Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Физическая система может быть задана скорее посредством вероятности $P(x)$, определенной над пространством переменных состояния, чем посредством изолированной точки («распределения») в пространстве переменных состояния. Такая система характеризуется моментами функции распределения Из этих моментов наиболее важными для нас являются среднее значение (первый момент) $\left\langle x_{i}\right\rangle$ и ковариация Если теперь такая физическая система ассоциируется с потенциальной функцией $V(x, c)$, заданной над пространством $\mathbb{R}^{n}$ переменных функций состояния $x$ и зависящей от управляющих параметров $c \in \mathbb{R}^{k}$, то не зависящая от времени вероятностная функция распределения часто связана с потенциальной функцией простым экспоненциальным путем: где $N$-константа нормализации, а $D$-положительная константа диффузии [ср. с (8.4)]. Қак правило, константа $D$ мала. В этом случае выделяется самый глубокий минимум $V(x ; c)$. Если самый глубокий минимум является морсовской критической точкой в $x=x^{0}$, то Дисперсия в этой критической точке может быть вычислена с помощью формулы (9.12). Эти вычисления несколько проще, когда потенциал $V$ в окрестности точки $x^{0}$ приведен к каноническому виду. Это может быть сделано, поскольку операция приведения к диагональному виду $V_{i j} \Delta x_{i} \Delta x_{j}$ коммутирует с операцией взятия экспоненты. Следовательно, в случае дисперсия равна Так как $D$ мало, то дисперсия также мала, если только одно из собственных значений матрицы $V_{i j}$ не является малым. Это означает, что в некоторых случаях дисперсия в окрестности неморсовской критической точки может быть большой («аномальной»). В действительности при изменении управляющих параметров $c_{\alpha}$ возможны аномалии двух совершенно раз. личных типов. Морсовская функция дает лишь члены с нормальной малой дисперсией. Неморсовские же ростки, присутствующие в разложении (9.17), должны обязательно обладать свойством нормализуемости, т. е. функция $e^{-f_{N M^{\prime} D}}$ должна быть нормализуемой. Из простых ростков катастроф этим свойством обладают лишь $A_{+(2 n-1)}=+x^{2 n}$. Для этих ростков $\langle x\rangle=0$ и дисперсия может быть выражена посредством гамма-функции: $\left.=x_{i}^{\prime}\right)$ и $\left\langle\Delta x_{i}^{2}\right\rangle \sim \frac{1}{2} D / \lambda_{i}^{0}$ (или $\left\langle\Delta x_{i}^{2}\right\rangle \sim \frac{1}{2} D / \lambda_{i}^{\prime}$ ), где $\lambda_{i}^{0}$ (или $\lambda_{i}^{\prime}$ ) соответствующее собственное значение. Однако как только наименьший минимум переходит из $x^{0}$ в $x^{\prime}$, то при изменении управляющих параметров среднее значение $\left\langle x_{i}\right\rangle$ быстро переходит от $x_{i}^{0}$ к $x_{i}^{\prime}$. Когда $V\left(x^{0} ; c\right)=V\left(x^{\prime} ; c\right)$, В данном случае величина дисперсии может быть больше, чем в случае 1. связано с каждой точкой ( $a, b$ ) плоскости управляющих параметров $\mathbb{R}^{2}$ катастрофы сборки (рис. 9.8). Путь 1: $a=+1, b$ возрастает. Собственное значение $\lambda$ матрицы устойчивости $d^{2} V / d x^{2}$ как функция $b$ для $a=+1, a=0$ и $a=-1$ показано на рис. 6.5. Минимум кривизны достигается в точке $b=0$, так что наибольшая дисперсия будет при $b=0$. Путь 2: $a=0, b$ возрастает. При $b \rightarrow 0$ кривизна также стремится к нулю и квадратичный член играет все более важную роль в удержанин функции распределения в форме острого пика, довольно размытого в окрестности точки $x=0$. Дисперсия в точке $(a, t)=(0,0)$ дается формулой $(9.18)$, из которой получаем Так как $D$ по предположению мало ( $D \ll 1$ ), то $\sqrt{4 D} \gg D$ и наблюдается аномальная дисперсия в окрестности точки $(a, b)=(0,0)$. Путь $^{2}: a=-1, b$ возрастает. Для значения $b$, лежащего вне области формы сборки, существует один миннмум, и для малого $D\langle x\rangle=x_{c}$ явля. ется достаточно хорошей аппроксимацией. Для значений $b$, расположенных внутри критической области потенциала $V$, имеются три критических значения, но только глубочайший из двух миннмумов является для нас важным при $|b| \geqslant 10 D$. Когда $b$ проходит через значение нуль, глубочайший минимум соответствует уже отрицательному, а не положительному корню уравнения $d V / d x$. Следует быстрый переход $\langle x\rangle$ от положительного к отрицательному значению в соответствии с вышерассмотренным случаем 2. Этот быстрый переход тесно связан с очень большой аномалией дисперсии. Путь 4: $a$ убывает, $b=0$. При $a>0$ потенциал $V$ имеет минимум в точке $x=0$, и $\langle x\rangle=0,\left\langle x^{2}\right\rangle=D / 2 a$. Когда $a \rightarrow 0^{+}$, дисперсия возрастает и квадратичный член в усечении дисперсии становится все более важным, что и было описано выше. В точке $(a, b)=(0,0)$ значение дисперсии дается формулой (9.21). При $a<0$ потенциал $V$ имеет два симметрично расположенных минимума: $x=-\sqrt{-a}$ и $x=+\sqrt{-a}$. В силу симметрии $\langle x\rangle=0$, и приблизительное. значение дисперсик дается величиной $(2 \sqrt{-a} / 2)^{2}=|a|$ в соответствии с формулой (9.19). Рис. 9.8. Среднее знатение $\langle x\rangle$ и дисперсия $\left\langle\Delta x^{2}\right\rangle$ как функции расстояний вдоль четырех путей в плоскости $R^{2}$ управляющих параметров катастрофы сборки. Среднее значение берется относительно не зависящего от времени распределения вероятностей $(9.20)$. Рис. 9.9. Туннельная шкала времени $T_{2}$ для бимодальных путей 3 и 4, изображенных на рис. 9.8 . рассматриваемой системы подчиняется уравнению диффузионного типа, то дисперсия типа (9.16) может наблюдаться во временной шкале $T_{1}$, а дисперсия типа (9.19) — во временной шкале $T_{2}$ [см. (8.31)]. Временная шкала $T_{1}$ изображена на рис. 9.6 для путей 1,2 и 3. Временная шкала $T_{2}$ для состояния равновесия между двумя изолированными минимумами существует лишь в случае путей 3 и 4 (рис. 9.9). Наименьшая аномальная дисперсия (9.16) наблюдается на быстрой временной шкале $T_{1}$, наибольшая (9.19) — на более медленной временной шкале $T_{2}$. Довольно часто временная шкала, которая используется в экспериментах, лежит между $T_{1}$ и $T_{2}$. В этом случае дисперсия, ассоциированная с любым одиночным экспериментом, описывается формулой (9.16). Для того чтобы выявить большие аномалии дисперсии типа (9.19), необходимо усреднить результаты многих экспериментов. Иллюстрируем это посредством рассмотрения цикличного пути ( $a=-1, b(t)=$ $=-b \cos \omega t)$ в пространстве управляющих параметров (рис. 9.10). Если $T_{1}^{-1} \gg \omega \gg T_{2}^{-1}$, то система движется по петле гистерезиса, как это изображено на рис. 9.4 и 9.10. Среднее значение $\bar{x}=\langle x\rangle$ и дисперсия $\left\langle(x-\bar{x})^{2}\right\rangle$ как функции времени вдоль одного цикла $\tau=2 \pi / \omega$ представлены на рис. 9.10. Можно Рис. 9.10. На рисунке проиллюстрировано поведение среднего значения и дисперсии на временной шкале, в которой проводится эксперимент, и метод, используемый для обработки данных, именно в этой последовательности. изобразить их графически как функции управляющего параметра $b$ при условии, что мы различаем пути с возрастающим $b$ и пути с убывающим $b$ (рис. 9.10,b). Аномальная дисперсия типа (9.18) встречается лишь на линии складки, и в этом случае она связана с временно́й шкалой $T_{1}$. Однако если мы вычислим среднее и дисперсию посредством усреднения результатов всех экспериментов, где каждый единичный эксперимент проводится в интервале времени длины $\pi / \omega$ с $\hat{t} \geqslant 0$ или $\hat{f} \leqslant 0$, то в этом случае мы будем иметь аномальную дисперсию, свя- Рис. 9.11. В обычных лабораторных условиях физическая система, следуя по пути 4 (рис. 9.8), останавливается либо в левостороннем, либо в правостороннем минимуме. занную со временной шкалой $T_{2}$, которая встречается в бифуркационном множестве в предположении принципа Максвелла. $\diamond \diamond \diamond$ Функции распределения при применении принципа максимального промедления проявляют феномен критического замедления при приближении к бифуркационному множеству. Это следует из анализа (8.9).
|
1 |
Оглавление
|