До сих пор мы обсуждали вклад в значение интеграла от быстро осциллирующей функции окрестности некритической точки (13.13) и критической точки Морса (13.17), причем в первом случае он был нулевым, а во втором – конечным. Это дает основания предположить, что вклад окрестности неморсовской критической точки будет расходящимся и такие критические точки будут тесно связаны с каустиками,

Пусть $x^{0}$ – неморсовская критическая точка функции $\boldsymbol{\Phi}(x ; \boldsymbol{\Omega})$. Тогда с помощью гладкой замены переменных Ф можно привести к каноническому виду (2.4)
\[
\Phi \doteq \mathrm{CG}(l)+M_{i}^{n-1} .
\]

При этом вклад окрестности точки $x^{0}$ в интеграл от быстро осциллирующей функции выражается следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
A_{x^{0}}(\boldsymbol{\Omega})=\psi\left(x^{0} ; \boldsymbol{\Omega}\right) e^{i k \Phi\left(x^{0} ; \Omega\right)} J\left(x^{0}\right) \int\left(\frac{k}{2 \pi}\right)^{n-l / 2} e^{i k M_{i}^{n-1}} d^{n-1} x^{\prime} \times \\
\times \int\left(\frac{k}{2 \pi}\right)^{l / 2} e^{i k \mathrm{CG}(l)} d^{l} x^{\prime},
\end{array}
\]

где $J\left(x^{0}\right)$ – якобиан преобразования, приводящего к каноническому виду (13.18) в точке $x^{0}$. Интеграл по морсовским областям в (13.19) представлен в (13.17) так, что остается лишь вычислить вклад, вносимый за счет ростка катастрофы СG( $l$ ) с $l$ переменными. Оценка и вычисление таких интегралов могут быть выполнены соответственно путем анализа размерностей и комплексного анализа.

Проиллюстрируем эти методы для одномерного случая. Предположим, что $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ и $\psi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\Phi(x ; \mathbf{\Omega})=\Phi\left(x^{0} ; \mathbf{\Omega}\right)+\Phi_{r}(x ; \mathbf{\Omega}), \\
\boldsymbol{\psi}(x ; \mathbf{\Omega})=\sum c_{j}\left(x-x^{0}\right)^{j} .
\end{array}
\]

Здесь остаточный член $\Phi_{r}(x ; \boldsymbol{\Omega})$ определяется разложением в ряд Тейлора в окрестности точки $x^{0}$. Для $\left|x-x^{0}\right| \ll 1$ члены $\left|x-x^{0}\right|^{p}$ с более низкими степенями меняются значительно быстрее членов $\left|x-x^{0}\right|^{p}$ с более высокими степенями $(p<q)$. Поскольку по существу мы имеем дело с быстрым изменением тригонометрических членов в быстро осциллирующих интегралах, достаточно рассмотреть лишь главный ненулевой член в $\boldsymbol{\Phi}_{r}(x ; \mathbf{\Omega})$ :
\[
\Phi_{r}(x ; \mathbf{\Omega})=\gamma\left(x-x^{0}\right)^{p}, \quad \gamma
eq 0, \quad p>0 .
\]

В результате имеем
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{k}{2 \pi}\right)^{1 / 2} \int_{x^{0}-\varepsilon}^{x^{0}+\varepsilon} \psi(x ; \Omega) e^{i k \Phi(x ; \Omega)} d x= \\
=e^{i k \Phi\left(x^{0} ; \Omega\right)} \sum_{j=0} c_{j}\left(\frac{k}{2 \pi}\right)^{1 / 2} \int_{x^{0}-\varepsilon}^{x^{0}+\varepsilon}\left(x-x^{0}\right)^{i} e^{i k \gamma\left(x-x^{0}\right)^{p}} d x .
\end{array}
\]

Эти интегралы удобно вычислять, используя подстановку $y=$ $=k^{1 / p}|\gamma|^{1 / p}\left(x–x^{0}\right)$. Пределами интегрирования будут
\[
\pm \varepsilon|\gamma|^{1 / p}\left(\frac{2 \pi}{\lambda}\right)^{1 / p} .
\]

Если $\lambda$-длина волны и размер окрестности интегрирования $\varepsilon$ таков, что $\lambda^{1 / p} \ll \varepsilon$, то пределы интегрирования преобразованного интеграла удобно расширить до $\pm \infty$ без заметного искажения значения интегралов:
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{k}{2 \pi}\right)^{1 / 2} \int_{x^{0}-\varepsilon}^{x^{0}+e}\left(x-x^{0}\right)^{j} e^{i k \gamma\left(x-x^{0}\right)^{p}} d x= \\
=(2 \pi)^{-1 / 2} k^{1 / 2-(j+1) / p}|\gamma|^{-(j+1) / p} I_{ \pm}(j, p), \\
I_{ \pm}(j, p)=\int_{-\infty}^{+\infty} y^{j} e^{ \pm i y^{p}} d y
\end{array}
\]
(знак плюс соответствует случаю $\gamma>0$, а минус-случаю $\gamma<0$ ). Результат (13.24) позволяет представить интеграл в ле-

Рис. 13.4. Интеграл (13.25) можно оденить, вычисляя комплексный интеграл (13.26) вдоль трех участков показанного на рисунке секторообразного контура.

вой части в виде двух сомножителей – физического и геометрического. Физический сомножитель $k^{\sigma}$ определяет зависимость амплитуды от длины волны. Геометрический сомножитель (13.25) может быть вычислен методом контурного интегрирования.
Қомплексный интеграл
\[
I=\oint z^{f} e^{i z p} d z,
\]

взятый по контуру, показанному на рис. 13.4, равен нулю, поскольку в области, ограниченной контуром, нет полюсов, и может быть записан в виде суммы интегралов по двум отрезкам прямых и дуге
\[
\begin{array}{l}
0=I=\int_{0}^{R} x^{i} e^{i x^{p}} d x+\int_{0}^{\theta_{m}} R^{I} e^{i l \theta} e^{i R^{p}[\cos p \theta+i \sin p \theta]} R e^{i \theta^{\prime}} i d \theta+ \\
+\int_{R}^{0} R^{i} e^{i j \theta_{m}} e^{i R^{p}\left[\cos p \theta_{m}+i \sin \theta_{m}\right]} e^{i \theta_{m}} d R .
\end{array}
\]

Если $\theta_{m}$ находится в интервале $0 \leqslant p \theta_{m}<\pi$, то интеграл по дуге должен дать в пределе $R \rightarrow \infty$ нулевой вклад; если $p \theta_{m}=$ $=\pi / 2$, то третий член в (13.27) должен быть пропорционален интегралу от действительной функции:
\[
\int_{0}^{\infty} x^{j} e^{i x^{p}} d x=e^{i(j+1 / p) \pi / 2} \int_{0}^{\infty} R^{l} e^{-R^{p}} d R .
\]

Подстановка $y=R^{p}$ приводит (13.28) к виду
\[
\int_{0}^{\infty} x^{j} e^{ \pm i x^{p}} d x=e^{ \pm i\left(\pi_{i} 2\right)(j+1) / p} \frac{1}{p} \Gamma\left(\frac{j+1}{p}\right),
\]

где $\Gamma(n)=\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x} d x$ – стандартная $\Gamma$-функция. Порядок величин этих выражений – единица при $p>0, j \geqslant 0$.

Выражения (13.24) и (13.25) содержат полезную информацию об относительном вкладе различных частей $\psi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ и $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ в быстро осциллирующий интеграл:
– при фиксированном $p$ члены с бо́льшими $j$ дают меньший вклад в значение интеграла. Когда $\lambda \rightarrow 0$, основной вклад вносит главный член разложения в ряд Тейлора функции $\psi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ в окрестности $x^{0}$;
– интеграл $I_{ \pm}(j=0, p)$ принимает значения
\[
\begin{aligned}
I_{ \pm}(0,1) & =0, \\
I_{ \pm}(0,2) & =\pi^{1 / 2} e^{ \pm i \pi / 4} \\
I_{ \pm}(0, p) & =2 e^{ \pm i \pi / 2 p} \Gamma\left(1+\frac{1}{p}\right), p \text { четное, } \\
& =2 \cos \frac{\pi}{2 p} \Gamma\left(1+\frac{1}{p}\right), p \text { нечетное; }
\end{aligned}
\]
– зависимость амплитуды от длины волны на ростке катастрофы имеет вид
\[
A \sim k^{\sigma}, \sigma=\frac{1}{2}-\frac{1}{p} \text { для } A_{p-1} .
\]

Аналогичным образом исследуются остальные ростки катастрофы. Выбирая масштабы для аргументов $x^{\prime}=k^{\alpha} x, y^{\prime}=k^{\beta} y$, можно получить зависимость от длины волны из интеграла Френеля для ростка катастрофы $D_{p}(x, y)=x^{2} y+y^{p-1}$ :
\[
\begin{array}{c}
k^{2 / 2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i k\left(x^{2} y+y^{p-1}\right)} d x d y= \\
=k^{1-\alpha-\beta} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i k y^{p-1}} d\left(k^{\beta} y\right) \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i k x^{2} y} d\left(k^{\alpha} x\right) .
\end{array}
\]

Из размерности аргументов следует, что $\beta(p-1)=1,2 \alpha=$ $=\beta=1$, и интеграл принимает вид
\[
\begin{aligned}
& k^{2 / 2} \int_{-\infty}^{+\infty} \int^{i k D_{p}(x, y)} d x d y= \\
= & k^{(p-2) / 2(p-1)} \int_{-\infty}^{+\infty} \int^{i, D_{p}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)} d x^{\prime} d y^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Вывод. Интеграл Френеля для ростков элементарной катастрофы может быть представлен в виде произведения двух сомножителей, один из которых $\left(k^{\sigma}\right)$ зависит от физических свойств через длину волны $\lambda$, а другой (интегральный) – от геометрии и безразмерных комплексных чисел
\[
k^{l / 2} \int e^{i k \mathrm{CG}(l)} d^{l} x=k^{\sigma} \int e^{i \mathrm{CG}(l)} d^{l} x^{\prime}=k^{\sigma} I[\mathrm{CG}(l)] .
\]

Индекс $\sigma$ и значение этих интегралов для ростков элементарной катастрофы сведены в табл. 13.1.
$\diamond \diamond \diamond$ Для быстро осциллирующего интеграла вида (13.9) с $\psi=1$ вклад окрестности критической точки кратности $\mu$ может быть представлен в виде асимптотического разложения
\[
A \sim \sum_{\alpha, x} C_{a, x^{\lambda}} \lambda^{n / 2-\alpha}(\ln \lambda)^{x},
\]

где $0 \leqslant x \leqslant n-1^{2}$.