Работающие на сжатие балки – отнюдь не единственные элементы конструкций. Для перекрытий мостовых пролетов чрезвычайно эффективным является использование пологой арки (рис. 11.6). Если малые вертикальные нагрузки не вызывают деформации арки, то большие нагрузки приводят к ее разрушению. Попытаемся установить, что будет происходить с аркой при промежуточных нагрузках, и, в частности, определим критическую нагрузку, а также чувствительность арки как к несовершенству, так и к динамическому воздействию.
Рис. 11.6. Пологая арка – типичный элемент конструкции.
Удобно предположить, что пологая арка есть не что иное, как несжимаемая балка, к ксторой приложена вертикальная сила (рис. 11.2). Тогда равновесная форма такой балки при отсутствии нагружающих сил и начальных дефектов определяется как
\[
y(x)=a_{1}^{0} \sin \frac{\pi x}{l} .
\]

Состояние (или форма) арки под нагрузкой может быть аналитически определено с помощью анализа ряда Фурье. Вычисления могут быть выполнены в бесконечномерном пространстве состояний, в котором переменными состояния являются коэффициенты ряда Фурье $a_{j}$. В случае прощелкивания пологой арки бесконечномерное пространство состояний может быть заменено конечномерным пространством. Для этого достаточно ограничиться двумя первыми коэффициентами Фурье:
\[
y(x)=a_{1} \sin \frac{\pi x}{l}+a_{2} \sin \frac{2 \pi x}{l} .
\]

Эти два коэффициента не являются независимыми и связаны условием постоянства длины арки:
\[
\begin{array}{c}
L=l+\frac{l}{4}\left[\left(\frac{\pi a_{1}}{l}\right)^{2}+\left(\frac{2 \pi a_{2}}{l}\right)^{2}\right]- \\
-\frac{l}{8}\left[\frac{3}{8}\left(\frac{\pi a_{1}}{l}\right)^{4}+\frac{3}{2}\left(\frac{\pi a_{1}}{l}\right)^{2}\left(\frac{2 \pi a_{2}}{l}\right)^{2}+\frac{3}{8}\left(\frac{2 \pi a_{2}}{l}\right)^{4}\right] .
\end{array}
\]

Соотношение между $L, l$ и $a_{1}^{0}$ получается из (11.22), если $a_{1} \rightarrow a_{1}^{(0)}, a_{2} \rightarrow 0$. Не имеет смысла оставлять в разложении члены степени выше четвертой, так как единственный управляющий параметр $F$ может быть использован для исключения лишь одного коэффициента ряда Тейлора. (После интегрирования ряд Фурье от $x$ становится рядом Тейлора с коэффициентами Фурье.)

Энергия, накопленная в пологой арке, такая же, что и в изогнутом стержне, и ее величина дается формулой (11.11). Работа, совершенная внешней нагрузкой $F$, равна $F\left(a_{1}^{0}-a_{1}\right)$. Потенциальная функция, описывающая статическую идеальную пологую арку, имеет вид
\[
V_{p}\left(a_{1}, a_{2}, F\right)=\frac{B l}{4}\left[\left(\frac{\pi}{l}\right)^{4} a_{1}^{2}+\left(\frac{2 \pi}{l}\right)^{4} a_{2}^{2}\right]-F\left(a_{1}^{0}-a_{1}\right) .
\]

Эта задача с ограничением и двумя переменными $a_{1}$ и $a_{2}$ может быть преобразована в задачу без ограничений с единственной переменной посредством использования условия, согласно которому переменная $a_{1}$ может быть выражена через $a_{2}$, или наоборот. Отметим, что это условие инвариантно относительно замены $a_{1} \rightarrow \pm a_{1}, a_{2} \rightarrow \pm a_{2}$. Переменная $a_{1}$ может быть представлена как функция от $a_{2}$ следующим образом:
\[
a_{1}= \pm f_{1}\left(a_{2}\right),
\]

где $a_{1}^{0}=f_{1}(0)$.
Знаки перед функцией соответствуют двум совершенно различным физическим ситуациям: положительный знак- нормальной конфигурации арки (которая является типичным элементом конструкции); отрицательный знак – опрокинутой арке (которая практически не используется). Если вместо $a_{1}$ исключить $a_{2}$, то следует выбрать определенный знак, так как в (11.23) входит линейный член.

Положительное и отрицательное значения амплитуды второй гармоники $a_{2}$ характеризуют различные физические ситуации (рис. 11.7). При фиксированном $a_{1}$ потенциальная функция $V_{p}\left(a_{1}, a_{2} ; F\right)$, очевидно, инвариантна относительно замены $a_{2} \rightarrow-a_{2}$. Следовательно, полезно исключать $a_{1}\left(a_{1}>0\right)$, а не $a_{2}$. Тогда потенциальная функция имеет вид
\[
\begin{array}{l}
V_{p}\left(a_{2} ; F\right)=A_{0}+\frac{1}{2} A_{2} a_{2}^{2}+\frac{1}{4} A_{4} a_{2}^{4}, \\
A_{0}=\frac{B l}{4}\left(\frac{\pi}{l}\right)^{4}\left(a_{1}^{0}\right)^{2}, \\
\frac{1}{2} A_{2}=3 B l\left(\frac{\pi}{l}\right)^{4}-\frac{2 F}{a_{1}^{0}} \text {, } \\
\frac{1}{4} A_{4}<0 \\
\end{array}
\]

(постоянный член не играет существенной роли). Линейный и другие нечетные члены отсутствуют в силу соотношений инвариантности. Квадратичный член показывает, что арка сохраняет свою форму при $F<F_{p}=\frac{3}{2} B l a_{1}^{0}(\pi / l)^{4}$. Член четвертой степени показывает, что совершенная арка разрушается $\left(a_{1}>0 \rightarrow\right.$ $\rightarrow a_{1}<0$ ) при $F>F_{p}$, так как нет близкого устойчивого состояния равновесия. Потенциальная функция $V_{p}\left(a_{2} ; F\right)$ проявляет катастрофу $A_{-3}$ при $F=F_{p}$.

Математически разрушающаяся арка описывается с помощью катастрофы двойной сборки. Первоначально имеются два неустойчивых состояния равновесия с $a_{2}
eq 0$ вблизи

Рис. 11.7. Два разных знака перед $a_{1}$ отвечают совершенно различным физнческим ситуациям. Два разных знака перед $a_{2}$ символизируют различные, но эквивалентные разрушающие моды.

устойчивого состояния равновесия $a_{2}=0$. Эти два неустойчивых состояния равновесия соответствуют положениям «прощелкивания». При возрастании нагрузки $F$ прощелкивание арки наблюдается при меньших значениях $\left|a_{2}\right|$. При приближении к критической нагрузке прощелкивание может иметь место уже при $\left|a_{2}\right| \rightarrow 0$, и небольшое возмущение может оказаться причиной разрушения арки.

Физически прощелкивание происходит следующим образом. Вертикальная сила, приложенная к центру арки, стремится сместить ее центр тяжести вниз. Для того чтобы центр тяжести арки сместился вниз, необходимо добавить к ее форме высшие гармоники, что возможно только при увеличении энергии прогиба. Иными словами, смещение центра тяжести может произойти только тогда, когда приращение энергии за счет работы, описываемой выражением $\left[F\left(a_{1}^{0}-a_{1}\right)\right]$, превысит приращение энергии деформации арки. При этом как только арка начнет двигаться вниз, ничто не может удержать ее от прощелкивания за неустойчивое положение в опрокинутое. Следовательно, можно считать, что совершенная пологая арка разрушается вследствие превышения критической нагрузки $F_{p}$.

Несовершенства пологой арки могут быть обусловлены неоднородностью строительных материалов, перемещением точки нагружения и тысячью других причин. Наиболее общий вид деформации ростка катастрофы сборки $\pm x^{4}$ таков: $\frac{1}{2} \varepsilon_{2} x^{2}+\varepsilon_{1} x$. Следовательно, потенциальная функция, описывающая состояние (или форму) несовершенной пологой арки, имеет вид
\[
V_{i}\left(x ; F, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}\right)=\varepsilon_{1} x+\frac{1}{2}\left(F_{p}-F+\varepsilon_{2}\right) x^{2}-\frac{1}{4} x^{4} .
\]
[Для простоты изложения считаем $a_{2} \simeq x$, и коэффициенты пропорциональности и масштаб $F$ выбираем такими, чтобы получить наиболее простые коэффициенты в (11.27).]

При возрастании внешней нагрузки управляющие параметры следуют линейной траектории сборки в пространстве управляющих параметров. Система будет оставаться в локально устойчивом состоянии, соответствующем среднему листу многообразия катастрофы двойной сборки до тех пор, пока не достигнет бифуркационного множества. Таким образом, чувствительность к несовершенству у пологой арки будет иметь следующий вид:
\[
F_{c}-F_{p}+\varepsilon_{2}=-k\left|\varepsilon_{1}\right|^{2 / 3},
\]

или
\[
F_{c}=F_{p}-\varepsilon_{2}-k\left|\varepsilon_{1}\right|^{2 / 3} .
\]

Пологая арка значительно более чувствительна к несовершенству, нарушающему симметрию $\left(\varepsilon_{1}
eq 0\right.$ ), чем к несовершенству, ее сохраняющему. Поэтому можно ограничиться рассмотрением только дефектов, нарушающих симметрию. Наиболее общее нарушающее симметрию несовершенство эквивалентно перемещению прилагаемой силы на расстояние $\varepsilon_{1}$ от плоскости симметрии.

Тот факт, что в законе зависимости разрушающей нагрузки от параметра несовершенства $\varepsilon$ надо взять степень $2 / 3$, был показан в серии экспериментов, проведенных Рурдой [3]. В этих экспериментах параметром несовершенства было относительное смещение $f / L$ прилагаемой силы от плоскости симметрии пологой арки. Данные экспериментов показаны на рис. 11.8.

Теперь рассмотрим уменьшение несущей способности арки вследствие динамического нагружения. Для совершенной системы, подвергаемой колебаниям в моде разрушения с кинетической энергией $\Delta E$, критическая нагрузка определяется из выражения
\[
\Delta E=\frac{1}{2}\left(F_{D}-F\right) x^{2}-\frac{1}{4} x^{4} .
\]

Рис. 11.8. сдвигающего сборку назад вправо.

Следовательно,
\[
F_{c}=F_{p}-2|\Delta E|^{1 / 2}
\]

Уменьшение несущей способности несовершенной системы может быть определено из масштабных соображений. Например,
\[
\begin{array}{c}
x \rightarrow \lambda x, \\
\left|F_{c}-F_{p}\right| \rightarrow \lambda^{2}\left|F_{c}-F_{p}\right| \Rightarrow \Delta E \rightarrow \lambda^{4} \Delta E, \\
\left|\varepsilon_{1}\right| \rightarrow \lambda^{3}\left|\varepsilon_{1}\right| .
\end{array}
\]

Такая поверхность может быть построена исходя из канонических свойств катастрофы сборки. Поверхность разрушения в пространстве $F-\Delta E-\varepsilon_{1}$ изображена на рис. 11.9. Вся по-

Рис. 11.9. Форма критической поверхности пологой арки в пространстве $F-\Delta E-\varepsilon_{1}$.
Высокая чувствительность к статическому несовершенству перекрывается еще большеи чувствительностью к динамическому несовершенству.

верхность может быть восстановлена на основе масштабных соотношений (11.31) и какого-либо произвального поперечного сечения. Ясно, что пологая арка более чувствительна к динамическим несовершенствам, чем к несовершенствам, нарушающим симметрию.
$\diamond \diamond \diamond$ Если математически различие между ростками катастроф сборки и двойной сборки выражается лишь в смене знака, то физически это различие существенно. Қатастрофа сборки является глобально устойчивой, в то время как двойная сборка глобально неустойчива. У первой всегда имеется некоторое устойчивое состояние; для последней устойчивые состояния существуют лишь в пределах области, имеющей форму сборки в плоскости управляющих параметров. В случае систем, описываемых катастрофой сборки, нєобходима субъективная оценка критерия безопасной нагрузки; так, при рассмотрении эйлерова стержня требуется, чтобы параметр порядка $a_{1}$ оставался по величине меньшим, чем некоторое максимальное безопасное отклонение $s$. Для систем, описываемых посредством двойной сборки, подобных субъективных критериев не требуется, поскольку существует объективный критерий: система разрушается при превышении предела критической нагрузки.