В данной главе была показана практическая эффективность «принципа лома», с помощью которого можно получить много полезной информации, рассматривая точки с «плохим» поведением.

Для функции, у которой большинство точек $x \in \mathbb{R}^{n}$ не являются критическими, найдено, что именно критические точки организуют глобальную качественную топографию,

Для случая семейств функций, где большинство точек $c \in \mathbb{R}^{k}$ параметризует морсовские функции, установлено, что именно сепаратриса, параметризующая неморсовские функции, организует качественные изменения семейства. Внутри открытой области $\mathbb{R}^{k}$ на некотором расстоянии от сепаратрисы малые изменения в управляющих параметрах вызывают незначительные изменения положения критических точек, их главных направлений и соответствующих сил (собственных значений); эти возмущения не вызывают качественных изменений в поведении функций, параметризуемых рассматриваемой областью $\mathbb{R}^{k}$.

В случае неморсовской критической точки $\left(x^{0} ; c^{0}\right.$ ) центральной точкой для «лома» является соответствующий росток катастрофы. Возмущение функции в неморсовской критической точке не преподносит качественных сюрпризов до тех пор, пока рассматривается морсовская часть канонической формы. Качественные изменения возникают только при возмущении ростка катастрофы. Поскольку ростки и их возмущения являются каноническими, изучение сепаратрисы достаточно провести лишь один раз.

Построены сепаратрисы пространства управляющих параметров для элементарных катастроф типа $A_{2}, A_{3}, A_{4}, D_{+4}$ и $D_{-4}$. Сепаратриса в $\mathbb{R}^{k}$ состоит из многообразий размерностей $k-1$, $k-2, \ldots$. В каждом случае (и для остальных элементарных катастроф также) сепаратриса разбивает пространство $\mathbb{R}^{k}$ на некоторое число открытых областей. Каждая открытая область является связной и параметризует функции одного и того же качественного типа. Открытые области всюду плотны в $\mathbb{R}^{k}$, в том смысле, что их замыкание совпадает со всем пространством. Это значит, что любая функция из семейства катастроф (независимо от того, имее́т ли она вырожденные критические точки или нет) может быть аппроксимирована с любой наперед заданной точностью морсовскими функциями.

Проведено фактическое сведение функции, параметризуемой точкой сепаратрисы, к канонической форме (2.3б). В случае ростка $D_{ \pm 4}$ очевидно присутствие катастроф складки, так как $D_{ \pm 4}$ содержит члены третьей степени, однако совершенно не ясно, каким образом появляются катастрофы сборки (каким образом мы можем получить квартики из кубиков). Но фактическое сведение к канонической форме может потребовать и нелинейной замены переменных. Это и рассеивает наше недоумение.

Ради завершенности изложения была рассмотрена сепара триса в $\mathbb{R}^{k}$ другого типа – так называемое множество Максвелла. Его точки параметризуют функции с вырожденными критическими значениями. Бифуркационное множество $\mathscr{P}_{B}$ и множество Максвелла $\mathscr{P}_{M}$ определяются соответственно посредством следующих уравнений бифуркации и уравнений Клаузиуса –

Клапейрона:
\[
\begin{aligned}
\mathscr{P}_{E}: \quad
abla V & =0, \\
\mathscr{F}_{N}: \quad \operatorname{det} V_{i j} & =0, \\

abla V & =0, \\
V^{(p)}-V^{(p+1)} & =0, \\
\mid\left[V_{\alpha}^{(p)}-V_{\alpha}^{(p+1)}\right] \delta c^{\alpha} & =0 .
\end{aligned}
\]

В приложениях важнность сепаратрисы зависит от принимаемых допущений: еслі прфименяется принцип максимального промедления, то важно $\mathscr{P}_{\mathscr{E}}$, если же принцип Максвелла, то $\mathscr{P}_{M}$.

В заключение ометтим, что преобразования с изменением масштаба явились чрезввычайно полезным средством при построении сепаратрис и ие:зучении их свойств.