Физическая система может быть задана скорее посредством вероятности $P(x)$, определенной над пространством переменных состояния, чем посредством изолированной точки («распределения») в пространстве переменных состояния. Такая система характеризуется моментами функции распределения
\[
1=\int P(x) d x, \quad\left\langle x_{i}\right\rangle=\int x_{i} P(x) d x, \quad\left\langle x_{i} x_{j}\right\rangle=\int x_{i} x_{j} P(x) d x .
\]

Из этих моментов наиболее важными для нас являются среднее значение (первый момент) $\left\langle x_{i}\right\rangle$ и ковариация
\[
\left\langle\Delta x_{i} \Delta x_{j}\right\rangle=\left\langle\left(x_{i}-\left\langle x_{i}\right\rangle\right)\left(x_{j}-\left\langle x_{j}\right\rangle\right)\right\rangle=\left\langle x_{i} x_{j}\right\rangle-\left\langle x_{i}\right\rangle\left\langle x_{j}\right\rangle .
\]

Если теперь такая физическая система ассоциируется с потенциальной функцией $V(x, c)$, заданной над пространством $\mathbb{R}^{n}$ переменных функций состояния $x$ и зависящей от управляющих параметров $c \in \mathbb{R}^{k}$, то не зависящая от времени вероятностная функция распределения часто связана с потенциальной функцией простым экспоненциальным путем:
\[
P(x ; c)=N e^{-V(x ; c) / D},
\]

где $N$-константа нормализации, а $D$-положительная константа диффузии [ср. с (8.4)].

Қак правило, константа $D$ мала. В этом случае выделяется самый глубокий минимум $V(x ; c)$. Если самый глубокий минимум является морсовской критической точкой в $x=x^{0}$, то
\[
P(x ; c) \simeq N e^{-V_{i j}\left(x-x^{0}\right)_{i}\left(x-x^{0}\right)_{j} / D} .
\]

Дисперсия в этой критической точке может быть вычислена с помощью формулы (9.12). Эти вычисления несколько проще, когда потенциал $V$ в окрестности точки $x^{0}$ приведен к каноническому виду. Это может быть сделано, поскольку операция приведения к диагональному виду $V_{i j} \Delta x_{i} \Delta x_{j}$ коммутирует с операцией взятия экспоненты. Следовательно, в случае
\[
P(x ; c) \simeq N e^{-\Sigma \lambda_{i}\left(x_{i}-x_{i}^{0}\right)^{2} / D}
\]

дисперсия равна
\[
\left\langle\Delta x_{i} \Delta x_{j}\right\rangle=\frac{1}{2} \delta_{i j} \frac{D}{\lambda_{j}} .
\]

Так как $D$ мало, то дисперсия также мала, если только одно из собственных значений матрицы $V_{i j}$ не является малым.

Это означает, что в некоторых случаях дисперсия в окрестности неморсовской критической точки может быть большой («аномальной»). В действительности при изменении управляющих параметров $c_{\alpha}$ возможны аномалии двух совершенно раз. личных типов.
1. Минимум в точке $x^{0}$ может стать вырожденным вследствие совпадения с одной или несколькими другими критическими точками. В этом случае «плохие» переменные состояния и тип вырожденной критической точки могут быть определены следующим образом. Поскольку матрица ковариаций (9.12) является симметрической и вещественной, то ее можно привести к диагональному виду с помощью некоторого вещественного ортогонального преобразования. Это преобразование также приводит к диагональному виду и матрицу $V_{i j}$. Если дисперсия $\Delta x_{1}$ становится аномально большой после преобразования главных осей, то $x_{1}$ является «плохой» переменной состояния. В более общем виде имеем в соответствии с разложением (2.3)
\[
P\left(x ; c^{0}\right) \simeq N e^{-f_{N M} / D} \otimes e^{-f_{M} / D} .
\]

Морсовская функция дает лишь члены с нормальной малой дисперсией. Неморсовские же ростки, присутствующие в разложении (9.17), должны обязательно обладать свойством нормализуемости, т. е. функция $e^{-f_{N M^{\prime} D}}$ должна быть нормализуемой. Из простых ростков катастроф этим свойством обладают лишь $A_{+(2 n-1)}=+x^{2 n}$. Для этих ростков $\langle x\rangle=0$ и дисперсия может быть выражена посредством гамма-функции:
\[
\left\langle x^{2}\right\rangle=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} e^{-x^{2 n / D}} d x}{\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2 n / D}} d x}=D^{1 / n} \frac{\Gamma(3 / 2 n)}{\Gamma(1 / 2 n)} .
\]
2. В удаленном метастабильном минимуме $x^{\prime}$ значение потенциала может быть меньше, чем значение локального минимума в точке $x^{0}$. При $\left|V\left(x^{0} ; c\right)-V\left(x^{\prime} ; c\right)\right| \geqslant 10 D$ вероятностное распределение является пикообразным вблизи либо точки $x^{0}$, либо $x^{\prime}$ в зависимости от того, положительна или отрицательн величина $V .\left(x^{0} ; c\right)-V\left(x^{\prime} ; c\right)$. В этом случае $\left\langle x_{i}\right\rangle \simeq x_{i}\left(\right.$ или $\left\langle x_{i}\right\rangle=$

$\left.=x_{i}^{\prime}\right)$ и $\left\langle\Delta x_{i}^{2}\right\rangle \sim \frac{1}{2} D / \lambda_{i}^{0}$ (или $\left\langle\Delta x_{i}^{2}\right\rangle \sim \frac{1}{2} D / \lambda_{i}^{\prime}$ ), где $\lambda_{i}^{0}$ (или $\lambda_{i}^{\prime}$ ) соответствующее собственное значение. Однако как только наименьший минимум переходит из $x^{0}$ в $x^{\prime}$, то при изменении управляющих параметров среднее значение $\left\langle x_{i}\right\rangle$ быстро переходит от $x_{i}^{0}$ к $x_{i}^{\prime}$. Когда $V\left(x^{0} ; c\right)=V\left(x^{\prime} ; c\right)$,
\[
\left\langle x_{i}\right\rangle \simeq \frac{1}{2}\left(x^{0}+x^{\prime}\right)_{i}, \quad\left\langle\Delta x_{i}^{2}\right\rangle \simeq\left[\frac{1}{2}\left(x^{0}-x^{\prime}\right)_{i}\right]^{2} .
\]

В данном случае величина дисперсии может быть больше, чем в случае 1.
Пример. Предположим, что распределение вероятностей
\[
\begin{array}{l}
P(x ; a, b)=N e^{-V(x ; a, b) / D}, \\
V(x ; a, b)=\frac{x^{4}}{4}+\frac{a x^{2}}{2}+b x
\end{array}
\]

связано с каждой точкой ( $a, b$ ) плоскости управляющих параметров $\mathbb{R}^{2}$ катастрофы сборки (рис. 9.8).

Путь 1: $a=+1, b$ возрастает. Собственное значение $\lambda$ матрицы устойчивости $d^{2} V / d x^{2}$ как функция $b$ для $a=+1, a=0$ и $a=-1$ показано на рис. 6.5. Минимум кривизны достигается в точке $b=0$, так что наибольшая дисперсия будет при $b=0$.

Путь 2: $a=0, b$ возрастает. При $b \rightarrow 0$ кривизна также стремится к нулю и квадратичный член играет все более важную роль в удержанин функции распределения в форме острого пика, довольно размытого в окрестности точки $x=0$. Дисперсия в точке $(a, t)=(0,0)$ дается формулой $(9.18)$, из которой получаем
\[
\left\langle\Delta x^{2}\right\rangle=\sqrt{4 D} \frac{\Gamma(3 / 4)}{\Gamma(1 / 4)}=0,33799 \sqrt{4 D} .
\]

Так как $D$ по предположению мало ( $D \ll 1$ ), то $\sqrt{4 D} \gg D$ и наблюдается аномальная дисперсия в окрестности точки $(a, b)=(0,0)$.

Путь $^{2}: a=-1, b$ возрастает. Для значения $b$, лежащего вне области формы сборки, существует один миннмум, и для малого $D\langle x\rangle=x_{c}$ явля. ется достаточно хорошей аппроксимацией. Для значений $b$, расположенных внутри критической области потенциала $V$, имеются три критических значения, но только глубочайший из двух миннмумов является для нас важным при $|b| \geqslant 10 D$. Когда $b$ проходит через значение нуль, глубочайший минимум соответствует уже отрицательному, а не положительному корню уравнения $d V / d x$. Следует быстрый переход $\langle x\rangle$ от положительного к отрицательному значению в соответствии с вышерассмотренным случаем 2. Этот быстрый переход тесно связан с очень большой аномалией дисперсии.

Путь 4: $a$ убывает, $b=0$. При $a>0$ потенциал $V$ имеет минимум в точке $x=0$, и $\langle x\rangle=0,\left\langle x^{2}\right\rangle=D / 2 a$. Когда $a \rightarrow 0^{+}$, дисперсия возрастает и квадратичный член в усечении дисперсии становится все более важным, что и было описано выше. В точке $(a, b)=(0,0)$ значение дисперсии дается формулой (9.21). При $a<0$ потенциал $V$ имеет два симметрично расположенных минимума: $x=-\sqrt{-a}$ и $x=+\sqrt{-a}$. В силу симметрии $\langle x\rangle=0$, и приблизительное. значение дисперсик дается величиной $(2 \sqrt{-a} / 2)^{2}=|a|$ в соответствии с формулой (9.19).

Рис. 9.8. Среднее знатение $\langle x\rangle$ и дисперсия $\left\langle\Delta x^{2}\right\rangle$ как функции расстояний вдоль четырех путей в плоскости $R^{2}$ управляющих параметров катастрофы сборки. Среднее значение берется относительно не зависящего от времени распределения вероятностей $(9.20)$.
$\diamond \diamond \diamond$ На протяжении всего этого раздела мы игнорировали вопрос о шкале времени, предположив существование асимптотической не зависящей от времени функции распределения вероятностей. Однако подобное предположение оказывается не всегда обоснованным, и поэтому необходимо соответствующим образом модифицировать описание, приведенное в случаях 1 (9.6) и 2 (9.9). Если функция распределения вероятностей

Рис. 9.9. Туннельная шкала времени $T_{2}$ для бимодальных путей 3 и 4, изображенных на рис. 9.8 .

рассматриваемой системы подчиняется уравнению диффузионного типа, то дисперсия типа (9.16) может наблюдаться во временной шкале $T_{1}$, а дисперсия типа (9.19) – во временной шкале $T_{2}$ [см. (8.31)]. Временная шкала $T_{1}$ изображена на рис. 9.6 для путей 1,2 и 3. Временная шкала $T_{2}$ для состояния равновесия между двумя изолированными минимумами существует лишь в случае путей 3 и 4 (рис. 9.9). Наименьшая аномальная дисперсия (9.16) наблюдается на быстрой временной шкале $T_{1}$, наибольшая (9.19) – на более медленной временной шкале $T_{2}$. Довольно часто временная шкала, которая используется в экспериментах, лежит между $T_{1}$ и $T_{2}$. В этом случае дисперсия, ассоциированная с любым одиночным экспериментом, описывается формулой (9.16). Для того чтобы выявить большие аномалии дисперсии типа (9.19), необходимо усреднить результаты многих экспериментов. Иллюстрируем это посредством рассмотрения цикличного пути ( $a=-1, b(t)=$ $=-b \cos \omega t)$ в пространстве управляющих параметров (рис. 9.10). Если $T_{1}^{-1} \gg \omega \gg T_{2}^{-1}$, то система движется по петле гистерезиса, как это изображено на рис. 9.4 и 9.10. Среднее значение $\bar{x}=\langle x\rangle$ и дисперсия $\left\langle(x-\bar{x})^{2}\right\rangle$ как функции времени вдоль одного цикла $\tau=2 \pi / \omega$ представлены на рис. 9.10. Можно

Рис. 9.10. На рисунке проиллюстрировано поведение среднего значения и дисперсии на временной шкале, в которой проводится эксперимент, и метод, используемый для обработки данных, именно в этой последовательности.
$a$ – циклический путъ, проходимый в пространстве управляющих параметров катастрофы сборки. Экспериментальная временная шкала $\omega^{-1}$ подчиняется условию $T_{2} \gg \omega^{-1} \gg T_{1}$; 6 – система, описывающая петлю гистерезиса; $\theta$ – изменение пернодического среднего значения $\langle x\rangle$ и дисперсии $\left\langle\Delta x^{2}\right\rangle$ с частотой $\omega / 2 \pi$; $z$ – если данные отобраны в соответ. ствии с тем, является ли $b$ возрастающим нли убывающим, то аномальная дисперсия имеет нзображенный на рисунке вид. Для возрастающего $b$ дисперсия аномально большая вблизи правосторонней линии складки. Когда же $b$ убывает, дисперсия становится аномально большой вблизи левосторонней компоненты бифуркационного множества; $\partial$ – если не делать различия между взятыми данными с $\vec{b}>0$ и $b<0$, то $<x>$ не является больше бимодальюон, а дисперсия вокруг множества Максвелла становится огромной. Эти веплески чрезмерной цнсперсии выравниваются аномально большой дисперсией, связанной с бнфуркационным множеством.

изобразить их графически как функции управляющего параметра $b$ при условии, что мы различаем пути с возрастающим $b$ и пути с убывающим $b$ (рис. 9.10,b). Аномальная дисперсия типа (9.18) встречается лишь на линии складки, и в этом случае она связана с временно́й шкалой $T_{1}$. Однако если мы вычислим среднее и дисперсию посредством усреднения результатов всех экспериментов, где каждый единичный эксперимент проводится в интервале времени длины $\pi / \omega$ с $\hat{t} \geqslant 0$ или $\hat{f} \leqslant 0$, то в этом случае мы будем иметь аномальную дисперсию, свя-

Рис. 9.11. В обычных лабораторных условиях физическая система, следуя по пути 4 (рис. 9.8), останавливается либо в левостороннем, либо в правостороннем минимуме.

занную со временной шкалой $T_{2}$, которая встречается в бифуркационном множестве в предположении принципа Максвелла. $\diamond \diamond \diamond$ Функции распределения при применении принципа максимального промедления проявляют феномен критического замедления при приближении к бифуркационному множеству. Это следует из анализа (8.9).
$\diamond \diamond \diamond$ Когда путь 4 (рис. 9.8) наблюдается в лабораторном эксперименте, обычно происходит следующее. При $0<a$ состояние системы определяет либо левосторонний, либо правосторонний минимум. Связанная с этим функция распределения вероятностей равна $P_{l}(x) \simeq N e^{-V_{l}(x) / D}$ или $P_{r}(x) \simeq N e^{-V_{r}(x) / D}$, где $V_{l}(x)=|a|(x+\sqrt{-a})^{2}$, a $V_{t}(x)=|a|(x-\sqrt{-a})^{2}$. Соответствующие среднее и дисперсия изображены на рис. 9.11. Қак только один из двух минимумов выбран, туннельное время $T_{2}$ до другого минимума оказывается слишком большим по сравнению с лабораторной шкалой времени. Если усреднить по различным экспериментам; то среднее и дисперсия ведут себя так, как это изображено на рис. 9.8. Это явление наблюдается, например, когда образец из железа охлаждается ниже температуры Кюри. Между повторяющимися экспериментами намагничивание готово идти «вверх» так же часто, как и «вниз». Дисперсия среднего «вверх» мала, что также обычно и для направления «вниз». Если результаты всех экспериментов усредняются, то среднее намагничивание равно нулю, а дисперсия громадна. Потеря точности в направлении намагничивания сама по себе может служить примером явления расходимости (разд. 4).
$\diamond \diamond \diamond$ В классической термодинамике аномалия дисперсии, связанная с ростком катастрофы складки, называется критической опалесценцией.