным числом критических точек. Однако существует всего лишь пять открытых множеств, параметризующих функции с максимальным числом восемь изолированных критических точек (ср. с табл. 7.1). Сначала рассмотрим одно конкретное открытое множество, диаграммное представление которого включает четыре минимума и четыре седла. $У_{\text {мело обращаясь с управляющими параметрами, можно за- }}$ ставить семь из восьми критических точек стать вырожденными.

Следовательно, для данного конкретного открытого множества $E_{8}$ имеем три примыкания:

Для примыкания 1 очевидно, что в случае одной из морсификаций вырожденной точки кратности семь имеем следующее диаграммное представление:

Морсификацией, связанной с примыканием 2 , является

Подобные диаграммные методы позволяют не только установить, какие из катастроф меньших размерностей примыкают к $E_{8}$, но и также выяснить, какие открытые множества в пространстве управляющих параметров этих катастроф примыкают к определенным открытым множествам в пространстве управления $E_{8}$.

Аналогично могут быть обработаны остальные четыре открытых множества $E_{8}$, параметризующие функции типа $E_{8}$ с максимальным числом изолирсванных критических точек. (Результаты представлены в табл. 7.2.)

Таблица 7.2. Максимальные морсификацин $E_{8}$ и их примыкания

$\stackrel{\rightharpoonup}{\stackrel{\rightharpoonup}{\rightharpoonup}}$
Рис. 7.5. Диаграмма, содержащая информацию относительно того, какие из катастроф, пространство управляюших параметров которых имеет размерность $k-1$, примыкают к любой из элементарных катастроф, пространство управляющих параметров которой имеет размерность $k$.

Примыкания для других элементарных катастроф могут быть определены тем же самым способом. Мы представили на рис. 7.5 диаграмму примыканий для всех элементарных ката-

Рис. 7.6. Диаграммы примыканий комплексных элементарных катастроф ( $x$, $y$-комплексные числа) соответствуют диаграммам Кокстера – Дынкина некоторых простых групп Ли над полем комплексных чисел (по данным Арнольда). Катастрофы $\tilde{T}_{p, q}$, не являются элементарными (ср. с гл. 17 , разд. 1).

строф. Для некоторых целей очень полезно иметь несколько более простую диаграмму примыканий, которая содержит несколько меньше информации (рис. 7.6).