Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
До сих пор мы обсуждали вклад в значение интеграла от быстро осциллирующей функции окрестности некритической точки (13.13) и критической точки Морса (13.17), причем в первом случае он был нулевым, а во втором — конечным. Это дает основания предположить, что вклад окрестности неморсовской критической точки будет расходящимся и такие критические точки будут тесно связаны с каустиками, Пусть $x^{0}$ — неморсовская критическая точка функции $\boldsymbol{\Phi}(x ; \boldsymbol{\Omega})$. Тогда с помощью гладкой замены переменных Ф можно привести к каноническому виду (2.4) При этом вклад окрестности точки $x^{0}$ в интеграл от быстро осциллирующей функции выражается следующим образом: где $J\left(x^{0}\right)$ — якобиан преобразования, приводящего к каноническому виду (13.18) в точке $x^{0}$. Интеграл по морсовским областям в (13.19) представлен в (13.17) так, что остается лишь вычислить вклад, вносимый за счет ростка катастрофы СG( $l$ ) с $l$ переменными. Оценка и вычисление таких интегралов могут быть выполнены соответственно путем анализа размерностей и комплексного анализа. Проиллюстрируем эти методы для одномерного случая. Предположим, что $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ и $\psi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ имеют вид Здесь остаточный член $\Phi_{r}(x ; \boldsymbol{\Omega})$ определяется разложением в ряд Тейлора в окрестности точки $x^{0}$. Для $\left|x-x^{0}\right| \ll 1$ члены $\left|x-x^{0}\right|^{p}$ с более низкими степенями меняются значительно быстрее членов $\left|x-x^{0}\right|^{p}$ с более высокими степенями $(p<q)$. Поскольку по существу мы имеем дело с быстрым изменением тригонометрических членов в быстро осциллирующих интегралах, достаточно рассмотреть лишь главный ненулевой член в $\boldsymbol{\Phi}_{r}(x ; \mathbf{\Omega})$ : В результате имеем Эти интегралы удобно вычислять, используя подстановку $y=$ $=k^{1 / p}|\gamma|^{1 / p}\left(x—x^{0}\right)$. Пределами интегрирования будут Если $\lambda$-длина волны и размер окрестности интегрирования $\varepsilon$ таков, что $\lambda^{1 / p} \ll \varepsilon$, то пределы интегрирования преобразованного интеграла удобно расширить до $\pm \infty$ без заметного искажения значения интегралов: Рис. 13.4. Интеграл (13.25) можно оденить, вычисляя комплексный интеграл (13.26) вдоль трех участков показанного на рисунке секторообразного контура. вой части в виде двух сомножителей — физического и геометрического. Физический сомножитель $k^{\sigma}$ определяет зависимость амплитуды от длины волны. Геометрический сомножитель (13.25) может быть вычислен методом контурного интегрирования. взятый по контуру, показанному на рис. 13.4, равен нулю, поскольку в области, ограниченной контуром, нет полюсов, и может быть записан в виде суммы интегралов по двум отрезкам прямых и дуге Если $\theta_{m}$ находится в интервале $0 \leqslant p \theta_{m}<\pi$, то интеграл по дуге должен дать в пределе $R \rightarrow \infty$ нулевой вклад; если $p \theta_{m}=$ $=\pi / 2$, то третий член в (13.27) должен быть пропорционален интегралу от действительной функции: Подстановка $y=R^{p}$ приводит (13.28) к виду где $\Gamma(n)=\int_{0}^{\infty} x^{n-1} e^{-x} d x$ — стандартная $\Gamma$-функция. Порядок величин этих выражений — единица при $p>0, j \geqslant 0$. Выражения (13.24) и (13.25) содержат полезную информацию об относительном вкладе различных частей $\psi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ и $\Phi(x ; \boldsymbol{\Omega})$ в быстро осциллирующий интеграл: Аналогичным образом исследуются остальные ростки катастрофы. Выбирая масштабы для аргументов $x^{\prime}=k^{\alpha} x, y^{\prime}=k^{\beta} y$, можно получить зависимость от длины волны из интеграла Френеля для ростка катастрофы $D_{p}(x, y)=x^{2} y+y^{p-1}$ : Из размерности аргументов следует, что $\beta(p-1)=1,2 \alpha=$ $=\beta=1$, и интеграл принимает вид Вывод. Интеграл Френеля для ростков элементарной катастрофы может быть представлен в виде произведения двух сомножителей, один из которых $\left(k^{\sigma}\right)$ зависит от физических свойств через длину волны $\lambda$, а другой (интегральный) — от геометрии и безразмерных комплексных чисел Индекс $\sigma$ и значение этих интегралов для ростков элементарной катастрофы сведены в табл. 13.1. где $0 \leqslant x \leqslant n-1^{2}$.
|
1 |
Оглавление
|