Структура каустики определяется двумерным сечением бифуркационного множества некоторой катастрофы. Амплитуда каждой компоненты каустики ведет себя как $(1 / \lambda)^{\sigma}$, где показатель степени $\sigma$ для простых катастроф приведен в табл. 13.1. Например, сингулярность складки для каустики подобна $(1 / \lambda)^{2 / 6}$, а сингулярность сборки ведет себя как $(1 / \lambda)^{2 / 4}$. Для коротковолнового предела эти результаты являются точными.

В предельном случае рассматриваемые интенсивности являются несобственными. Однако на практике интенсивности могут быть большими, но они остаются ограниченными сверху; в свою очередь длины волн могут быть малыми, но практически они ограничены снизу. При предельном переходе ( $\lambda \rightarrow$ к малой величине, но $\lambda
eq 0$ ) приближение стационарной фазы не является строго корректным. В окрестности каждого ростка катастрофы существуют функции с изолированными критическими точками, критические значения которых соизмеримы с $\lambda$. Следовательно, оценка амплитуды $A(\Omega)$ с помощью суммирования вкладов от изолированных критических точек (13.14) оказывается плохим приближением, и пределы интегрирования в (13.23) не могут быть расширены до $\pm \infty$.

Подобные оценки показывают, что необходимо вычислить вклады всех стационарных точек, находящихся в окрестности ростка катастрофы, для случая, когда предельное значение длины волны $\lambda$ отлично от нуля. Это означает, что следует рассмотреть интеграл Френеля от стандартной деформации соответствующего ростка катастрофы. Проиллюстрируем это для ростка $A_{p}=x^{p+1}$. Дифракционный интеграл
\[
\begin{array}{c}
k^{1 / 2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i k\left[(p+1)^{-1} x^{p+1}+\sum_{j=1}^{p-1} a_{j} x^{j}\right]} d x=k^{\sigma} I\left[A_{p} ; c_{1}, \ldots, c_{p-1}\right] \\
I\left[A_{p} ; c_{1}, \ldots, c_{p-1}\right]=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\left[(p+1)^{-1} y^{p+1}+\sum_{j=1}^{p-1} c_{j} y^{\prime}\right]} d y \\
c_{j}=a_{j} k^{1-j /(p+1)}, \quad \sigma=\frac{p-1}{2(p+1)}
\end{array}
\]

представляет собой преобразование Френеля канонической функции катастрофы. Интеграл $I[\mathrm{CG}(l)]$ есть канонический дифракционный интеграл, взятый первоначально в пространстве управляющих параметров. Для простейшей катастрофы $A_{2}$ стандартная деформация есть $(1 / 3) x^{3}+t x$. При $t>0$ стационарных точек не существует, а при $t<0$ их две. Поэтому в коротковолновом пределе $\lambda \rightarrow 0$ следует сжидать, что росток катастрофы $A_{2}$ будет темным при $t>0$ и светлым при $t \leq 0$, а амплитуда будет уменьшаться при убывании $t$, поскольку кривизна в двух стационарных точках Морса будет убывать с уменьшением $t$. Области $t>0$ и $t<0$ разделяются каустикой при $t=0$. Действительно,
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{l\left[x^{9} / 3+t x\right]} d x=2 \mathrm{Ai}(t)
\]

где $\mathrm{Ai}(t)$ есть функция Эйри [3] (рис. 13.6). При положительном аргументе эта функция круто падает до нуля, а при от-
Рис. 13.6. Функция Эйри.

рицательном убывающем аргументе она быстро осциллирует, медленно убывая. На основании (13.40) имеем
\[
k^{1 / 2} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i k\left[x^{3 / 3}+a x\right]} d x=2 k^{1 / 6} \mathrm{Ai}\left(a k^{2 / 3}\right) .
\]

Аналогичным образом могут быть рассмотрены другие катастрофы. Так, канонический дифракционный интеграл $I\left[A_{3}\right.$; $a, b]$ представлен на рис. 13.7 [4]. Заметим, что поперечные сечения, ортогональные линиям складки, выглядят подобно функциям Эйри за вычетом некоторого фона. Происхождение функций Эйри связывают с двумя складывающимися листами, а генезис фона – с удаленным листом. Хотя со складкой можно связать существование темной области, для сборки, которая всегда имеет по меньшей мере одну стационарную точку, таких темных областей не существует.

Классические функции Эйри (1838) и Пирси (1947) непосредственно связаны с деформациями двух простейших катастроф – они являются преобразованиями Френеля от этих функций катастроф. Последнее обстоятельство дает возможность разработать методику конструирования аналогов канонических дифракционных картин более высокой размерности. Правда,

Рис. 1.3а. Дифракцнонная карлина и ее трехмерное нзображение в сяумае катастрофы сборки [4,5]

канонические дифракционные картины более высокой размерности не могут быть представлены графически и очень не легко найти их зрительный образ. Единственной возможностью визуализации таких картин является наблюдение на экране их двумерных сечений с последующим графическим воспроизведением после соответствующих вычислений. Например, если мы наблюдаем каустику, изображенную на рис. 13.5 для $A_{4}$ при $A=-1$, то мы знаем, что это одно из поперечных сечений бифуркационного множества $A_{4}$ плоскостью $a=$ const. Следовательно, дифракционная картина на экране $\boldsymbol{\Omega}_{1} \boldsymbol{\Omega}_{2}$ будет иметь следующее распределение интенсивности:
\[
I\left(\mathbf{\Omega}_{1}, \mathbf{\Omega}_{2}\right) \simeq \int_{-\infty}^{+\infty}\left|e^{l\left[x^{3} / 5+a x^{3}+\Omega_{1} x^{2}+\Omega_{2} x\right]} d x\right|^{2} .
\]

В окрестности такой каустики дифракционная картина будет описываться функциями Эйри или Пирси. Однако если мы выберем другую плоскость наблюдения $\boldsymbol{\Omega}_{1} \boldsymbol{\Omega}_{2}$ так, чтобы наблюдалась каустика, изображенная на рис. 13.5 для $A_{4}$ при $A=0$, то для описания дифракционной картины, связанной с предельным переходом $\lambda \rightarrow$ малая величина $\rightarrow 0$, уже нельзя использовать классические функции, она будет описываться выражением (13.43) при $a=0$.

Если наши наблюдения относятся к плоским сечениям бифуркационного множества катастрофы $A_{4}$ при $b=$ const или $c=$ const, то дифракционная картина, связанная с соответствующими каустиками, может быть описана (локально) функциями Эйри или Пирси. Однако когда плоскость наблюдения смещается так, что $b \rightarrow 0$ или $c \rightarrow 0$, то соответствующая дифракционная картина не будет больше описываться этими функциями.

Теперь становится ясной общая методика предсказания связанных с каустикой дифракционных картин в зависимости от катастрофы размерности $k$ пространства управляющих параметров. Предположим, что плоскость наблюдения $\boldsymbol{\Omega}_{1}, \boldsymbol{\Omega}_{2}$ расположена на расстоянии $d$ от начала отсчета в пространстве управляющих параметров $\mathbb{R}^{k}$. Тогда $k$ управляющих параметров могут быть записаны как линейные комбинации $\boldsymbol{\Omega}_{1}$ и $\boldsymbol{\Omega}_{2}$ [ср. с (10.63)]:
\[
\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
c_{2} \\
\vdots \\
c_{k}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
M_{1}^{1} & M_{1}^{2} & M_{1}^{3} \\
M_{1}^{2} & M_{2}^{2} & M_{2}^{3} \\
\vdots & \vdots & \vdots \\
M_{k}^{1} & M_{k}^{2} & M_{k}^{3}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\mathbf{\Omega}_{1} \\
\mathbf{\Omega}_{2} \\
d
\end{array}\right] .
\]

Рис. 13.8. Линии уровня и трехмерные изображения дифракционной картины в плоскости $a=0$ для катастроф типа $D_{+4}$ и $D_{-4}[5]$.

Рис. 13.9. Дифракционная картина в плоскости $b=+1$ для катастрофы $A_{6}: x^{5} / 5+b x^{3} / 3+c x^{2} / 2+d x$. (Воспровзводится с разрешения Н. А. Поупа.)

Элементы $\quad$ матрицы $M_{i}^{j}(1 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant 3) \quad$ определяются структурой каустики на плоскости наблюдения. Если СG $(l)$ есть росток соответствующей катастрофы и
\[
P\left[c_{1}(\boldsymbol{\Omega}), \ldots, c_{k}(\mathbf{\Omega})\right]=P\left(\boldsymbol{\Omega}_{1}, \mathbf{\Omega}_{2}, d\right)=P(\boldsymbol{\Omega})
\]
– стандартная деформация, где координаты $c_{i}$ линейно выражаются через координаты точек наблюдения $\boldsymbol{\Omega}_{1}, \boldsymbol{\Omega}_{2}$ в плоскости и параметр расстояния $d$, то каноническая дифракционная картина будет иметь вид
\[
I\left(\mathbf{\Omega}_{1}, \mathbf{\Omega}_{2}, d\right) \simeq \mid \int_{-\infty}^{+\infty} \ldots \int e^{i[\mathrm{CG}(l)+P(\Omega)]} d^{l} x .
\]

Этот интеграл может быть численно оценен для любого погружения физического пространства $\mathbb{R}^{2}$ в пространство управляющих параметров $\mathbb{R}^{k}$.

Дифракционные картины в случае сечения катастроф $D_{+4}$ и $D_{-4}$ плоскостью $a=0$ были рассчитаны Тринкхаусом и Дреппером [5] и воспроизводятся на рис. 13.8; дифракционные картины, соответствующие катастрофе $A_{4}$, были вычислены Поупом. На рис. 13.9 представлена дифракционная картина функции $F(x ; b, c, d)=x^{5} / 5+b x^{3} / 3+c x^{2} / 2+2 x$ в сечении $b=+1$.