Специалистам самого различного профиля довольно часто приходится иметь дело с системами линейных уравнений, зависящих от $n$ переменных состояния $x \in \mathbb{C}$, которые в свою очередь удовлетворяют следующим двум условиям:
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}\left(\alpha x^{(1)}+\beta x^{(2)}\right)=\alpha \mathscr{L}\left(x^{(1)}\right)+\beta \mathscr{L}\left(x^{(2)}\right) \text { (линейность), (14.1) } \\
\mathscr{L}(x)=0 \quad \text { (уравнение). }
\end{array}
\]
1) Впервые исследование универсальной деформации жордановых канонических форм методами теории ката́строф было выполнено В. И. Ӓрнольдом.

Любой линейный оператор в $\mathbb{C}^{n}$ может быть представлен как квадратная матрица порядка $n$. Поэтому изучение канонических форм систем линейных уравнений сводится к изучению канонических форм матриц размером $n \times n$. При помоци преобразования подобия $S$ (переход к новому базису) любая комплексная матрица может быть приведена к жордановой канонической форме

где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ – собственные зғачения $M$, имеющие кратности (вырожденности) $d_{1}, d_{2}, \ldots ; J_{i}$ – жордановы матрицы, т. е. квадратные матрицы порядка $d_{i}$ с $\lambda_{i}$ по главной диагонали, 1 и 0 на диагонали, расположенной выше главной диагонали (остальные элементы – нули). Например,
\[
J(\lambda)=\left[\begin{array}{llllll}
\lambda & 1 & & & 0 & \\
& \lambda & 1 & & \\
& & \lambda & 0 & & \\
& & & \lambda & & 1 \\
0 & & & & \lambda
\end{array}\right]\left(=\lambda^{3} \lambda^{2}\right) .
\]
(Мы будем иметь дело в основном с комплексными матрицами.)
Если семейство линейных систем $L(x ; c)$ зависит от управляющих параметров $c \in \mathbb{C}^{n}$, то некоторые члены семейства могут быть вырожденными. В связи с этим жорданова каноническая форма, соответствующая типичному члену семейства, может быть совершенно отличной от жордановой канонической формы, соответствующей вырожденному (в большей или меньшей степени) члену семейства. Поэтому преобразование подобия, приводящее члены семейства к жордановой канонической форме, будет зависеть от управляющих параметров разрывно. Таким образом, становится очевидным, что методы, используемые при изучении функций, их канонических форм и универсальных возмущений, могут быть использованы для изучения аналогичного спектра вопросов в случае систем линейных уравнений. Однако сначала рассмотрим следующие примеры.
Пример 1. Имеется линейный оператор $\mathscr{L}=I_{n} d / d t-M$ в пространстве $\mathbb{C}^{n}$, где $M$ – квадратная матрица порядка $n, x \in \mathbb{C}^{n}$. Соответствующая линейная система может быть представлена как
\[
\frac{d}{d t} x=M(c) x,
\]

при этом предполагается, что матрица $M$ зависит от управляющих параметров $c \in \mathrm{C}^{n}$. Если $n$ собственных значений $\lambda_{1}(c), \lambda_{2}(c), \ldots, \lambda_{n}(c)$ различны при $c=0$, то в силу соображений непрерывности они также будут различны и при малых c. Следовательно, если собственные значения $M(0)$ различны, то собственные значения произвольного возмущения
\[
M(\delta c)=M(0)+\delta M, \quad \delta M=\left.\delta c_{\alpha} \frac{\partial}{\partial c_{\alpha}} M(c)\right|_{c=0}
\]

матрицы $M(0)$ также различны.
Пример 2. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
\[
\dddot{x}+p \ddot{x}+q \dot{x}+r x=0,
\]

где точки обозначают производные по времени. Это уравнение может быть приведено к канонической матричной форме посредством замены
\[
y_{1}=x, \quad y_{2}=\dot{x}, \quad y_{3}=\ddot{x} .
\]

Тогда
\[
\frac{d}{d t}\left\lceil\begin{array}{l}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-r & -q & -p
\end{array}\right\rceil\left\lceil\left[\begin{array}{l}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}
\end{array}\right] .\right.
\]

Теперь попытаемся установить, что произойдет, если немного «пошевелить» управляющие параметры ( $p, q, r) \in \mathbb{C}^{3}$. Для этого вычислим собственные значения матрицы $M$, соответствующей линейному уравнению (14.5), используя характеристическое уравнение, которое получается непосредственно из (14.5) путем замены $d / d t \rightarrow \lambda:$
\[
\lambda^{3}+p \lambda^{2}+q \lambda+r=0 .
\]

Если характеристическое уравнение имеет три различных корня, то возмущение параметров ( $p \rightarrow p+\delta p$ и т. д.) не оказывает влияния на каноническую структуру, соответствующую линейному уравнению (14.5) и его корням. Внимания заслуживает только случай, когда среди корней уравнения (14.5) имеются вырожденные. Не вдаваясь з подробности, можно с помощью замены $\lambda=\lambda^{\prime}-(1 / 3) p$ перенести центр тяжести собственных значений в нуль и таким образом получить кубическое уравнение $\lambda^{\prime 3}+A \lambda^{\prime}+B=0$, не содержащее квадратичного члена. В результате становится очевидным, что интересующие нас точки в новом пространстве управляющих параметров $(A, B) \in \mathrm{C}^{2}$ лежат на бифуркационном множестве сборки.
Пример 3. Рассмотрим совместную систему линейных дифференциальных урав. нений
\[
\begin{array}{c}
\dddot{y}+A_{1} \ddot{y}+B_{1} \dot{y}+C_{1} y=-D_{1} z, \\
\dot{z}+A_{2} z=-C_{2} \dot{y}
\end{array}
\]

и определим наименьшее семейство совместных линейных уравнений от $y, \dot{y}$, $\ddot{y}, \ddot{y}$ и $z, \dot{z}$, содержащее все возмущения вышеприведенной системы. Для этого можно построить матрицу, соответствующую линейной системе (14.9),
\[
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}
y \\
\dot{y} \\
y \\
z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-C_{1} & -E_{1} & -A_{1} & -D_{1} \\
0 & -C_{2} & 0 & -A_{2}
\end{array}\right\rfloor\left[\begin{array}{l}
y \\
\dot{y} \\
\ddot{y} \\
z
\end{array}\right] .
\]

Этот результат наводит на мысль, чго самое общее возмущение системы (14.9) может быть получено заменой
\[
C_{2} \dot{y} \rightarrow B_{2} \ddot{y}+C_{2} \dot{y}+D_{2} y,
\]

результатом которой является линейная система, зависящая от двух переменных состояния $(y, z) \in \mathbb{C}^{2}$ и восьми управляющих параметров $\left(A_{1}, \ldots, D_{2}\right) \in \mathbb{C}^{8}$. В действительностұ. имеется меньшее семейство линейных систем, содержащее как (14.9), так и любое ее возмущение и представляющее собой 6-параметричєское семейство
\[
\begin{array}{c}
\dddot{y}+A_{1} \ddot{y}+B_{1} \dot{y}+C_{1} y=-D_{1} z, \\
\dot{z}+A_{2} z=-D_{2} y
\end{array}
\]

в соответствующей системе координат.
Канонические формы линейного преобразования, существование которых было впервые доказано Жорданом, значительно упростили анализ линейных систем. Существование канонических форм семейств преобразований было доказано Арнольдом [1]. Канонические формы Жордана – Арнольда ведут к каноническому списку собственных значений и их зависимости от управляющих параметров, параметризующих члены семейства линейных уравнений. Эти канонические формы позволяют также определить, какие жордановы канонические формы присутствуют в семействе матриц и как они геометрически взаимосвязаны в пространстве управляющих параметров.