Для описания физической системы введем общее семейство потенциальных функций $V(x ; c)$, зависящих от $n$ переменных состояния или параметров порядка $x \in \mathbb{R}^{n}$ и $k$ управляющих параметров $c \in \mathbb{R}^{k}$. Предположим далее, что состояние физической системы описывается значением $x$, минимизирующим потенциальную функцию, по крайней мере, локально. Тогда изучение такой физической системы сводится к изучению равновесия и локальной устойчивости потенциальной функции $V(x ; c)$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial V}{\partial x_{i}}=0 \text { – равновесие, } \\
\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{i} \partial x_{j}}>0 \text { – локальная устойчивость, }
\end{array}
\]

и критических значений на ветвях устойчивого равновесия.
Вообще говоря, почти для всех $c \in \mathbb{R}^{k}$ потенциальная функция $V(x ; c)$ будет иметь только изолированные критические точки $x^{(1)}, \ldots, x^{(p)}, \ldots$. Первое из уравнений (10.1) состоит из $n$ уравнений состояния и может быть использовано как для определения положения изолированных критических точек, так и для выявления их зависимости от управляющих параметров $c$ [см. (5.2)]:
\[
x^{(p)}=x^{(p)}(c), \quad p=1, \ldots .
\]

Локальная устойчивость $p$-й критической точки определяется видом матрицы устойчивости в точке $\left(x^{(p)}(c) ; c\right)$. Фазовый переход происходит в тот момент, когда точка $x \in \mathbb{R}^{n}$, описывающая состояние физической системы, перескакивает с одной критической ветви на другую.

Фазовые переходы могут происходить при изменении значений управляющих параметров. Обычно предполагается (или это действительно имеет место), что управляющие параметры зависят всего лишь от одного параметра (например, времени), и именно этот параметр используется для описания кривой фазового перехода (кривой равновесия) в пространстве управляющих параметров:
\[
\begin{array}{c}
c_{\alpha} \rightarrow c_{\alpha}(s), \quad s \in \mathbb{R}^{1}, \\
x^{(p)}\left(c_{\alpha}\right) \rightarrow x^{(p)}\left(c_{\alpha}(s)\right) \rightarrow x^{(p)}(s), \\
V^{(p)}\left(x^{p}(c) ; c\right) \rightarrow V^{(p)}\left(x_{i}^{(p)}(s) ; c_{\alpha}(s)\right) \rightarrow V^{(p)}(s) .
\end{array}
\]

Фазовый переход имеет месго, когда кривая $c_{\alpha}(s) \in R^{k}$ пересекает соответствующую компоненту соответствующей сепаратрисы в $\mathbb{R}^{k}$. Если придерживаться принципа максимального промедления, то фазовые переходы произойдут, когда данная кривая пересечет компоненту бифуркационного множества $\mathscr{P}_{B}$, на которой возникают и исчезают локальные минимумы. Если же придерживаться принципа Максвелла, то можно утверждать, что фазовые переходы будут иметь место при пересечении кривой равновесия компоненты максвелловского множерождены.

Часто оказывается удобным описывать фазовые переходы в соответствии с классификацией Эренфеста. Предположим, что фазовый переход происходит из-за того, что состояние системы перескакивает с $p$-й на $q$-ю критическую ветвь при $c_{\alpha}\left(s^{0}\right)$, когда $s$, возрастая, достигает значения $s^{0}$. В этом случае имеет место переход $m$-го рода, если
\[
\left.\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{d^{i}}{d s^{i}} V^{(p)}(s)\right|_{s^{0}-\varepsilon}=\left.\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{d^{i}}{d s^{i}} V^{(q)}(s)\right|_{s^{0}+8}, \quad i=0,1, \ldots, m-1,
\]

и это равенство не выполняется при $i=m$. Фазовый переход называют локальным, или мягким, если
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\left[x^{(p)}\left(s^{0}-\varepsilon\right)-x^{(q)}\left(s^{0}+\varepsilon\right)\right]=0 .
\]

В противном случае переход называют нелокальным, или жестким. Обычно в физических явлениях, наблюдаемых в природе, фазовые переходы имеют нулевой, первый или второй род. Если это не так, то они не укладываются в схему классификации Эренфеста.