Подобные представления катастроф позволяют выяснить, как выглядят и что разделяют сепаратрисы в пространстве управляющих параметров, какими будут неморсовские функции на каждой компоненте сепаратрисы и, наконец, какова качественная природа морсовских функций, параметризуемых точками любой из открытых областей пространства управляющих параметров при условии, что $k>3$.
3.1. Катастрофы, имеющие единственную «плохую» переменную состояния ( $l=1$ )
Рассмотрим сначала катастоофы типа $A_{k}$. При универсальной деформации $k$-кратная вырожденная критическая точка может расщепиться самое большее на $k$ изолированных точек. Так как катастрофы типа $A_{k}$ имеют всего лишь одну переменную состояния, то положение этих критических точек может быть отмечено кружочками вдоль оси $x$. Поскольку кривизна в локальном минимуме положительна, то поставим внутри кружочка

Рис. 7.2. Диаграммное представление катастрофы $A_{k}$, имеющей одну переменную состояния. Қак видно, в случае $l=0$ могут иметь место только максимумы $\ominus$ и минимумы $\oplus$.

знак $\oplus$; для изображения локальных максимумов используем символ $\Theta$ (рис. 7.2 ).

Прежде чем получить диаграммное представление катастрофы $A_{k}$ (рис. 7.2), примем следу:ощие соглашения:
1. На диаграммном представлении не указывается ось $x$.
2. С помощью стрелок показывают, какой из максимумов в какой из минимумов может «втекать».
3. Поскольку максимумы и минимумы выделены специальными символами, нет необходимости указывать направление потока.
С учетом этих соглашений построены диаграммы

последняя из которых является диаграммным представлением катастрофы $A_{k}(k=4)$.
Для четного $k$ диаграммы

представляют качественно подобные функции (относительно замены $x \rightarrow-x$ ). Иначе говоря, одна диаграмма может быть преобразована в другую путем вращения в плоскости $(x, y)$. Для нечетного $k$ диаграммы

представляют качественно различные функции $\left(A_{ \pm k}= \pm x^{k+1}+\right.$ $+\ldots$. .

Если теперь рассмотреть 1-параметрическую кривую в пространстве управляющих параметров, то при ее пересечении с некоторой ( $k-1)$-мерной компонентой сепаратрисы типичным образом будут встречаться лишь неморсовские критические точки типа складки. В месте пересечения локальные максимум и минимум совпадают и уничтожают друг друга. Подобное может случиться $k-1$ различными спосојами, как показано ниже для $A_{4}$ :

Если мы имеем двумерные говерхности в пространстве $\mathbb{R}^{k}$, то они будут пересекать ( $k-1$ )-мерные компоненты сепаратрисы по одномерным кривым складок, а ( $k-2$ ) -мерные компоненты сепаратрисы в изолированных точках. Последние представляют катастрофы сборки либо пары катастроф складки. Именно эти возможности изображены для катастрофы $A_{4}(7.18)$.

Аналогичным образом можно определить всче компоненты сепаратрисы и установить, каким образом они соединяются вместе. Из изображенной выше диаграммы для катастрофы $A_{4}$ можно видеть, что существует 0 -мерная компонента (начало координат пространства $\mathbb{R}^{3}$ ), параметризующая функцию $x^{5}$, имеющую четырехкратно вырожденную критическую точку в начале координат $x=0$. Одномерные кривые катастрофы сборки и одна одномерная кривая, представляющая пару катастроф складки, исходят из начала координат пространства $\mathbb{R}^{3}$. Имеется в точности три двумерные компоненты сепаратрисы, представляющие катастрофы складки. Пересечение «внешних» поверхностей дает линию из пары складок, и это ясно видно как на диаграмме (7.18), так и на рис. 5.6.

С помощью диаграммных методов могут быть определены открытые области в пространстве управляющих параметров, описывающие различные типы структурно устойчивых семейстз
морсовских функций и разделенные одна от другой компонентами сепаратрисы. Рассмотрим в качестве примера катастрофу $A_{4}$. Когда 1 -параметрическая кривая в пространстве управляющих параметров начинается в открытой области, содержащей максимальное количество изолированных критических точек, и проходит через некоторую двумерную компоненту сепаратрисы, то соответствующая катастрофа складки может включать совпадение и исчезновение двух критических точек. На диаграмме это можно представить следующим образом:

Следовательно, переход сквозь любую двумерную компоненту сепаратрисы ведет в открытую область пространства $\mathbb{R}^{3}$, описывающую функции с двумя изолированными критическими точками. Из такой области можно пройти через другую катастрофу складки в открытую область, описывающую функции, совсем не имеющие критических точек. Это может быть изображено следующей диаграммой:

В такую область можно попасть также и из области, содержащей четыре изолированные тотки, с помощью перехода через кривую, представляющую пару катастроф складки, как это изображено на диаграмме (7.21).

Короче говоря, пространство $\mathbb{R}^{3}$ разбивается сепаратрисой на три открытые области, и эти области описывают устойчивые семейства функций, имеющие четыре, две и нуль критических точек. Представление пространства управляющих параметров $\mathbb{R}^{3}$ для катастрофы $A_{4}$ дано на рис. 5.6, а в этом разделе оно синтезировано на рис. 7.3 и 7.4 .
$\diamond \diamond \diamond$ Эту диаграммную схему для определения открытых областей пространства управляющих параметров $\mathbb{R}^{k}$ можно было бы назвать методом стягивания, так как при этом происходит «стягивание вместе смежных» критических точек в катастрофах складки.
3.2. Катастрофы, имеющие две «плохие» переменные состояния ( $l=2$ )
C небольшими модификациями диаграммное представление может быть распространено на катастрофы, имеющие две «плохие» переменные. Перечислим основные правила построения диаграмм:
– изолированные критические точки распределяются в плоскости $(x, y)$;
– локальные минимумы, седла и локальные максимумы изображаются при помощи следующих символов: $\oplus$-локальный минимум, $\mathrm{O}$ – седло, $\ominus$ – локальный максимум;
– критические точки связываются посредством линии, если линия потока градиентной системы связывает их. Максимум может втекать в седло или минимум, а седло может втекать в некоторый минимум; седла не могут быть связаны ${ }^{1}$ );
– вырожденность неморсовской критической точки представляется числом, т. е. 2 – дважды вырожденная, 3 – трижды вырожденная;
– катастрофы складки могут встречаться лишь при «стягивании» седла с одним из максимумов или минимумов;
– все возможные диаграминые представления катастрофы могут быть получены путем выбора возмущения, приводящего к максимальному числу изолированных критических точек;
1) Связанность седел является структурно неустойчивой.

Рис. 7.3. Диаграммный метод позволяет осуществить организацию пространства управляющих параметров $\mathbb{R}^{3}$ катастрофы $A_{4}$ в открытые области, представляющие структурно устойчивые функции, и в компоненты сепаратрисы различных размерностей.

Рис. 7.4. Взаимосвязь между диаграммным методом и трехмерной организацией пространства для катастрофы $A_{+4}$.

– компоненты сепаратрисы и структурно устойчивые морсовские семейства, представляемые открытыми множествами, могут быть определены при помощи метода стягивания.
$\diamond \diamond \diamond$ Катастрофы типа $A_{k}$ могут быть представлены как функции двух переменных состояния, к которым прибавлен квадратичный член от $y: F(x, y)=x^{k+1}+$ Возмущение $x \pm y^{2}$.

Если мы выберем сложение $c+y^{2}$, то одномерные минимумы на оси $x$ становятся минимумами на плоскости $x-y$, в то время как локальные максимумы становятся седлами на плоскости $x-y$, так что имеет место диаграмма

Одномерная цепь из $k$ изолированных точек (чередующихся минимумов и седел $\left(A_{k}+y^{2}\right.$ ) или чередующихся максимумов и седел $-\left(A_{k}+y^{2}\right)$ ) представляет катастрофу типа $A_{k}$.

Для серии катастроф $D_{k}$ было показано, что $D_{k}
eq D_{-k}$, если $k$ четно, хотя $D_{-k} \doteq-D_{k}$, если $k$ нечетно. Рассмотрим каждый из этих случаев:

Общая диаграмма имеет структуру

Общая диаграмма имеет структуру

Общая диаграмма имеет структуру

Класс диаграмм с нечетным $p$ и четным $q$ представляет $-D_{2 k+1} \doteq D_{-(2 k+1)}$, как это может быть показано вращением общей диаграммы на $180^{\circ}$.

Диаграммные представления особых катастроф $E_{ \pm 6}, E_{7}, E_{8}$ общеизвестны и перечислены в табл. 7.1, в которой также собраны диаграммные представления катастроф типа $D_{k}$ и $A_{k}$. Последние представлены на основе их диаграмм в плоскости $(x, y)$, следуя соглашению (7.22).

Используя информацию, содержащуюся в табл. 7.1, можно легко осуществить разбиение пространства управляющих параметров на открытые множества и определить компоненты сепаратрисы различных размерностей. Размерность компоненты сепаратрисы равна $k-\sum\left(\mu_{i}-1\right)$ [суммирование производится по вырожденным критическим точкам, а $\mu_{i}$ есть вырожденность $i$-й вырожденной критической точки [ср. с (7.18)]. Открытые множества параметризуют классы структурно устойчивых функций, которые могут быть получены стягиванием. Два различных открытых множества являются смежными, т. е. разделяются компонентой сепаратрисы, если обе невырожденные диаграммы могут быть стянуты к вырожденной диаграмме, описывающей эту компоненту сепаратрисы.

Пример 1: $\boldsymbol{D}_{+4}$. Из табл. 7.1 следует, что открытая область $\mathbb{R}^{3}$, описывающая функции с максимальным числом изолированных критических точек, имеет следующее диаграммное представлениє:

Представления других открытых областей могут быть получены посредством стягивания максимума и седла или минимума и седла:

Аналогично могут быть стянуты две оставшиеся точки, давая открытое семєйство функций, не имеющих критических точек. Қривая сборок $A_{+3}$ может быть получена посредством стягивания двух седел и максимума. Кривые других сборок, например $A_{-3}$, получаются стягиванием двух седел и минимума. Две кривые в сепаратрисе, соответствующей компоненте (2)(2), представляют самопересечение. Эти элементарные рассмотрения приводят к разбиению пространства $\mathbb{R}^{3}$, топологически эквивалентному разбиению, изображенному на рис. 5.11 и полученному значительно более трудоемким методом. Пример 2: $\boldsymbol{D}_{-4}$. Из табл. 7.1 находим, что открытые области пространства $\mathbb{R}^{3}$, описывающие функции с максимальным числом изолированных точек, имеют следующие диаграммные представления:

Вид этих диаграмм сразу же подсказывает, что должна быть симметрня вращения ранее олисанного вида (гл. 5, разд. 7). 2-мерные компоненты сепаратрисы типа складки определяются посредством стягивания экстремума и седла:

a 1-мерные компоненты сборки посредством стягивания трех критических тсчек:

Открытые множества, представляющие структурно устойчивые функции и имеющие менее чем четыре критические точки, получаются продолжением стягивания складок [см. (7.25) и (7.30ј].

Короче говоря, существуют три открытые области, характеризующие функции следующих трех типов:

Открытая область, описывающая функции с двумя седлами, граничит с двумя другими открытыми областями через 2 (1 и 0)-мерные компоненты сепаратрисы. Однако два различных открытых множества, описывающие функции с четырьмя критическими точками, не являются примыкающими, за исключением начала координат, так как едннственное стягивание, которое у них общее – это (4) :

Проведенное рассмотрение непосредственно приводит к разбиению пространства $R^{3}$ управляющих параметров катастрофы $D_{-4}$, топологически эквнвалентному разбиению, изображенному на рис. 5.17.

Таблица 7.1. Диаграммное и контурное представления элементарных катастроф

Продолжение

Продолжение